多视角探究平面向量最值问题

试题呈现（2012年安徽理科卷第14题）若平面向量a，b满足：｜2a—b｜≤3，则a·b的最小值为______．     

一道题的多视角求解

<正>2015年蚌埠市第二次质检考试数学理科有这样一道试题.试题平面向量(a|→),(b|→)满足|2(a|→)-(b|→)|=1,|(a|→)-2(b|→)|=1,则(a|→)·(b|→)的取值范围是____.该试题考查了平面向量数量积公式以及函数与不等式有关知识,考查了数学中的化归转化思想.根据题意,可将问题进行多元表征,进行多途径求解.     

2006年高考向量亮点解读

平面向量是高中数学的重要内容,它是衔接代数与几何的桥梁和纽带,向量、向量法在其他章节内容中的穿插、渗透和融合,是高考数学试题中的一道靓丽的风景,纵观2006年全国各地高考试卷,对平面向量内容的考查呈现“六大”亮点,现予以解读:亮点一:考查平面向量加、减法的运算法则例1(2006年·安徽卷)在平行四边形ABCD中,AB=a→,AD=b→,AN=3NC,M为BC中点,则MN=(用a→、b→表示)解析:MC=12b→,NC=14AC=41(a→ b→),∴MN=MC CN=MC-NC=12b→-14(a→ b→)=14(b→-a→).评注:理解平面向量的概念,熟练掌握向量加、减法的三角形法则,是解题…     

例析向量在不等式中的应用

向量作为新增内容进入中学教材,不仅丰富了中学数学知识体系,而且为我们解决问题提供了一种全新的、重要的数学方法.由平面向量扩充到了空间向量,将学生的思维从二维空间一下子升华到了三维甚至多维空间.利用向量的理论和方法可以有效地解决平面几何、立体几何、三角、不等式、复数以及物理学中的诸如力、速度、加速度、位移等许多问题.笔者在此就向量在不等式中的有关应用略作归类,以供读者参考.一、向量基本不等式:|a·b|≤|a||b|的应用下面分平面向量和空间向量进行研究.1.在平面设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2 y1y2,由|a·b|≤|a||b…     

平面法向量在立体几何中的解题应用

空间向量是平面向量的发展 ,是高考的必考内容 ,其方法与运算非常简单 .掌握了这种方法 ,会使我们在高考中快捷地解决立体几何问题 .本文试举例说明平面法向量在立体几何中的解题策略 .1　证明线面平行设n为平面α的法向量 ,要证a∥α ,只需证a·n=0 .例 1　 (1994年全国高考文理题 )如图 1,已知ABC-A1B1C1是正三棱柱 ,D是AC的中点 .求证 :AB1∥平面DBC1.证明　建立如图 1所示的空间直角坐标系A-xyz .设正三棱柱的底面边长为a ,侧棱长为b ,则　A(0 ,0 ,0 ) ,　B(32 a ,a2 ,0 ) ,C1(0 ,a ,b) ,B1(32 a ,a2 ,b) ,D(0 ,a2 ,0 ) .设平面…     

向量射影在解题中的应用

a·b=|a|·|b|cos(a,b),称为a和b的数量积,|b|cos(a,b)叫做向量b在向量a方向上的射影(或投影).不论平面向量,还是空间向量,其射影都具有明显的几何意义.向量射影的引进,对解决几何问题提供了一个方便、实用的工具.     

对人教A版选修2-1一道习题答案的质疑

笔者在上人教A版选修2-1"3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示"时,将教材P98习题3.1的第11题选作课堂习题,无意间产生了一个教学故事,现把它整理成文.为便于叙述,先给出原题:已知空间向量a,b,c是空间的一个单位正交基底,向量a+b,a-b,c是空间的另一个基底.若向量p在基底a,b,c下的坐标为(1,2,3),求p在基底a+b,a-b,c下的坐标.     

推广一个法向量 求解一类高考题

一、缘起 容易知道,在平面直角坐标系xOy中,过点A(a,0)和点B(0,b)的直线x/a+y/b=1(其中ab≠0)的一个法向量是n=(1/a,1/b). 把此结论推广到空间直角坐标系O-xyz中思考,就有以下结论. 二、定理 在空间直角坐标系O-xyz中,过三点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)(其中abc≠0,ab≠0)的平面ABC的一个法向量是n=(1/a,1/b,1/c). 证明:因为→AB=(-a,b,0),则由n·→AB=(1/a,1/b,1/c)·(-a,b,0)=-1+1+0=0,知n⊥→AB.     

一题三变话“四心”

近年来,随着平面向量的引入,与三角形的“四心”(内心、外心、重心、垂心)有关的几何问题已经成为各种考试考查的热点,求解这类问题的基本策略是利用好以下两个判定向量平行与垂直的基本性质.性质1a⊥b(a,b为非零向量)a·b=0.性质2存在唯一实数λ,使a=λb(b≠0)a∥b(b≠0)a与b(     

0被“双规”以后的话题

高中数学新教材 [1 ]第一册 (下 )第五章“平面向量”在给出定义“长度为 0的向量叫做零向量 ,记作 0”后 ,先后对它作了下面两个“规定”(本文简称“双规”) :“0与任一向量平行”(第 95页 )以及“零向量与任一向量的数量积为 0”(第 1 1 6页 ) ,并且接着在给出“a⊥b a·b=0”的前面明确指出“a、b都是非零向量”(第 1 1 7页 ) .这也就是说 ,新教材把平面向量集内的零元——— 0与其他元素的关系只归入共线而回避垂直 :当a·b=0时当且仅当a、b都不是零向量时 ,有a⊥b ;若a或b中有零向量时 ,未说a⊥b是否成立 .两向量的共线和垂直是两向量…     

平面向量架桥梁

平面向量给我们提供了一种研究问题的有效方法. 一、基底法用基底法来解证问题(主要是平面几何问题),一般可分为三个步骤: 第一步:在所论平面图形中选取两条(或多条)不共线的线段分别表示向量a、b(或a、b、c等);     

平面向量数量积的常见应用

平面向量的数量积是一个重点、难点 .学生对平面向量的数量积及其性质的应用 ,往往感到困难、或无从入手 .本文从以下几个方面讲解它的性质及应用 .两个非零向量 a和 b,它们的夹角为θ,把数量 | a| b| cosθ叫做 a和 b的数量积 (或内积 ) ,即 a . b =| a| | b| cosθ.1　数量积 (内积 )定义的直接应用例 1　在△ ABC中 ,AB=c,BC=a,CA= b,求证 :△ ABC为正三角形的充要条件是 :a . b =b . c =c . a.分析　“ ”即充分条件因　 BC =a,CA =b,AB =c,由　 a . b =b . c=c . a,得 a . b =abcos(π - C) ,b . c =cbcos(π - A) ,c . a =cac…     

平面向量在中学数学中的应用

人教版高中数学试验本第一册 (下 )中增加了《平面向量》一章 .在第二册 (下 B)版本中引进了空间向量的内容 ,并运用向量理论来处理立几中的“点、线、面”问题 .引入空间向量后 ,用向量代数来处理立几问题 ,体现了“数”与“形”的结合 ,淡化了传统立几教材中的“形到形”的推理方法 ,从而降低了思维难度 ,解题变得有章可循 ,进一步减轻了学生的负担 .应用平面向量处理立几之外的数学问题 ,往往也可以收到化繁为简、化难为易和综合应用的效果 .1　应用平面向量求函数的值域 (最值 )例 1　已知 a,b,c为正数 ,求函数 y =x2 a2 ( c - x) …     

共面向量定理及其推论在立体几何中的应用初探

共面向量定理如果两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的实数对x,y,使p=xa yb.推论空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在唯一的实数对x,y,使MP=xMA yMB.运用上述定理及其推论可以巧妙地解决立体几何中的许多问题.1证线面平行例1已知P是正方形AB     

妙用向量解两联赛题

<正>2013年数学联赛早已落下了帷幕.在经久不息的议论声中,我们有悟有得.笔者发现构造向量可快速求解其中的两道联赛题.如下:例1(2013年联赛B卷一试第10题)假设a、b、c>0,且abc=1,证明:a+b+c≤a2+b2+c2.分析联想到向量的数量积与向量的模     

用化归思想解高考题

<正>2014年高考数学(浙江卷)文科第16题:已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值是__.分析本题主要考查最值求解的基本策略,咋看题目涉及到的字母参数较多,思路不太清晰,同学们很容易迷失方向以致半途而废.若把要求的字母a看作常量,其他字母如b和c看作变量,将题目条件化归为解析几何或方程或函数或三角函数或不等式或平面向量或     

一道2011年江苏高考题的解法探究

2011年全国普通高等学校招生考试江苏卷附加题23题为:设整数n≥4,P(a,b)是平面直角坐标系xOy中的点,其中a,b∈{1,2,3,…,n},a>b.     

三角形“四心”的向量式充要条件及其应用

2006年数学高考大纲中明确指出:要加强平面向量在平面几何中的应用.纵观近几年的高考题,我们已经体会到这种命题思想的变化.在平面向量在平面几何中的应用问题中,又以涉及三角形“四心”的试题为热点.由于三角形的“四心”与向量之间有着紧密的联系,这就为运用向量解决这类“心     

直线向量的参数形式在解题中的运用

全日制普通高级中学数学教科书(实验修订本·必修)第二册(下B,P_(28))(人民教育出版社, 2003)给出共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a =λb.其中介绍一个推论:如果L为经过点A且平行于已知非零向量a的直线,那么对于任一点     

求二面角大小的向量方法

向量具有一套良好的运算性质 ,它可以把几何图形的性质转化为向量运算 ,变抽象的逻辑推理为具体的向量运算 ,实现了“数”与“形”的结合 .因此用向量知识解决立体几何的二面角问题 ,有时显得特别简捷 .以下就举例说明用向量法求二面角大小的解题策略 .1　以平面向量为工具 ,建立求解二面角的平面向量模型以平面向量为工具 ,建立求解二面角的平面向量模型后 ,再利用平面向量的数量积公式 :a·b =|a|·|b|cos〈a ,b〉 ,可以使整个解题过程程序化 ,使问题变得熟悉化 .图 1　公式证明用图如图 1,若CE⊥AB于E ,DF⊥AB于F ,则二面角C AB D…