阿波罗尼斯圆与数学巨匠阿波罗尼斯

1 阿波罗尼斯圆 《平面解析几何》(必修)课本(P68)上,有这样的一个例题: 已知一曲线是与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离比为1/2的点的轨迹,求这个曲线的方程,并画出曲线.是:以C(-1,0)为圆心,以 r=2为半径的圆,即(x 1)2 y2=4,如图1. 再看一例: 设复数z=x     

巧用代数方法妙求圆锥曲线中的最值

<正>圆锥曲线中最值问题,是历届高考命题的主要知识点,它包括的知识内容特别丰富,涉及的数学知识较广泛,能促进各科知识的融会贯通.解题方法特别多,本文将介绍巧用代数方法妙求圆锥曲线中最值的常用方法如下:一、巧用二次函数妙求圆锥曲线中的最值例1过定直线2x-y=a与动直线x+2y=     

再谈阿波罗尼斯圆

<正>阿波罗尼斯圆是近年高考的一个热点,已有老师运用代数方法对该圆作了有关研究.现在我们从几何的角度,对该圆及它的几个要素之间的关系作一探讨,供同学们参考.若一个动点到两个定点的距离之比是一个不等于1的常数,则这个动点的轨迹是圆,即阿波罗尼斯圆.几何证明如下:     

优美的圆——阿波罗尼斯圆

高三数学二轮复习的目标是强化高中数学主干知识,优化解题方法,形成良好的知识网络.二轮复习的目标决定二轮复习与一轮复习有很大的不同,需要通过专题复习对主干知识和主要方法进行突破.笔者所教的是文科班,一段时间复习下来,深切的感觉到二轮复习的选题不在多,而在精,必要时可根据学生掌握的情况进行微专题复习,可能会取得不错的效果.     

利用阿波罗尼斯圆解决“AP+nBP”型最值问题

<正>我们知道,平面内到两个定点的距离之比为定值λ(λ>0.且λ≠1)的点的轨迹是圆,这个圆称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知两个定点A,A′,可以先在直线AA′上找到两点M、N,使得MA/MA′=NA/NA′=λ,然后作以MN为直径的圆,即得对应的阿氏圆,如图1,当λ>1时,点A在圆外,点A′在圆内;当0<λ<1时,点A在圆内,点A′在圆内.     

阿波罗尼斯圆与高考试题

在2013年的高考数学江苏卷中,第17题(解答题的第三题)应该是一个中低档题,涉及参数方程、阿波罗尼斯圆等数学知识,需要运用函数与方程、数形结合、等价转化等数学思想方法.本题满分14分,但是平均分只有6分多.不少考生在第二问中由于不能看清问题的本质,缺乏灵活变通的基本素质导致失分.     

巧用向量求最值

函数求值问题，经常出现在中学各类竞赛试题中，巧妙利用向量求函数的最大值，最小值等，可以使一类函数求值问题的思路清晰，解题方法简捷巧妙，并富于规律性，趣味性．     

应用圆求最值

定理1 如果x~2+y~2≤R~2,S=mx+ny,m、n为常数且mn≠0,那么,当且仅当这圆与这动直线相切时,S才取得最值:S_max=RM~2+n~2~(1/2)S_min=-RM~2+n~2~(1/2)。证明设圆心(0,0)到直线的距离为d,那么d=|S|/(m~2+n~2)~2(1/m~2+n~2)≤R ∴-R(m~2+n~2)~2(1/m~2+n~2)≤S≤R(m~2+n~2)~2(1/m~2+n~2)当且仅当圆与直线相切时,     

借助轨迹 妙求最值

<正>一、题目展示(2012年高中数学联赛第5题)在△ABC中,→AB·→AC=7,→→|AB-AC|=6,求S△ABC的最大值.点评本题以向量形式呈现,融向量与三角于一体,考查的是三角形的面积最值.本题看起来很平常,实际上却丰富多彩,有很大的研究空间.     

待定系数 妙求最值

<正>~~     

借助轨迹 妙求最值

一、题目展示 （2012年高中数学联赛第5题）在△ABC中,^→AB·^→AC=7,｜^→AB-^→AC｜=6,求S△ABC的最大值。     

阿波罗尼斯圆的研究与思考

<正>人教A版选择性必修一89页的拓广探索部分有这样一个问题:已知动点M (x,y)与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离的比为■,求动点M的轨迹方程,并说明轨迹的形状．本题作为一道课后习题并不是很难,利用求轨迹的一般方法便可顺利解决．     

阿波罗尼斯圆的变式应用

<正>人教A版必修2第140页利用几何画板探究了动点轨迹的形状:已知点P(2,0)、Q(8,0),点M与点P的距离是它到点Q距离的1/5,探究点M的轨迹,并给出轨迹的方程.得到点M的轨迹是圆,即阿波罗尼斯圆.阿波尼斯圆的定义:平面内,若动点P到两定点A、B的距离之比为λ(λ>0,且λ≠1),则动点P的轨迹是圆,称之为阿波罗尼斯圆.     

“阿波罗尼斯圆”的应用

阅读本文,一定要拿一张纸和笔,仔细的演算,并且要画草图,结合图形,细心体会演算中的细节,才会有所收益.     

巧用复数模求最值

适当构造复数,进而利用模的性质,常可巧妙简捷地求解多元函数最值.为叙述方便,首先介绍复数模几个常见性质:     

巧用柯西不等式求最值

文[1]、[2]分别给出了巧用向量不等式和椭圆不等式求一组最值问题的方法,读后很受启发．作为对这组问题探究的继续,本文从巧用柯西不等式的视角再给出其解法（限于篇幅,各例均略去不等式取等号的条件）,供大家参考．     

巧用均值定理求最值

<正>两个正数的均值定理是高中数学的必修内容,在不等式证明和代数式求最值中经常用到,因此要求同学们熟练掌握.首先,两个正数的均值定理是指:如果a、b∈(0,+∞),那么a+b/2≥ab^(1/2),当且仅当a=b时等号成立.其内容通常可概括为:两个正实数的算术平均值((a+b)/2)不小于它们的几何平均值(ab(1/2),当且仅当a=b时等号成立.其内容通常可概括为:两个正实数的算术平均值((a+b)/2)不小于它们的几何平均值(ab^(1/2)),其次,由均值定理可得:两个正数的积为常数时,当它们相等时和取得最小值;两个正数的和为常数时,当它们相等时积取得最大值.下面举例说明如何应用均值定理求代数式的最值(最大值或最小值).     

巧用轴对称性质求最值

轴对称图形具有的一个性质是:图形上对应点的连线被轴垂直平分.也就是说如果两个点关于一条直线对称,那么这条直线就是以这两个点为端点的线段的垂直平分线,所以垂直平分线上的任意一点到这两个点的距离都相等.因而,当考虑某一点与轴上一点的距离时,这个点可以用它的对称点来代换.     

巧用单调性求最值

巧用单调性求最值蒲红军（宁夏固原民族师范７５６０００）在高中课本中有这样一道题：求函数ｙ＝ｘ＋３＋１ｘ＋３的最值．许多学生利用Ａ２＋１Ａ２２直接得到最小值２，这结论显然是错误的．因为只有Ａ＝１Ａ时Ａ２＋１Ａ２才能取最小值２，但在本题中ｘ＋３与１ｘ＋...