“黄金”数列的一个几何模型

<正>文[1]给出了"黄金"数列,即q=(5^1/2-1)/2的正项等比数列有如下的性质:（1）a_n=a_n+1+ a_n+2;（2）1/a_n=1/(a_n-1)+1/(a_n-2)（n≥3）.文[2]利用顶角为36°的等腰三角形构造了一个几何模型说明这两条性质.过程详见文献[2],本文不赘叙.     

“黄金”数列与“黄金”椭圆

黄金比作为数学美的化身,令人陶醉,黄金比有广泛的应用．本文探讨黄金比与数列、黄金比与圆锥曲线的关系．     

一个几何模型与一组递推数列

本文利用一个简单的几何模型,构建一组包括Fibonacci数列在内的递推数列.1　一个几何模型在△ABC中,设∠ACB=90°,AC=k2(k∈N),BC=1.在AB上截取AE=AC,则BE=k2 4-k2.令w=k2 4-k2.连结CE,作EF⊥EC,EF交BC于F,FG⊥EF,FG交BE于G,如此无限作下去,则△BEF、△BFG、…与△BCE相似,相似比依次为w,w2,w3,…,wn,…(1)作CM⊥EC,CM交BA延长线于M,NM⊥CM,NM交BC延长线于N,如此无限作下去,则△BMC、△BNM,…与△BCE相似,相似比依次为1w,1w2,1w3,…,1wn,…(2)2　构建一组递推数列数列(2)与数列(1)的对应项分别相加得1w w,1w…     

一道数列题的几何解法

1999年全国高中数学联赛第五大题 :给定正整数ｎ和正数Ｍ ,对于满足条件ａ21 ａ2 ｎ 1 ≤Ｍ的所有等差数列ａ1 ,ａ2 ,…… ,试求Ｓ=ａｎ 1 ａｎ 2 …… ａ2ｎ 1 的最大值 .文 [1 ]针对命题组提供的配凑技巧要求极高的解法 ,提出了质疑 ,并介绍了几种思路自然的解法 .笔者确实对“标准解答”的思路早生疑窦 ,受其启发 ,下面给出一种几何解法 .解　由条件ａ21 ａ2 ｎ 1 ≤Ｍ　　 (1 ) .它表示平面直角坐标系ａ1 Ｏａｎ 1 中的以原点Ｏ为圆心 ,半径为Ｍ的定圆面 (包括圆周 ) ,记为Ｃ .设等差数列 {ａｎ}的公差为ｄ ,则ａｎ 1 =ａ1 ｎｄ ,…     

“几何几何”与“三角几何”

人生在世能几何何必苦苦学几何学了几何值几何不学几何又几何这是一首打油诗.事情发生在抗日战争时期,有一次四川大学招生考试《几何》,有一名考生不会答题,竟在考卷上写了这首打油诗交卷.按照当时的招生规定,有一科得零分者不予录取.当时向先乔先生看了这首打油诗后说:“此生《几何》差且意志消沉,殊不足取;然     

用珠算“点”的模型教学几何

一看到标题，有人马上会问，这也太玄了吧，用珠算教学计算、教学计量听说过，能教学几何还没听说过？本文对此做以阐述。     

“黄金椭圆”与“黄金双曲线”微探

椭圆的离心率e∈（0,1）,当e=0＋√5-1/2=√5-1/2时的椭圆称为黄金椭圆,文[1]中叙述了几个优美的性质,由于双曲线的离心率e∈（1,＋∞）,     

“黄金”双曲线

若双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1(a＞0,b＞0)的离心率为黄金率(比)(5~(1/2)-1)/2的倒数即(5~(1/2) 1))/2,我们称该双曲线为黄金双曲线．性质1双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1(a＞0,b＞0)是黄金双曲线的一个充要条件是：a,b,c成等比数列,其中c为半焦距．证明充分性：∵a,b,c成等比数列,     

“另类”数列问题

在高三复习过程中,经常在模拟题或复习资料中出现一些信息迁移的数列问题,这类题目新颖、别致,超出于教材之外,又与所学数列知识紧密相连,能够较好地考查学生的逻辑思维与分析问题的能力,因此常被命题者所看重．现归纳整理如下,供大家参考．     

一网打尽“新”数列

有些同学遇"新"就怕,而新课程理念要求在掌握知识和技能之外,更加注重思维灵活性和发散性及信息迁移能力的培养.所以我们要迎"怕"而上,下面是本人对这些情景新颖的"另类"数列题所作归纳和探究.一、等和数列例1在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等     

运用几何解法求数列和的两例

我们知道: 1+2+3一*…+1:二,(九+1)/2, 1+8+5+…+(Zn一1)二”,, 1.+28+38+…+n吕二(1+2+3+…+”).。等公式的正确性3表示出来。,都可以直观地分别用图1、名、┌──┬────────┬─────┐│{十 │{1开 │;一’「 ││ │ │l一;二- │├──┼────────┼─────┤│厂厂│爪11 │11〕丁 │├──┼────────┼─┬───┤│尸尸│t)爹)l │口│二二 │├──┼─┬──────┼─┼───┤│军叭│尸│里少奋九」 │口│[妇 │├──┼─┼──────┼─┼───┤│Cr) │巴│犷1仁】 │厂│工j二 │…     

有趣的“黄金双曲线”

众所周知 ,著名的“黄金分割法”揭示了一种最优美的线段比例关系 .一般地 ,我们称 5 - 12 (或5 12 )为“黄金分割比” ,简称“黄金比” .在这里 ,我们约定离心率为 5 - 12 的椭圆叫做“黄金椭圆” ,离心率为 5 12 的双曲线为“黄金双曲线” ,黄金圆维曲线有许多有趣的性质     

有趣的“黄金双曲线”

众所周知，著名的“黄金分割法”揭示了一种最优美的线段比例关系，一般地，我们称√5-1/2(或√5 1/2)为“黄金分割比”，简称“黄金比”，在这里，我们约定离心率为√5-1/2的椭圆叫做“黄金椭圆”，离心率为√5 1/2的双曲线为“黄金双曲线”，黄金圆维曲线有许多有趣的性质，本文仅对黄金双曲线作些初步探索。     

一类数列不等式的几何背景溯源与拓展

<正>我们知道,当f(x)≥0时,定积分∫abf(x)dx的几何意义是:由:y=f(x),x=a,x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积(图1).利用定积分的几何意义,一些原本代数方法解答冗长复杂的函数或数列问题,可以迅速解决.下面,笔者从"对数平均不等式"的证明人手,讲解一类数列不等式几何背景的溯源与拓展.     

简议“图形数列”问题

<正>随着新课标的全面展开,"图形数列"问题已经深入高考试题、高考模拟试题以及课本之中,此类问题集趣味性、创新性、探究性于一体.现就近几年高考试题、高考模拟试题以及课本中出现的部分"图形数列"问题简议如下:     

数列解题中的“困惑”

数列解题中的“困惑”徐智愚（上海市崇明中学２０２１５０）在解数列综合题时，学生常遇到这样或者那样的“困惑”，究其原因，其实是一个或者几个概念上发生“故障”，从而“一着不慎，满盘皆输”．本义剖析几个典型的案例。一、“困惑”之一：已知ｌｉｍｑｎ＝０，求常...     

浅议数列“周期”的应用

众所周知，数列是一种特殊的函数，函数的性质在数列中的应用是一个很普通的问题，函数中有周期问题，所以数列中也必然有“周期”问题，有些数列问题，表面上看与“周期”无关，但实际上隐藏着周期性，一旦揭示了其周期性，该问题便迎刃而解，下面举数例说明数列周期的应用．     

“数列的极限”教学纪实

“数列的极限”是一个比较深奥和抽象的数学概念,对于中学生来说,要接受好这个概念是比较艰难的,我在讲授这个内容时,采用由浅入深、先粗后细、从感性到理性的方式,使学生比较自然、顺利地学到了这一新知识。