反比例函数的“特殊性质”及应用

一般地,如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x(k为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数.由定义可得反比例函数的另一种表示方法:xy=k,它的几何意义为S三角形=1/2|xy|,S矩形=|xy|.记住这个重要性质,便能运用面积法简便、巧妙地解决反比例函数问题.     

一道课本习题证法的讨论、拓展与应用

一、问题提出如图1,已知反比例函数y₁=1/x、y₂=3/x在第一象限的图像,过y₂上的任意一点A,作x轴的平行线交y₁于B,交y轴于C,过点A作x轴的垂线交y₁于D,交x轴于E,连接BD、CE,则BD/CE=_<sub><sub><sub><sub><sub><sub><sub><sub>.此题是沪科版教材九年级上册第21章《二次函数与反比例函数》的复习题.题目是反比例函数综合题,主要考查曲线上点的坐标与方程的关系,反比例函数的系数k的几何意义,相似三角形的判定和性质.题目难度适中,解决方法不唯一,能很好发散学生的思维,锻炼学生解决数学问题的能力.     

面向几何直观的代数推理——以初中学段函数作图内容为例

函数问题源于生活而高于生活.初中数学学习过程中，依据函数解析式作函数图象于学生而言比较吃力.从知识逻辑顺序的角度，根据函数解析式对函数图象所处象限、变化趋势、对称性及函数图象与坐标轴的交点等方面进行简单的代数推理，猜出函数图象，提前获得函数图象几何上的直观，帮助学生更高效作出函数图象，积累函数作图经验.本研究中例说对正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数解析式进行代数推理的过程及其优越性，在一定程度上契合知识学习的顺序，供教师教学参考.     

反比例函数中考新题型赏析

随着《课程标准》的全面实施,近几年中考数学命题发生了较大的变化,许多领域得到开发,比较典型的是有关反比例函数的新试题,其中不乏为立意新颖、构思巧妙的好题.现以近两年的中考试题为例,分类予以说明,以飨读者.一、数形结合,考查k的几何意义     

学习反比例函数五重视

反比例函数y=k/x(k为常数且k≠0)是一种基本函数,在初中阶段,主要学习它的图像、性质、函数解析式的求法及其简单的应用.下面从五个方面谈一下怎样学好反比例函数.     

两个反比例函数图像间的一个有趣性质

对于反比例函数的图像,有一个大家比较熟悉且容易证明的性质:设A是反比例函数y=k/x(k≠0)图像上的任意一点,过A引x、y轴的平行线,分别交y、x轴于点B、C,则|AB|·|AC|=|k|(定值).进一步探究我们发现,将以上性质中的一个反比例函数引申拓     

与面积有关的反比例函数问题

<正>解决与反比例函数有关问题时,经常要用到反比例函数的面积的不变性,即反比例函数图1y=k x的本质特征,两个变量y与x的乘积是一个常数k,由此不难得到反比例函数的一个重要性质:如图1,过双曲线y=k x(k≠0)上一点P分别作x轴、y轴的垂线PM、PN,所得的矩形的面积S=PM·PN=|x||y|=|xy|=|k|.下面举例介绍一些与面积有关的反比例函数问题.图2例1如图2,Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上,斜边AC边上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于E,双曲线y=k x(x>0)的图像经过点A,若△BEC的面积为4,则k     

求“k”值的解析与感悟

反比例系数k是反比例函数y=k/x(k≠0)中的唯一常数,它决定着反比例函数的图像和性质.求k是求反比例函数解析式的关键步骤.在解有关反比例函数解析式的问题时,"k"起着     

反比例函数中的“设而不求”

<正>中考反比例函数问题是重要的考点,有不少题可采用"设而不求法",具体是:一般先设出双曲线上一点的横坐标作为辅助未知数,然后顺藤摸瓜借助辅助未知数及k联系起已知与未知,列式或方程,最后通过约分约去辅助未知数从而得解.采用这种方法会收到化难为易、打开思路的效果,现就此类题提供数例,希     

优化教学设计 提升复习效能——《一次函数与反比例函数》复习教学设计与反思

1教学目标 （1）结合实例,了解函数的概念和三种表示方法. （2）会用待定系数法确定一次函数和反比例函数表达式．能根据一次函数、反比例函数图象和表达式探索并理解k〉0和k〈0时,图象的变化情况．     

正比例函数与反比例函数的思考

上海市初二数学教材第二十一章“正比例函数与反比例函数”共有三个单元:比例及性质;正比例函数与反比例函数;函数在第二单元中,正比例函数的定义为:“一般地,如果变量x、y满足y=kx(k≠0),那么称变量x、y成正比例,函数y=kx为正比例函数”.反比例函数的定义为:“一般地,如果变量x、y满足y=kx(k≠0),那么称变量x、y成反比例,函数y=kx为反比例函数.”本人认为,这样定义存在两点不足:1.它没能反映正比例函数、反比例函数与比例之间的内在联系,甚至让人觉得第一单元和第二单元间并没联系.在第一单元学习了比例,知道比例是形如a∶b=c∶d(bd≠0)的…     

反比例函数系数K与图形的面积

<正>同学们都知道,反比例函数系数k的几何意义为:如图1,过反比例函数y=k/x(k≠0)图像上任意一点P分别作x轴、y轴的垂线PM、PN,垂足为M、N,则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|,三角形PON(或三角形POM)的面积S=|k|/2.那么它能帮助我们解决哪些常见的问题呢.     

用平面几何知识探究两道高考向量题的共同背景

向量既有大小也有方向,是联系几何与代数的桥梁纽带．对于向量问题如果能够充分利用相关的几何与代数知识,通常可以简单解决．现在的敦与学,过多关注向量的代数运算,很少关注向量的几何特征．然而有些向量问题用其代数运算是很难解决的,2011全国卷Ⅱ理科12题不论用坐标向量的代数运算,还是用非坐标向量的代数运算都很难解决,若利用平面几何知识则很容易解决．     

《直击两道反比例函数题》的又解

<正>《中学生数学》(初中版)2015年第1期刊登了文章《直击两道反比例函数题》,文中主要运用代数的方法,通过构造方程,最终得到答案,下面笔者运用几何的方法给出两道题的解答,方法更显简便.运用几何法,就要知道反比例系数的几何意义,即如图1,点B在     

关于重视几何直观分析的思考

关于重视几何直观分析的思考王敬庚（北京师大数学系１００８７５）培养学生从几何直观上分析问题的能力，是中学几何教学的任务之一，然而在解析几何教学中，却往往容易把注意力全部放在如何教学生用代数方法解几何题上，而对如何教学生也要注意从几何直观上分析问题重视...     

为什么反比例函数的图象是双曲线

学习双曲线定义时,容易想到反比例函数y=k/x(k≠0)的图象也称作双曲线.反比例函数图象与圆锥曲线定义的双曲线是同一类曲线吗?为了让学生弄清这一问题,笔者建议学生在学完双曲线后,根据所学知识作一番探究,然后在适当时间将成果在课上进行交流.为简便起见,都以反比例函数y=1/x图象为研究对象.     

反比例函数比例系数的几何意义及应用

反比例函数比例系数的几何意义:反比例函数图像上的任意一点的横坐标与纵坐标的乘积都等于比例系数k的值,如图1所示．过双曲线上的一点A(m,n)作AB垂直于x轴,垂足为B,AC垂直于y轴,垂足     

直击两道反比例函数中考题

<正>反比例函数问题,常含有几何图形背景,解法灵活多样.既要挖掘相应的几何内涵,又须利用函数图像上点满足函数解析式的值相等.现举例加以说明,供参考.一、与等边三角形相关联问题.例1(2014年武汉市)如图1,若双曲线y=k x与边长为5的等边△AOB的边OA、AB分别相交于C、D两点,且OC=3BD,则实数k的值为.     

中考中的反比例函数题

反比例函数的主要知识点有：反比例函数的概念、图像、性质,反比例函数的应用,反比例函数与一次函数的结合．反比例函数的难点是对反比例函数及其图像、性质的理解和掌握．     

“由数及形”代数推理和几何直观的融合——以“反比例函数的图象与性质”为例

在“反比例函数图象与性质”的探究过程中,把“解析式特征”与“图形特征”紧密结合.通过先“想一想”再“画一画”的教学环节,紧紧抓住反比例函数解析式“定积”特征,“由数及形”推理得到反比例函数的图象“特征”,观察图象“特征”归纳得到反比例函数的性质.尝试在教学过程中通过不断设问、追问,引导学生不断反思、深入思考,在学生独立思考、自主探究和合作交流中培养学生推理能力和几何直观等核心素养.