例析三角形中位线定理及其应用

与三角形有关的“线”非常多,如高线、中线、角平分线、垂直平分线等,它们都在解决三角形有关问题中扮演着不同的“角色”、发挥着不同的作用.本文中以北师大版初中数学教材为蓝本,结合例题分析三角形中位线定理及其应用,可以给一线教师带来帮助.     

三角形三边关系定理的应用

关于三角形三边关系,有下述定理三角形任意两边之和大于第三边.其推论为三角形任意两边之差小于第三边.这个定理及其推论在解题中有着较为重要的应用,下面举例说明,希望对大家学好这部分知识能有所帮助.     

三角形中位线定理的多种证明

三角形中位线定理是初中几何重要的结论,为解题提供了线段的位置与长度关系.教材中对该定理的证明耐人寻味——通过辅助线,将三角形转化为平行四边形,再运用平行四边形的性质进行证明.这样的辅助线,与以前的“将四边形转化为三角形”完全不一样,进一步丰富了学生对转化思想更深层次的认识,也完善了对辅助线作法的认知.基于八年级学生的基础,本文中给出了其他几种解法,以培养学生的理性思考能力,提高学生的数学素养.     

发现、探究和掌握三角形中位线的性质定理

怎样发现和探求三角形中位线性质呢?我们常采用"观察、实验、猜想、验证、证明"的方法.这是一种科学的思维方法,也是我们获取知识的重要方法.如图1,△ABC中,DE是中位线.探求三角形中位线的性质,即探求图1中DE和BC的数量和位置关系我们很容易直觉观察到DE∥BC;用测量的方法可以得到DE=12BC.但这是一个特定的三角形,由此我们还不能得出猜想.     

对三角形三边定理的异议

文 [1 ]对△ＡＢＣ的恒等式ｃｏｓ2 Ａ ｃｏｓ2 Ｂ ｃｏｓ2 Ｃ 2ｃｏｓＡ·ｃｏｓＢ·ｃｏｓＣ =1用余弦定理代换为边的表达式而得到了三角形三边定理 :-2ａ2 (ａ2 ｂ2 -ｃ2 ) (ｃ2 ａ2 -ｂ2 )(ａ2 ｂ2 -ｃ2 ) -2ｂ2 (ｂ2 ｃ2 -ａ2 )(ｃ2 ａ2 -ｂ2 ) (ｂ2 ｃ2 -ａ2 ) -2ｃ2=0( )即　ｆ(ａ ,ｂ ,ｃ) =0　 (( )为笔者所加 ) .笔者首先指出 ( )为恒等式 .由行列式的性质 ,将行列式 ( )左边第 2列、第 3列都加到第 1列后 ,行列式的值不变 .∴-2ａ2 (ａ2 ｂ2 -ｃ2 ) (ｃ2 ａ2 -ｂ2 )(ａ2 ｂ2 -ｃ2 ) -2ｂ2 (ｂ2 ｃ2 -ａ2 )(ｃ2 ａ2 -…     

三角形线段比中的一个定理及其应用

本文介绍三角形线段比中一个定理,利用它可以方便地处理三角形中一类较为复杂的线段比例问题. 引理 如图1,E,D为△ABC边BC, CA上两点,BO与AE相交于O,若记BE/CE=m,CD/DA＝n,则BO/OD＝m(1十n).     

四面体中位线的一个性质及应用

四面体对棱中点的连线段,称为四面体的中位线.本文给出了四面体中位线的一个有趣性质,并介绍了它的两个应用.定理在四面体ABCD中,对棱AB,CD和BC,AD的中点分别为E,F,G,H.则EF2-GH2=12(AD2+BC2-AB2-CD2)①证明如图1,取AC,BD的中点分别为M,连接得平行四边形     

盘点近几年中考中与线段相关的一类最值问题

近年来,与线段相关的一类最值问题在各地市中考试卷中大量涌现,并成为近几年中考的热点题型之一.这类问题对知识和技能要求较高,能够考查学生分析问题和解决问题的能力与创新意识.解决此类问题主要借助以下3个知识点:(1)两点之间线段最短;(2)三角形的任意两边之和大于第三边,任意两边之     

构造中位线 巧解几何题

三角形的中位线是初中数学中的一个重要知识点,也是历年中考必考的内容之一.尤其是它的性质定理在几何的求解题和证明题中应用更为广泛,中考常考常新.在大多数试题中,中位线的组成,大多不是十分明显或完整地表现出来,需要我们在解题时,能够抓住题目中的已知信息(例如已知线段的中点)入手,通过适当手段构造出三角形(或梯形)的中位线,然     

三角形的余切定理及其应用

上述定理简洁工整,优美别致,与三角形的正弦定理极为类似,不妨称作三角形的余切定理．该定理揭示了三角形中的角、面积及由边构成的向量之间的独特的数量关系,为我们编拟或解答当前中学数学的热点内容之一“向量”的试题,提供了更新的背景,带来了很大的方便．下面仅举几例,供大家参考．     

换个角度"再发现"——三角形中位线定理证明的教学片断及反思

新课程标准指出:在教学中,应把证明作为探索活动的自然延续和必要发展,引导学生从问题出发,根据观察、实验的结果,运用归纳、类比的方法首先得出猜想,然后再进行证明,组织学生探索证明的不同思路,并进行适当的比较和讨论,这有利于开阔学生的视野;     

关于三角形中线对偶的一个定理及其应用

符号说明：本文中a,b,c,ma,mb,mc,△,P分别表示△ABC的三边、三条中线、面积和半周长．     

三角形的折心及其与各心的联系

将△ABC中x边上的中点记为Gx,x∈{a,b,c}(a≥b≥c,下同),记Fx为a、b、c三边中除x边的另两边所成折线长的中点,称Fx为相对于x边的折中点,线段FxGx称为x边的折中线,连同其长度合记为fx(图1)．     

巧用“ 中位线”,构架解题桥梁

三角形“中位线”的性质定理在几何求解题中的应用比较广泛,中考常考.在大多数题目中,“中位线”的组成,大多不是完整地表现出来,需要我们在解题时,能够抓住题目中的已知信息,补全三角形“中位线”的残缺部分,以此作为添加辅助的方法,构造解题桥梁,从而达到快速解题.下面试举几例,以示说明.     

利用三角形三边关系巧求最值

<正>基本事实三角形的三边关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.如图1所示,|a-b|≤c≤a+b,当A、B、C三点共线时,c最小值=|a-b|,c最大值=a+b.利用三角形的三边关系可以巧解几何最值问题.一、求最小值例1如图2,⊙O表示一个圆形水池,某人不慎落入水池中的P处(P与O不重合),问此人应以什么方向才能最短时间游到岸边?     

在“遗留问题”牵引下探索新知——以“三角形中位线”新授课教学为例

近两年《中学数学》(下)刊发了很多关于专家教师李庾南老师课例赏析的研究文章,通过老师们对李老师课例的完整再现与跟进赏析,使得我们以读刊这种方式亲近了专家教师的课堂,收益甚大.特别在李老师诸多课例的课堂导入环节,我们注意到李老师多是以一种贴近学生最近发展区的数学现实引入新课,而少用生活现实来引入新课.这也启发我们对数学现实引入新课的思     

架构在抛物线上的最值——两道中考试题及变式研究

初中阶段,涉及到"最"值问题的定理、性质有三个:1.两点之间,线段最短,以及其派生出来的三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;2.二次函数的最大值和最小值;3.垂线段最短.纵观近年相关中考题,抛物线中的最值问题,大约涉及     

避开相似 充分利用三角函数

<正>对于有公共角或等角的直角三角形,我们可以避开相似,充分利用三角函数的定义解题,这样更为简洁,下面举例说明.引例如图1,CD是Rt△ABC的斜边上的高,求证:(1)BC2=AB·BD;(2)CD2=AD·BD.证明(1)∵Rt△ABC中,cos∠B=BC AB,而在Rt△BCD中,cos∠B=BD/BC,∴BC AB=BD/BC,即BC2=AB·BD.(2)∵∠B、∠ACD都与∠A互余,∴∠B=∠ACD.∵Rt△BCD中,tan∠B=CD/BD,     

三角形中线长定理及其应用

一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边叫做三角形的元素．由已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．在传统的解三角形问题中,也把三角形的中线、高、角平分线作为三角形的元素．新教材在习题中给出了三角形中线长的计算公式,本文给出它的证明,并介绍这个公式在解题中的应用．     

一个三角形三边关系猜想的否定

贵刊文 [1 ]否定了文 [2 ]给出的三角形三边定理 ,证明了除非对任意的正实数ａ ,ｂ ,ｃ都有ｆ(ａ ,ｂ ,ｃ) =0 ,否则 ,三角形的三边ａ ,ｂ,ｃ不存在整式关系式ｆ(ａ ,ｂ ,ｃ) =0 ,并且提出如下猜想 :除非ｆ(ａ ,ｂ ,ｃ)恒等于零 ,否则 ,对任意三角形三边ａ ,ｂ ,ｃ而言 ,不存在一个固定的关系式ｆ(ａ ,ｂ ,ｃ) =0 .本文指出上面的猜想是不成立的 .利用符号函数ｓｇｎｘ =1 ,当ｘ>0时 ;0 ,当ｘ =0时 ;-1 ,当ｘ<0时 ,引入如下三元实值函数ｆ(ｘ,ｙ,ｚ) =ｓｇｎ(ｘ+ｙ -ｚ) +ｓｇｎ(ｘ+ｚ-ｙ)+ｓｇｎ(ｙ+ｚ -ｘ) -3 .由于ｆ(2 ,1 ,1 ) =-1 ≠ 0…