三角形中位线定理应用例谈(上)

<正>(一)基础知识连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形的中位线,平行于第三边并且等于第三边的一半.这就是众所周知的三角形中位线定理.已知:如图1,△ABC中,D、E分别是边AB和AC的中点.求证:DE∥BC,且DE=1/2BC.证明连接CD,     

三角形中位线定理的多种证法

定理三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.已知:如图1,DE是△ABC的中位线.求证:DE∥BC,DE     

三角形中位线定理应用例谈

连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形的中位线,平行于第三边并且等于第三边的一半.这就是众所周知的三角形中位线定理.对于直角三角形ABC中,∠C=90°,设M为斜边AB的中点,则称MC为斜边上的中线.     

三角形中位线定理的另一证法

三角形中位线定理是:“三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半”.课本(人教版初二几何)在证明“三角形中位线定理”时,采用了“同一法”,方法如下: 如图1,DE是△ABC的一条中位线.如     

取中点巧解赛题

中点是线段上的特殊点 ,中线和中位线是三角形中的特殊线段 .平面几何中有许多与线段有关的问题 ,常可以通过巧取线段的中点后 ,转化为“中线”或“中位线”问题 ,然后再运用相关的性质来解决 .请看以下几例 .图 1如图 1 ,在四边形ＡＢＣＤ中 ,一组对边ＡＢ =ＣＤ ,另一组对边ＡＤ≠ＢＣ ,分别取ＡＤ、ＢＣ的中点Ｍ、Ｎ ,连结ＭＮ ,则ＡＢ与ＭＮ的大小关系是 .( 2 0 0 1年河北省初中数学竞赛题 )解　连结ＢＤ ,取其中点Ｐ ,连结ＰＭ ,ＰＮ ,则ＰＭ =12 ＡＢ ,ＰＮ =12 ＣＤ .∵　点Ｐ不在ＭＮ上 (否则ＡＢ∥ＣＤ ,使得四边形ＡＢＣＤ为平行…     

“三角形中的定理在四面体中的类比”一文的补充

文 [1]介绍了三角形中一些重要定理在四面体中的类比 .读后深受启发 ,但文 [1]还缺一些三角形性质的类比 ,作为该文的补充 ,笔者也介绍 3条类比性质 .1　中位线定理三角形的中位线平行于第三边 ,并且等于第三边的一半 .定理 1′　在四面体S ABC中 ,D ,E ,F分别是SA ,SB ,SC的中点 ,则平面DEF∥平面ABC ,并且△DEF的周长等于△ABC周长的一半 ,△DEF的面积等于△ABC面积的四分之一 .2　射影定理直角三角形一直角边的平方 ,等于它在斜边上的射影与斜边的乘积 .定理 2′　如图 1,在四面体S ABC中 ,SA ,SB ,SC两两垂直 ,S在平面…     

三角形三边关系的应用

三角形的三边关系定理“三角形两边的和大于第三边”及推论“三角形两边的差小于第三边”在解题中有着广泛的应用.一、判断三条线段能否组成三角形例1 以下列各组线段为边,能组成三角形的是( ).     

四边形的中位线定理

三角形有中位线定理,梯形有中位线定理,那么一般的四边形有无中位线定理呢? 首先,我们给四边形定义中位线:一组对边中点的连线,称四边形的中位线。而且有以下的四边形的中位线定理。命题 a,b为四边形的一组对边的长,其延长线的夹角为a(平行视为0°),则另一组对边中点的连线长为     

圆中线段不等关系证法

证明圆中线段不等关系的常用方法有: (1)将相关线段“聚”到同一个三角形中,利用“在一个三角形中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”或利用“在一个直角三角形中,斜边大于直角边”证. (2)计算相关线段的长,再比较大小. 下向举例说明. 例1 求证:直径是圆中最长的弦.     

一道求线段比中考题的解法探究和反思

本文先介绍2002年武汉市中考23题,然后从不同的角度思考求线段比问题,通过母子相似、利用中点构造中位线、平行相似、借助定理等途径来解决,最后考虑问题的拓展.     

梯形的判定与中位线定理(上)

<正>一个四边形中如果有一组对边平行,这个四边形叫做(广义)梯形.显然,广义梯形包含平行四边形.一个四边形中如果一组对边平行,另一组对边不平行,这个四边形叫做(狭义)梯形.显然,狭义梯形不包含平行四边形.梯形中位线定理梯形两腰中点的连线(中位线)平行于底边且等于两底和的一半.     

利用三角形三边关系定理证明线段不等

三角形任意两边的和大于第三边是三角形三边关系定理,也是三角形的一条重要性质,在证明线段不等中起着关键作用.例1如图1,已知AC,BD分别是四边形ABCD的对角线,求证:AB+BC+CD+DA>AC+BD.分析:要证结论,可以根据三角形三边关系定理,证出几个适当的线段不等的式子,然后将它们相加,整理得出所要的不等式.证明:由三角形三边关系定理,得AB+BC>AC,①AD+DC>AC,②AB+AD>BD,③BC+CD>BD,④①+②+③+④得2(AB+BC+CD+DA)>2(AC+BD).即AB+BC+CD+DA>AC+BD.例2已知:如图2,D,E是△ABC内的两点,求证:AB+AC>BD+DE+EC.分析:因为…     

关于三角形的三边关系

<正>三角形是由三条首尾相接的线段组成,但不是任意三条线段都能围成三角形.在具体的解题过程中,经常发生漏解、多解、错解等情况.本文着眼于三角形三边关系的简化,让思路明朗化,做到轻松解题.三角形的三边关系:两边的和大于第三边,两边的差小于第三边.用a,b,c表示三角形的三边,由"两点之间,线段最短"得:     

关于“相似形”中有关教材两点处理意见

(一) 初中几何课本第二册“相似形”这一章的第四节写的是“三角形一边的平行线的判定”、它是在证明了“平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成比例”这一命题的逆命题:“如果一条直线截三角形的两边,其中一边上截得的一条线段和这边与另一边上截得的一条对应线段和另一边成比例那么这条直线平行于第三边”。由于原命题的结论(比例线段)不只一种,从而其逆命题的条件(比例线段)也不只一种,即除上述一种形式外,还有如下形式。如图(1)在△ABC中。若AD/DB=AE/EC,则DE//BC由上述定理,根据比例性质易证后一种形式的逆命题为真。就得到了推论:若一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例那么这条直线平行于三角形的第三边。     

关于的一些数学题

型如“1/a+1/b=1/c“的证明,通常是先变形为“c/a+c/b=1“.再依据题设条件,应用相似形对应边的关系,三角形内(外)角平分线的性质,平行截线定理,利用三角、解析几何的知识找出有关线段的比来表示c/a和c/b,然后再证这比的和为1,这是证明此类问题的基本途径.……     

一道伊朗奥林匹克几何试题的三种证法

<正>1试题呈现(第6届伊朗奥林匹克几何初级组第2题)如图1,矩形ABCD与PQRD的面积相等,且对应边平行.设N、M、T分别是线段QR、PC、AB的中点,证明:N、M、T三点共线.2思路分析由矩形ABCD与PQRD的面积相等,可得AB·AD=PQ·QR.欲证明N、M、T三点共线,一方面可考虑连接TN,设线段TN与线段PC相交于点M′,然后借助关系式AB·AD=PQ·QR证明M′是线段PC的中点,     

利用对称性处理线段中点问题

众所周知,在初中阶段处理线段中点问题时用得最多的方法是考虑中位线,但在解题实践中我们也发现,许多与线段中点有关的问题(特别是一些竞赛试题),用中位线定理去处理往往是不尽人意或根本做不出。相反若以线段中点为对称中心去构造中心对称型全等三角形,却常能使问题得到简捷的解     

利用典型习题搞好平几教学

如何搞好初中几何教学,一直是大家最关心的一个研究课题。普遍反映是:教者难教,学者难学。因此有的教师想以多取胜,大搞题海战术,其结果是适得其反。如果我们充分利用课本上的一些典型习题,沟通知识之间的内在联系进行教学就会收到事半功倍的效果。例如,我们学了三角形的中位线定理,知道三角形的中位线平行于第三边且等于它的一半。     

关于1/a+1/b=1/c的一些数学题

型如"1/a+1/b=1/c"的证明,通常是先变形为"c/a+c/b=1".再依据题设条件,应用相似形对应边的关系,三角形内(外)角平分线的性质,平行截线定理,利用三角、解析几何的知识找出有关线段的比来表示c/a和c/b,然后再证这比的和为1,这是证明此类问题的基本途径.     

在一般观念引领下探索空间几何图形的性质(续)——“立体几何初步”内容分析与教学思考

3.3空间直线、平面的平行关系 1.空间中直线与直线的平行 平面几何中已经研究过平行线,立体几何中继续研究什么? 首先是将平面几何中关于平行的结论推广到空间,得到“基本事实4”.也就是说,平行关系的传递性在空间仍然成立. 利用基本事实4,可以将“等角定理”推广到空间(如图2),其证明也是利用平行的传递性,通过构造全等三...