Vibration of asymmetric rotor supported by oil film bearings

Summary This paper deals with the stability problems of an asymmetric flexible rotor supported by asymmetric bearings, in which the bearing is modified to the stiffness and damping forces with coupling terms in order to represent the oil film bearing character. First the equation of motion is derived, then it is analyzed by translating the coordinate system to a new orthogonal one by using complex eigenvalues. Then the stability and unbalance response is analyzed by using an asymptotic method.

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Schwingungen eines unsymmetrischen Rotors mit anisotroper Lagerung

Übersicht Diese Arbeit behandelt die Stabilität eines unsymmetrischen, elastischen Rotors in anisotrop elastischer Lagerung. Die Öl-Film-Charakteristik wird durch Koppelterme in Feder- und Dämpfungskräften abgebildet. Nach der Herleitung der Bewegungsgleichung wird durch Verwendung von komplexen Eigenwerten auf ein neues orthogonales Koordinatensystem transformiert. Die Stabilität und die Unwuchtantwort werden mit einer asymptotischen Methode analysiert.

     

The dynamics of a viscoelastic rotor in flexible bearings

Summary The stability of a symmetric, one-disk rotor model in flexible bearings has been analyzed. The viscoelastic property of the shaft complying with a 3-parameter standard model has been taken into account. The existence of an unstable region has been proved analytically. It exists only in the range of small values of the external damping coefficient. The flexibility and damping of the bearings causes a reduction of the unstable region. The stability condition has been derived analytically.

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Das dynamische Verhalten eines flexibel gelagerten, viskoelastischen Rotors

Übersicht Untersucht wird die Stabilität eines symmetrischen Rotormodells mit einzelner Scheibe und flexibler Lagerung. Dabei wird die Welle durch das viskoelastische Standardmodell mit drei Elementen beschrieben. Die Existenz eines Instabilitätsbereichs wird analytisch nachgewiesen, allerdings existiert er nur für kleine Werte der äußeren Dämpfung. Die Flexibilität und Dämpfung in den Lagern verkleinert den Instabilitätsbereich. Die Stabilitätsbedingung wird analytisch hergeleitet.

     

On forward and backward precession of rotors

Summary A study of the excitation of backward and forward precessional motion of rotors is presented. It is shown that if the rotor is supported in bearings with rotational symmetry, a rotating unbalance of the shaft cannot excite backward precessions, but if the bearings have even the slightest anisotropy, backward synchronous precessions are excited just as in the case of forward precessional motions. However, internal damping forces have a marked effect in reducing the amplitudes of the backward precessions.A rotating unbalanced non-uniform continuous circular shaft supported by anisotropic flexible bearings is studied. The governing equations of motion are derived taking into account the effects of transverse shear, gyroscopic moments, and internal and external damping.

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Übersicht Es wird die Erregung der gleich- und gegen-läufigen Präzessionen von Rotoren untersucht. Es wird gezeigt, daß bei Rotoren in rotationssymmetrischen Lagern eine Unsymmetrie der Welle keine gegenläufigen Präzessionea verursachen kann. Bei der geringsten Anisotropie der Lagerung werden jedoch synchrone gegenläufige Präzessionen in derselben Weise wie die gleichläufigen Präzessionen erregt. Allerdings werden die gegenläufigen Präzessionen durch innere Dämpfungskräfte stärker reduziert.Es wird weiterhin eine unwuchtige Welle mit nicht-konstantem Kreisquerschnitt untersucht, die in anisotropen, nachgiebigen Lagern gelagert ist. Die Bewegungsgleichungen werden für diesen Fall unter Berücksichtigung der Querkräfte, der Kreiselmomente und der inneren und äußeren Dämpfung abgeleitet.

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The author is indebted to Professor Frithiof I. Niordson for many valuable comments on the present paper.     

Allgemeine lineare Theorie für Rotorsysteme ohne oder mit kleinen Unsymmetrien

Übersicht Für eine große Klasse von Rotorsystemen wird das dynamische Verhalten aufgrund einer allgemeinen linearen Theorie untersucht. Für Rotorsysteme mit symmetrischen Bauelementen wird das Eigenverhalten in Abhängigkeit der Rotordrehzahl entsprechend den Nutations-, Präzessions- und Pendelbewegungen diskutiert. Der Einfluß von äußerer und innerer Dämpfung auf das Stabilitätsverhalten wird abgeschätzt. Die erzwungenen Schwingungen infolge statischer oder dynamischer Unwuchten werden berechnet. Für Rotorsysteme mit kleinen Unsymmetrien in den Trägheitsmomenten, den Dämpfungen, den Lager- und Wellensteifigkeiten werden die kritischen Drehzahlen mit Hilfe der Theorie der Parameter- und Kombinationsresonanzen bei periodischen Systemen bestimmt. Insgesamt wird durch die vorgenommene allgemeine systemtheoretische Untersuchung das dynamische Verhalten von Rotorsystemen unabhängig vom speziellen Anwendungsfall abgeschätzt.

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Summary For the lateral vibrations of a large class of rotor-bearing-systems a general theory based on a linear approach is developed. The behaviour of the natural modes of a system with symmetric elements is discussed in terms of forward and backward precession depending on the rotor speed. The influence of external and internal damping is investigated. The steady-state response due to static and dynamic rotor unbalances is dealt with. In the case of rotor systems with asymmetric elements the technique of parameter and combination resonances of periodic systems is applied to characterize unstable behaviour at some critical speeds. Altogether, the general linear approach allows to discuss the dynamic behaviour of rotor-bearing-systems in a very general manner independently of a special type of rotor system.

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Prof. Dr. F. Weidenhammer zum 60. Geburtstag gewidmet     

Kreiselverhalten eines elastisch gelagerten Rotors

Übersicht Schnelle'Rotoren besitzen eine große technische Bedeutung. Ihr Bewegungsverhalten wird durch die Kreiselkräfte und die Elastizität und Dämpfung der Lagerung beeinflußt. Ausgehend von den Bewegungs-gleichungen wird das Eigenverhalten und das Störverhalten eines Rotors untersucht. Das Durchfahren der kritischen Drehzahlen ergibt instationäre Bewegungen, während axiale Erregerkräfte auf parametererregte Schwingungen führen. Die optimalen Parameter eines Rotors werden bestimmt. Experimentelle Untersuchungen bestätigen die Gültigkeit der theoretischen Ergebnisse.

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Summary High-speed rotors are of increasing technical interest. Their motion is influenced by gyroscopic forces and by the elasticity and damping of their suspension. Starting with the equations of motion the rotor's natural behaviour and disturbance behaviour is investigated. Running through the critical speeds instationary motions appear. Axial forces are leading to parametric excited vibrations. Optimal parameters of a rotor are determined. Experiments verify the validity of the theoretical results.

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Die Arbeit entstand als Gemeinschaftsarbeit am Institut B für Mechanik der TU München. Die Hauptbearbeiter der einzelnen Teilaufgaben sind in Fußnoten genannt. Die Untersuchungen wurden mit Mitteln des Ministeriums für Bildung und Wissenschaft gefördert.     

Dämpfungsmessung an Schallwellen in festen Körpern

Zusammenfassung Es wird ein Meßverfahren beschrieben, das die Aufnahme der Schwingungsformen von Versuchsstäben aus verschiedenen Baustoffen und die Bestimmung der zeitlichen Dämpfung dieser Stäbe gestattet, woraus auch die räumliche Dämpfung errechnet werden kann. Für Holz, Eisen, Beton und Ziegelsteine werden die Ergebnisse der Messungen angegeben.Für die Anregung dieser Arbeit und Unterstützung bei der Ausführung bin ich Herrn Prof. Dr.E. Meyer zu großem Dank verpflichtet.Über die vorliegende Arbeit ist im Fachausschuß für Lärmminderung am 6. 12. 1933 vorgetragen worden. In der Zwischenzeit ist eine Arbeit mit ähnlicher Versuchsmethodik vonW. Klein, Ing.-Arch. 5 (1934) S. 1, erschienen.     

Rotordynamik mit Berücksichtigung von Längskraft und Torsion im achsparallelen Schwerefeld

Übersicht Die gekoppelten nichtlinearen Differentialgleichungen der Rotordynamik einer in axialer Richtung homogenen Welle werden mit den Voraussetzungen der Bernoullischen Balkentheorie mit innerer Dämpfung (Kelvin-Material) nach der Theorie zweiter Ordnung für Längskräfte und Torsionsmomente bereitgestellt. Belastungen sind verteilte und diskrete Längskräfte und Torsionsmomente sowie äußere Dämpfung. Die Wirkung von Flüssigkeit, die den Rotor in Achsrichtung durchströmt, wird berücksichtigt. Das Differentialgleichungssystem besitzt nicht-konstante Koeffizienten und ist im Vergleich zu den sonst verwendeten Differentialgleichungen der Rotordynamik erweitert, um die oben aufgeführten Einflüsse zu berücksichtigen. Nach der Linearisierung der Differentialgleichungen und der Abkopplung der Torsion werden Lösungen durch komplexe Potenzreihen in der Achskoordinatex dargestellt. Diese Lösungen sind so genau, wie die zu ihrer Berechnung verwendete Anlage es zuläßt. Eigenwerte und Eigenformen werden in herkömmlicher Weise ermittelt und durch Vergleich mit bekannten Ergebnissen überprüft. Für eine Turbinenwelle und ein Tiefbohrgestänge werden kritische Lastkombinationen aus Drehzahl und Belastungen exemplarisch untersucht.

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Rotor dynamics with regard to longitudinal forces and torsion in a gravity field parallel to the axis

Summary The coupled differential equations of a shaft, homogeneous in axial direction, are derived under the assumption of the Bernoulli beam hypothesis and internal damping (Kelvin material). Second order theory is applied. The loads are distributed and discrete longitudinal forces and torsional moments. External damping and the effect of flow in the rotor along the axis are taken into account. The derived system of differential equations has non-constant coefficients. Compared with the commonly used ones it is extended with regard to the named actions. After linearisation and separation of torsion solutions are described with complex series of the axis coordinatex. The accuracy of the solutions depends on computer and software. Eigenvalues and characteristic functions are calculated and compared with known results. For a turbine shaft and a drill pipe critical combinations of loads and rotational speeds are exemplarily investigated.

     

Das Schwingungsfundament unter Zufallserregung

Zusammenfassung Neuerdings gewinnt die Aufgabe der Abschirmung mechanischer Schwingungen auch für ununterbrochen, regellos schwingende Erregung an Bedeutung.In der vorliegenden Arbeit wird eine der Aktiv- oder der Passiv-Entstörung dienende federnde Lagerung als einfacher linearer, gedämpfter Schwinger unter statistischer Erregung betrachtet. Als Erregerprozesse werden spezielle Prozesse in die Rechnung eingeführt, die durch bis zu einer Grenzfrequenz ₀ konstante Spektraldichten gekennzeichnet sind. Die damit berechneten Varianzen können zur Beurteilung der Abschirmung von Kräften, Wegen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen herangezogen werden und gestatten auch einen Vergleich mit den Amplituden, die man für periodische Erregungen berechnet. Aus diesem Vergleich ergibt sich im wesentlichen, daß zwar eine niedrige Eigenfrequenz der federnden Lagerung für die Abschirmung beider Erregerarten günstig ist, daß aber der Einfluß der Dämpfung gegensätzlich zu beurteilen ist. Während bei periodischer Erregung dämpfende Kräfte die Abschirmwirkung grundsätzlich verschlechtern, sind im Gegensatz hierzu dämpfende Kräfte zur Erzielung einer abschirmenden Wirkung bei Zufallserregungen unumgänglich erforderlich. Da Fundamente oft wechselweise bei beiden Erregerarten wirksam sein sollen, ist der Einbau abschaltbarer Dämpfer offenbar vorteilhaft. Derartige Dämpfer wurden schon häufig vorgeschlagen, um einerseits die Fundamentresonanz beim Anlauf und Auslauf gefahrlos durchfahren zu können und um andererseits im stationären Betrieb die volle Abschirmwirkung zu haben.     

Kombinationsresonanz und Instabilitätsbereiche zweiter Art bei parametererregten Schwingungen mit nichtlinearer Dämpfung

Übersicht Bei parametererregten Schwingungen mit nichtlinearer (kubischer) Dämpfung wird der Resonanzfall untersucht, in dem die Erregerfrequenz gleich der Summe zweier Eigenfrequenzen der ungedämpften freien Schwingungen ist. Dazu wird die erste Näherung der asymptotischen Methode nach Bogoljubow und Mitropolski benützt. Bei der Stabilitätsuntersuchung der trivialen Lösung ergibt sich ein kritischer Fall, in dem das Stabilitätsverhalten mittels eines von Salvadori angegebenen Verfahrens nach der zweiten Methode von Ljapunow untersucht wird. Es zeigt sich dabei im besonderen, daß die nichtlineare Dämpfung eine Erweiterung der Instabilitätsbereiche zur Folge hat, ähnlich der, die im Falle linearer Dämpfung eintritt, wie Schmidt und Weidenhammer nachgewiesen haben.

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Summary In this paper, parametrically excited vibrations with nonlinear (cubic) damping are examined for that case of resonance in which the exciting frequency is equal to the sum of two of the natural frequencies of free undamped vibration. Here, the first approximation according to the asymptotic method of Bogoliubov and Mitropolski is used. The stability investigation indicates a critical case, which is solved by Liapunov's second method by use of a procedure given by Salvadori. It is particularly shown that nonlinear damping causes widening of the instability regions similar to that shown by Schmidt and Weidenhammer for the case of linear damping.

     

Über die Stabilität der Biegeschwingungen von in Längsrichtung periodisch hin- und herbewegten Stäben

Übersicht Es werden die freien Biegeschwingungen von geführten und in Längsrichtung periodisch hin- und herbewegten Stäben untersucht. Mit den Annahmen der technischen Biegelehre wird die Bewegungsgleichung hergeleitet. Mit Hilfe der Methode von Kantorowitsch wird sie auf ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit periodischen Koeffizienten reduziert. Anhand dieses Systems werden Instabilitätsbereiche bestimmt.

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Summary The free bending vibrations of elastic beams moving periodically in longitudinal direction through clampings are investigated. The differential equation for these vibrations is established by assumptions of the technical theory of bending. It is reduced to a system of ordinary differential equations of second order with periodic coefficients by means of Kantorowitsch's Method. The instability regions are determined.

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Dank eines Stipendiums der Alexander-von-Humboldt-Stiftung ist diese Arbeit während meiner Tätigkeit am Institut für Getriebelehre und Maschinendynamik der Technischen Universität Braunschweig und am Institut für Technische Mechanik der Universität Karlsruhe entstanden.     

Kreiselmechanik des Anschütz-Raumkompasses

Zusammenfassung Damit ist bewiesen, daß der Raumkompaß, wie er in Ziff.2 beschrieben ist, durch die Bewegung des Fahrzeuges nur in sehr geringem Maße in Schwingungen gerät. Der Weisungsfehler im Azimut beträgt in extremen Fällen nicht mehr als einige Winkelminuten; im allgemeinen bleibt er weit unter diesem Betrag. Die Fehler der Horizontanzeige sind noch geringer. Dies gilt für Fahrzeuggeschwindigkeiten bis etwa 100 km/Std. (in Kiel), also für Schiffe, Eisenbahnen und Luftschiffe. Wenn auch bei den höheren Geschwindigkeiten der Flugzeuge die Fehler größer sind, so spielen dort die Beträge, die nach der vorausgehenden Rechnung zu erwarten sind, derzeit keine Rolle.Nicht gesprochen wurde in diesem Aufsatz von der Schwingungsdämpfung, obwohl diese aus praktischen Gründen nicht entbehrt werden kann. Die umständliche Untersuchung ihrer Wirkung und insbesondere der von der Dämpfung verursachten Beschleunigungsfehler ist aber nicht dringlich, weil die Dämpfung für den Raumkompaß keine wesentlich andere Rolle spielt, als für den Azimutkompaß, für den diese Fragen genau untersucht sind, und weil durch automatisches oder von Hand betätigtes Ausschalten der Dämpfung während der Dauer von Fahrzeugbeschleunigungen diese Fehler sich zum größten Teil vermeiden lassen.     

Eine Methode zur direkten Berechnung von Gleichgewichtslagen im Nachbeulbereich

Übersicht Es wird eine Methode vorgeschlagen, mit der durch Auffassung des Beulens als quasi viskosen Prozeß Gleichgewichtszustände im Nachbeulbereich ohne inkrementelles Vorgehen und unbeeinträchtigt von Durchschlags- oder Verzweigungspunkten berechnet werden können. Für die Anwendung auf Platten und Zylinderschalen werden Beispiele gegebenZusammenfassung Das Verfahren der quasi viskosen Dämpfung ermöglicht die direkte Berechnung von Gleichgewichtszuständen im Vor- und Nachbeulbereich von elastischen Konstruktionen.Der Berechnungsprozeß wird von örtlichen Durchschlags- oder Verzweigungspunkten nicht beeinträchtigt. Bei entsprechender Wahl der Dämpfung kann auf das schrittweise Aufbringen der Last, wie in inkrementellen Verfahren üblich, verzichtet werden.

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A method for direct calculation of equilibrium states in the post buckling range

Summary The common incremental procedure is replaced by a quasi viscous method, which allows stable equilibrium states in the post buckling range to be found unaffected by limit points or bifurcations of the solution path. Examples are given for the buckling of plates and shells.

     

Stability of a cantilevered bar subjected to a transverse follower force of fluid jet

Summary The present study is concerned with the theoretical and experimental investigations of the stability of a cantilevered bar subjected to the influence of a fluid jet that acts transversely at the free end. Fluid is carried along the length of the bar by means of a rubber hose placed suitably to avoid asymmetry and an attachment at the free end changes the direction of the fluid flow to achieve the desired result. Thus, in addition to having a transverse follower force at the end, the system is also subjected to the force of Coriolis acceleration.In the first part, using energy considerations, linearized equations of motion are obtained which turn out to involve variable coefficients. Explicit solutions of such equations in forms of known functions do not exist and, therefore, series solutions by using the Frobenius method are constructed. Using a computer, the undetermined coefficients are obtained which numerically converge to any prescribed accuracy. Flutter type instability occurs in the coupled modes of bending and torsion and buckling is completely absent. Stability curves are obtained by varying parameters representing ratio of bending and torsional rigidities, slenderness ratio and Coriolis force. The effect of internal damping is also examined. In the second part experimental results are obtained on models as described before. It is found that the behavior of the models is greatly influenced by the presence of dissipative forces in the material of which the models are made. By suitably accounting for the amount of damping in the system, the correlation between theoretical and experimental results is found to be satisfactory.

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Übersicht Es wird die Stabilität eines Kragträgers untersucht, der am freien Ende quer zur Längsachse durch die Reaktionskräfte eines Fluidstrahles belastet wird. Das Fluid wird entlang der Längsachse durch einen Gummischlauch herangeführt, wobei Unsymmetrien sorgfältig vermieden werden. Durch eine Vorrichtung am Ende kann die Richtung des Strahles eingestellt werden. Der Balken wird demnach durch eine Folge-Kraft sowie durch Coriolis-Kräfte beansprucht.Aus Energiebetrachtungen werden im ersten Teil der Arbeit linearisierte Gleichungen abgeleitet, die zeitveränderliche Beiwerte haben. Da sich die Lösungen dieser Gleichung nicht explizit durch bekannte Funktionen ausdrücken lassen, werden Reihenansätze nach dem Verfahren von Frobenius verwendet. Die unbestimmten Beiwerte des Ansatzes werden mit Hilfe eines Computers mit beliebig gewünschter Genauigkeit bestimmt. Eine Instabilität vom Flatter-Typ tritt bei gekoppelter Biegung und Torsion bei Abwesenheit von Knickbeanspruchung auf. Die Stabilitätskurven werden in Abhängigkeit von Biege- und Torsions-Steifigkeit, von Schlankheitsgrad und Coriolis-Kraft ausgerechnet. Außerdem wird der Einfluß der inneren Dämpfung untersucht. Im zweiten Teil wird über Versuchsergebnisse berichtet. Dabei zeigt sich, daß die Ergebnisse stark durch die dissipativen Eigenschaften des Balkenmaterials beeinflußt werden. Unter Berücksichtigung dieser Dämpfung kann die Übereinstimmung von Theorie und Versuch als befriedigend bezeichnet werden.

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Formerly Professor of Civil Engineering, The Technological Institute, Northwestern University, Evanston, Illinois.

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This research was supported initially under NASA Grants NsG605 and NGR 14-007-067 at Nortwestern University during the stay of one of the authors (S.N.P.) and it was completed at the University of Mississippi with support under Grant GK-3092 from the National Science Foundation.     

On self-excited whirl of rotors

Summary The paper presents a study of the non-synchronous, self-excited whirl of continuous rotors caused by internal damping forces and by hydrodynamic bearing-film forces. Taking into account gyroscopic effects, the effect of shear on bending, and external damping, the equations of motion are derived by the variational principle. By means of two mode expansions simple expressions are obtained for the limit of stability and the corresponding whirling frequency that are valid for small values of the velocity dependent forces.Numerical methods are used to obtain better approximations to the limits of stability and the whirling frequencies. The results show that for large values of internal and external damping forces and gyroscopic moments, the widely used two-mode approximation may be greatly in error. It is found that if the limit of stability is raised by adding external damping to the rotor system, then even a small amount of internal damping may considerably reduce the limit of stability. In accordance with experimental work done by other authors, it is found that for certain damping conditions a second stability region exists.

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Übersicht Der Artikel enthält eine Untersuchung von nicht synchronen selbsterregten Kreiselbewegungen eines kontinuierlichen Rotors, die durch innere Dämpfungskräfte und hydrodynamische Schmierfilmkräfte verursacht werden. Unter Berücksichtigung des Kreiseleffektes, des Einflusses der Schubspannung auf die Biegung und der äußeren Dämpfung werden die Bewegungsgleichungen nach dem Variationsprinzip abgeleitet. Mit Hilfe einer Annäherung mit zwei Koordinatenfunktionen erhält man einfache Ausdrücke für die Stabilitätsgrenze und für die entsprechende Kreiselfrequenz, die für kleine Werte der von der Geschwindigkeit abhängigen Kräfte gelten.Um bessere Näherungen für die Stabilitätsgrenzen und die Kreiselfrequenzen zu erhalten, werden numerische Methoden angewandt. Die Ergebnisse zeigen, daß die oft benutzte Annäherung mit zwei Koordinatenfunktionen für große Werte der inneren und äußeren Dämpfung sowie bei Gegenwart von Kreiselmomenten zu großen Fehlern führen kann. Es wird gezeigt, daß schon ein kleiner Beitrag an innerer Dämpfung die Stabilitätsgrenze merkbar reduzieren kann, wenn man die Stabilitätsgrenze durch Hinzufügung äußerer Dämpfung zum Rotorsystem hinauszuschieben sucht. In Übereinstimmung mit den experimentellen Ergebnissen anderer Autoren wird gezeigt, daß ein zweiter Stabilitätsbereich für gewisse Dämpfungsbedingungen existiert.

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The author wish to thank Professor Frithiof I. Niordson, lic. techn. Pauli Pedersen and lic. techn. Viggo Tvergaard for their stimulating criticism of this work.     

Instability of the vibrations of a rotating thin disk due to an additional support

Summary Vibrations of a rotating thin disk, such as a floppy disk with a clamped inner circle, a free outer periphery and an elastic support at one point are analyzed with due consideration of the centrifugal force. A solution of the equation of motion is described in the form of a series by orthogonal eigenfunctions of a non-rotating disk with the same boundary conditions, and a characteristic equation is introduced by the existence condition of the coefficients. The relation between natural frequencies and angular velocity, and regions of instability of free vibrations are shown.

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Schwingungsinstabilität rotierender dünner Scheiben mit zusätzlicher Stützung

Übersicht Die Schwingungen von rotierenden dünnen Schieben, die am Innenrand fest eingespannt sind, aber an einer Stelle des freien Außenrandes elastisch gestützt sind, werden unter Berücksichtigung der Flickraft analysiert. Hier wird eine Lösung der Bewegungsgleichung durch eine Reihe mit den orthogonalen Eigenformen einer gleichgelagerten nicht rotierenden Scheibe beschrieben, und es wird aus der Existenzbedingung der Koeffizienten eine charakteristische Gleichung eingeführt. Die Beziehung zwischen den Eigenfrequenzen und der Drehzahl sowie die Instabilitätsbereiche der freien Schwingungen werden dargestellt.

     

Die Stabilität rotierender Wellen infolge innerer und äußerer Dämpfung

Zusammenfassung Es wurde das Stabilitätsverhalten einer rotierenden Welle bei gleichzeitigem Vorhandensein von äußerer und innerer Dämpfung untersucht. Die äußere Dämpfungskraft wurde proportional der Absolutgeschwindigkeit vorausgesetzt, während für die innere Reibungskraft zwei verschiedene Gesetze unterschieden wurden, einerseits ein viskoses nach Voigt-Kelvin mit einer Reibungskraft proportional der Verformungsgeschwindigkeit und andererseits ein von Kimball-Lovell experimentell gefundenes Gesetz für Materialdämpfung. Obschon die Stabilitätsbedingungen für die Welle mit einem Freiheitsgrad bekannt sind, wurde in einem ersten Teil eine solche sog. Lavalwelle untersucht, um in einem zweiten Teil, der den Schwerpunkt der Untersuchung darstellt, den Vergleich mit der sog. glatten Welle, also einer Welle mit mehreren Freiheitsgraden im Sinne der Kontinuumsmechanik, zu ermöglichen.Die untersuchten Arten der inneren Reibung liefern bekanntlich für die Lavalwelle zwei grundsätzlich verschiedene Stabilitätsbedingungen: Während für die innere Dämpfung nach Kimball-Lovell ein Minimalverhältnis äußerer zu innerer Reibung genügt, um im ganzen Drehzahlbereich ein stabiles Verhalten zu gewährleisten, ist bei Voraussetzung einer viskosen inneren Dämpfung nach Voigt-Kelvin das nötige Minimalverhältnis im überkritischen Bereich von der Drehzahl linear abhängig.Es wurde gezeigt, daß bei der glatten Welle dieser Unterschied der beiden inneren Dämpfungsarten bezüglich des Stabilitätsverhaltens mindestens bei höheren Drehzahlen grundsätzlich verschwindet. Bei schwacher Dämpfung steigt das notwendige Minimalverhältnis der äußeren zur inneren Dämpfung für den stabilen Lauf mit zunehmenden Drehzahlen progressiv an. Bei größeren Dämpfungswerten hingegen ist die Stabilität von drei Parametern, nämlich der äußeren Dämpfung, die inneren Dämpfung und der Drehzahl, abhängig. Man kann die Parameter als Koordinaten eines räumlichen Koordinatenkreuzes auffassen und das Stabilitätsverhalten durch Aufspannen eines Stabilitätskörpers darstellen; der bei schwacher Dämpfung zu einer Stabilitätskarte degeneriert. Stabilitätskörper und -Karten wurden mitgeteilt und diskutiert. Danach läßt sich das Stabilitätsverhalten der Lavalwelle mindestens im Bereich höherer Drehzahlen nicht auf die glatte Welle übertragen.     

Über den geraden Knickstab mit begrenzter Durchbiegung

Zusammenfassung Die Untersuchung des durch ebene, starre Flächen in seiner Durchbiegung begrenzten geraden Knickstabes mit Hilfe der elementaren Biegetheorie führt auf eine interessante Durchschlagerscheinung. Unabhängig von der Art der Lagerung der Stabenden stützt sich nach Überschreitung der zugehörigen Eulerschen Knicklast der Stab an der Stelle seiner größten Durchbiegung gegen eine der Stützflächen ab. Die sich dabei ausbildende Stützkraft wächst mit zunehmender Stablast an, während sich gleichzeitig die Stabkrümmung an der Anlagestelle verringert.Erreicht die Stabkrümmung an der Anlagestelle die Krümmung der Stützfläche, dann bildet sich bei weiterer Steigerung der Stablast ein an der Stützfläche anliegendes, ungekrümmtes und daher momentenfreies Stabstück aus, an dessen Enden Einzelkräfte von der Stützfläche auf den Stab übertragen werden. Die Länge dieses Stabteiles wächst mit der Stablast solange an, bis diese die Größe der Eulerschen Knicklast des als an beiden Enden eingespannt anzusehenden geraden Stabteiles erreicht. Der nun einsetzende Knickvorgang des bis dahin an der Stützfläche anliegenden Stabteiles kann wegen der zunehmenden Knicklänge mit sich verringernder Stablast aufrecht erhalten werden. Bei unveränderter Stablast schlägt daher der mittlere Stabteil durch und kommt an der gegenüberliegenden Stützfläche zur Anlage.Bei weiterer Steigerung der Stablast kann der Stab immer als aus Teilstäben zusammengesetzt aufgefaßt werden, deren Lagerung den hier untersuchten drei Grundfällen entspricht. Es ist daher nicht zu erwarten, daß eine Weiterführung der Untersuchung noch zu grundsätzlich neuen Erkenntnissen führt.     

Über den Fahrzustand des Kraftwagens auf einer ebenen Kreisbahn ohne Überhöhung

Zusammenfassung Es wurde ein Verfahren für programmgesteuerte Rechenmaschinen angegeben, das es gestattet, die stationäre Kurvenlage des Kraftwagens und dessen Stabilität gegenüber kleinen Störungen zu bestimmen. Da die derzeit üblichen Fahrgestellkonstruktionen sehr verschiedenartige mechanische Eigenschaften aufweisen, ist von Anfang an angestrebt worden, eine allgemeine Methode zur exakten Berechnung zu entwickeln, ohne auf bauliche Einflüsse näher einzugehen, die vom jeweiligen Fahrzeugtyp zu sehr abhängen und in Form von Kennlinien eingeführt werden können. Auf diese Weise lassen sich auch erweiterte Fragestellungen, z. B. bezüglich Lenkungseigenschaften, behandeln.Die Bewegungsgleichungen des Kraftwagens wurden mittels eines Störungsansatzes in Gleichungen für die stationäre Kreisfahrt und in gewöhnliche lineare homogene Differentialgleichungen für die Störbewegung aufgespalten. Die sieben Gleichungen für den Stationärzustand sind nichtlinear, so daß der gesuchte Zustandsvektor mittels eines Iterationsprozesses berechnet werden muß. Die Untersuchung des Störungszustandes beschränkte sich auf die Bestimmung von Dämpfung und Frequenz der Bahnschwingung. Nick-, Wank- und Hubschwingungen des Wagenkastens blieben unberücksichtigt.Als Beispiel wurde die Fahrlage eines Rennwagens in einer gegebenen Kreisbahn berechnet. Die Variation der Fahrgeschwindigkeit erfolgte dabei von Null bis zur kritischen Geschwindigkeit. Durchgeführt wurden die Berechnungen mittels des digitalen Rechners ER 56 der Technischen Hochschule Stuttgart. Für einen Iterationsschritt benötigte das Programm eine Minute, die Durchrechung des ganzen Beispiels dauerte eineinhalb Stunden.     

Grundlagen zur Theorie ringförmiger Tragflügel (frei umströmte Düsen)

Zusammenfassung Behandelt wird die Strömungsanalyse um einen beliebig geformten, drehsymmetrischen Ring (Düse) mit tragflügelartigem Querschnitt, der in einem ganz beliebig gestörten, aber bekannten Strömungsfeld arbeiten soll. Nach Einführung gewisser Vereinfachungen wird der Flügel durch eine Ringwirbelbelegung auf der Skelettlinic des Flügelquerschnitts ersetzt. Für diese ergibt sich eine ziemlich komplizierte, nicht lineare Integralgleichung erster Art mit elliptischen Integralen als Kern. Diese werden nach wachsenden Potenzen des reziproken Abstandes von der Belegung entwickelt, worin sich noch der Logarithmus eingliedert. Die Fintwicklung kann praktisch schon frühzeitig abgebrochen werden. Man erhält so eine Summe von leichter zu behandelnden Kernfunktionen, deren erste die des geraden Stabwirbels ist, während die folgenden nacheinander mit wachsender Krümmung des Rings Bedeutung gewinnen. Führt man sämtliche gegebenen Funktionen und die Belegung auf Fourierreihen zurück, so geht nach Auflösung einiger bestimmter Integrale die Integralgleichung über in ein elementar aufzulösendes System vonm Gleichungen mitm Unbekannten. Diese Gleichungen lassen sich in vielen Fällen sehr einfach behandeln. Das Beispiel einer Düse mit gerader Skelettlinie wird durchgerechnet. Es zeigt sich, da\ die bei einem Tragflügelring entstehende Zirkulation sehr viel grö\er sein kann als bei einem ebenen Tragflügel gleichen Querschnitts bei gleichen Verhältnissen. Die durch das Störungsfeld am Tragflügelring entstehenden Kräfte werden errechnet.     

Über Querschwingungen von gelenkten Anhängern

Zusammenfassung Für die Querschwingungen eines gelenkten Anhängers werden die beiden ungedämpften Eigenschwingungszahlen und ein Verfahren zur Bestimmung des Einflusses der Dämpfung angegeben. Bei geradliniger Bewegung des Zughakens wird ein vereinfachtes Anhängermodell betrachtet. Die von L. Huber auf Grund von Versuchen angegebenen Ausdrücke für die auf einen Luftreifen wirkenden Seitenkräfte werden verwendet. Zur Bestimmung der beiden ungedämpften Eigenschwingungszahlen werden kleine Querschwingungsamplituden betrachtet.