集合关系中蕴涵的辨证关系及其对我们的启迪

集合是近代数学的一个重要概念 ,集合元素的任意性使得集合有着深刻的内涵 ,从而使集合的思想能渗透到数学的方方面面 .高中数学主要介绍了集合的五种关系“子集、相等、交集、并集、补集” .这些关系对于解决数学问题时有一定的启迪 .在此基础上进一步深化 ,还能发现其包含着丰富的数学思想和深刻的哲学原理 .1　子集关系中的特殊和一般集合中若A B 任意x∈A都有x∈B .所以探求具有A的性质的问题 ,可以利用子集的关系在B中加以讨论 .从哲学的观点来看 ,一般中包含着特殊 ,解决了一般的问题 ,特殊问题就迎刃而解 .这是数学解题的一种重…     

例说集合的关系

在判断两个集合之间的关系时 ,紧紧抓住集合中元素的特征 ,理解元素的含义是解决众多集合问题的关键 .一看似相等 ,实则不等例 1已知集合A ={x| y =x2 + 2x +3 },B ={y|y =x2 + 2x + 3 },C ={(x ,y) |y =x2 + 2x + 3 },求A∩B ,A∩C .错解　A∩B =A =B ,　A∩C =A =C .错因　虽然A ,B ,C中的关系式y =x2 +2x + 3完全相同 ,但其集合内元素的本质截然不同 ,A ,B ,C分别表示函数 y =x2 + 2x + 3的x的范围 ,y的范围 ,抛物线上的点组成的集合 .　∵　A =R ,B =[2 ,+∞ ) ,C为点集 ,∴　A∩B =[2 ,+∞ ) ,A∩C = .二看似不等 ,实则相…     

集合学习中要注意的几个问题

集合是我们进入高中学习数学首先接触的重要数学概念之一,也是中学数学中最基本、运用最多的概念和数学工具之一.学好它,很有必要.本文介绍学习集合时必须注意的几个问题.1.正确区分点集与数集集合是由元素构成的,认清集合元素是表示点还是数对于处理集合之间的关系及进一步认识集合都非常重要.例1设集合A={x|y=x2-1},B={y|y=x2-1},C={(x,y)|y=x2-1},则下列关系中不正确的一个是()(A)A∩C=.(B)B∩C=.(C)B A.(D)A∪B=C.分析集合A是数集,是二次函数y=x2-1的自变量组成的集合,易知A=R;集合B也是数集,是二次函数函数值组成的集合,易知B…     

两个集合问题的辨析

下面通过对两个集合问题的辨析,希望能 帮助同学们更好地理解集合的有关概念. 问题1 设集合A,则集合B={x | x∈A) 与集合是否相等? 高一同学常常认为集合B与集合C相同, 既使高三同学也有很大一部分认为是相同的. 从调查发现,同学们对证明集合相等的方法 (证明两个集合互为子集关系)还是理解的,错     

都是空集惹的祸

空集是一种特殊的集合,它在有关集合的运算中起着十分重要的作用,忽视了它的存在,就可能导致错解漏解,下面举例说明. 例1 已知集合A={1,2},B={x|mx-1=0,若AUB=A,求实数m的值. 错解由AUB=A知,1∈B或2∈B,所     

集合的概念与运算

集合是数学中的重要概念之一,在中学数学竞赛中,许多本质上属于代数、几何、数论、组合的问题都可以用集合的观点和方法来解决,局部与整体的观点是其思想实质.一般地,某些指定的对象集中在一起就成为一个集合,集合中的每个对象叫做这个集合的元素.常用描述法表示集合,S={x|x具有性质P}表示所有具有性质P的对象组成的集合S.集合的运算中,除了交、并运算外,还有补运算和差运算.对于A、B两个集合,由所有属于A但不属于B的元素构成的集合称为A关于B的差集,记作A\B,即A\B={x|x∈A,且x B}关于集合的运算满足如下关系式:(1)交换律:A∩B=B∩A…     

判断两集合相等的常用方法

两集合相等是用子集的概念来定义的,即“若A B,且B A,则A=B”.因此要证明两集合相等,就是要证明两集合互为子集.关于两集合相等的证明,我国高中数学教学大纲没有提出明确的要求,于是就有人认为两集合相等的概念可以淡化.笔者认为,这种理解是片面的.其实,集合的化简过程就是不断     

争鸣

问题问题168试用集合A,B,C表示图1中的阴影部分:解法1 C_c((A∩C)∪(B∩C))∪(A∩B∩C)解法2 C_((A∪B∪c))(A∪B)∪(A∩B∩C)观点1解法1,解法2都正确.观点2解法1错误,解法2正确.理由是解法1中集合C不能作为全集,人教版普通高中课程标准实验教科书数学1必修P10给出全集定义:     

集合问题错解剖析

集合是数学中最基本概念之一 ,它是进一步学习其它数学知识的基础和基石 .因此 ,它在高中数学中有比较重要的地位 .但是由于集合的概念比较抽象 ,许多学生在解题过程中会因某种原因而致误 .现剖析如下 :1　忽视空集而致误例 1　已知集合 A ={ x|x2 - 1 =0 } ,B ={ x|ax - 1 =0 ,a∈ R} ,且 A∪ B =A,求 a的值 .错解　 A ={ - 1 ,1 }要使 A∪ B=A,只需 a× (- 1 ) - 1 =0或 a× 1 - 1 =0 ,∴　 a的值为 1或 - 1 .剖析　上述解答是因为忽视了空集的性质 A∪ =A,而出错的 ,事实上 ,当 B= ,即 a =0时也符合题意 .∴　正确答案是 a的值…     

运用子集思想确定参数取值范围

确定参数取值范围问题是高考、竞赛中的热点问题 .关于这类问题的解法 ,有很多作者进行了研究 ,本文就一类与子集有关的参数范围问题作一些探讨 ,供同行们参考 .对于 A、B两个集合 ,如果 A中每一个元素都是 B中的元素 ,则称 A是 B的子集 ,记作A B,利用子集概念 ,可以简明地解决许多数学问题 .例 1　设集合 A ={x| x2 x - 6 <0 },函数 f ( x) =x2 ax - 2x2 - x 1 的值域为 B,求使B A的实数α的取值范围 .分析　这里的集合是一个“非必求量”.若先求 f ( x)的值域 B,再通过数轴 ,由 B A,列出关于α的不等式组 ,然后解不等式组 …     

一道映射个数题的隔板解法

在高三数学复习中,有一道求映射个数题,题目如下: 已知A={1,2,3,4,5},B={6,7,8},从集合A到集合B的映射中,满足f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)≤f(5)的映射有多少个? 通常的解法是:根据A中的元素在B中对应的元素个数分类.第1类,A中的元素对应B中的同一个元素,有C31=3个映射;第2类,A中的元素对应B中的两个元素,这里需要先确定是哪两个元素,所以要选出这两个元     

谈集合间的关系

本刊争鸣栏问题 5 8是 :集合间的关系有几种 ?要回答这个问题 ,我们从数学中的“关系”谈起 .在抽象代数中 ,规定集合A的元素间的一种关系R是A×A ={ (x ,y) |x∈A ,y∈A}的一个子集R .即A×A的任一个子集均确定集合A的元素间的一种关系 .判断R是否成为集合A的元素间的一种关系常按如下方法进行 :若对于任意的a ,b∈A ,要么a与b满足关系R ,要么a与b不满足关系R ,二者必居其一 ,这时我们就说R是集合A的元素间的一种关系 .否则R就不是A的元素间的一种关系 .依据上面关于“关系”的判定方法 ,我们说集合间关系在高中教材中只介绍了两种…     

对一个映射问题的认识

问题设集合A={1,-1},B={1},从集合A到集合B能建立多少个映射?解由于A中1,-1只能与B中的1对应,根据映射的概念从A到B只能建立1个映射.我对上述解法产生了疑问.我是这样想的:从A到B能建立很多函数,比如:f1:A→Bx→x2;f2:xA→→|Bx|;f3:xA→→1B即f1(x)=x2,f2(x)=x,f3(x)=1.可以看出:f1:A→B中对应关系为平方,f2:A→B中对应关系为取绝对值,f3:A→B把所有的x对应成1,三种对应     

求函数值域的几种方法

若有非空数集 A到 B的映射 f :A→ B,则函数 :y =f (x) (x∈ A、y∈ B)的值域是自变量 x在 f作用下的函数值 y的集合 C,很明显 ,C B.求函数值域的方法要随函数式的变化而灵活掌握 ,同时应注重数形结合、等价转换、分类讨论等重要数学思想的理解与运用 .1　定义法要深刻领会映射与函数值域的定义 .例 1　已知函数 f :A→ B(A、B为非空数集 ) ,定义域为 M,值域为 N ,则 A、B、M、N的关系 :(　 ) .(A) M =A,N =B(B) M N,N =B(C) M =A,N B(D) M A,N B说明　函数的定义域是映射 f :A→ B中的原象集合 A,而值域即函数…     

什么是悖论

在上世纪初前后,有一类自相矛盾的语句引起了数学家们的关注.他们为了在数学的基础性研究中避免类似的矛盾而煞费苦心,从而促进了数学基础及数理逻辑的发展.这类语句称为悖论,现在举几个例子.1罗素悖论哲学家兼数学家罗素(B.Russell)在考虑集合的理论时,想到了“所有的集合”,以及“所有的集合”是否也能组成一个集合呢?如果能,记它为A,则应有:(集合)A∈(所有的集合组成的)A.但我们日常所见到的集合并不如此,例如集合{a},它只有1个元素a,而{a}就不是{a}的元素了.所以,我们日常见到的任一集合S,都具有S S这样的性质.现在考虑“所有适合S …     

例说映射概念及应用

映射是近代数学的一个重要的基本概念, 它是一种常用的数学思想,同时也是高中数学中函数的基础以及换元思想的理论依据.充分掌握和利用映射概念及思想,对于解决某些数学问题是必要的. 高中数学教材对映射概念是这样描述的: 一般地,设A,B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,这样的对应     

从一道开放题的变式再来理解函数的概念

对于函数的概念,苏教版必修数学1是站在集合观点上给出的,一般地,设A,B是两个非空数集,如果按某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有惟一的元素y和它对应,这样的对应叫做从A到B的一个函数,通常记为y=f（x）,x∈A,其中所有的输入值x组成的集合A叫做函数y=f（x）的定义域,对于A中的每一个x,都有一个输出值y与之对应,我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域．     

解题中易忽视的几种特殊情形

数学中有许多题目,求解的思路很容易想到,入手也不难,但不少同学往往容易忽略对某些特殊情形的讨论,导致错解漏解.在解题中我们要学会全面地分析问题,培养思维的严谨性. 一、应注意空集的特殊情形 例1 已知集合A={x|x2-5x 4≤0}与B={x|x2-2αx α 2≤0,α∈R},满足B A,求α的取值范围.     

特殊化——一种有效的数学思维方法

客观事物的发展,总是经由由简单到复杂、由特殊到一般、由个体到群体、由具体到抽象这样一个过程;人们对客观事物的认识也是如此;在数学解题研究中的特殊化思考法,就是基于这一原理。一、什么是特殊化方法 1.G.Polya的例子及其分析当代美国著名数学家、数学教育家G.Polya在其名著《数学与猜想》里指出:“特殊化是从对象的一个给定集合,转而考虑那包含在这集合内的较小的     

再谈自然数方幂集合的划分

2004年上海市TI杯高二年级数学竞赛团体赛第2题:集合M={12,22,…,10002}.问:能否把集合M分拆成2个非空子集A、B,同时,满足(1)A∪B=M,A∩B=;(2)集合A与集合B的元素和相等.若可能,指出具体的分法,并给出证明;若不能,说明理由.文[1]对此题的进行了深入的探讨,对一般的M={1s,2s,…,