Criterion of polynomial increase of a function and its derivatives

ДОкАжАНО, ЧтО Дль тОгО, ЧтОБы Дльr РАж ДИФФЕРЕНцИРУЕМОИ НА пРОМЕжУткЕ [А, + ∞) ФУНкцИИf сУЩЕстВОВА л тАкОИ МНОгОЧлЕН (1) $$P(x) = \mathop \Sigma \limits_{\kappa = 0}^{r - 1} a_k x^k ,$$ , ЧтО (2) $$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (f(x) - P(x))^{(k)} = 0,k = 0,1,...,r - 1,$$ , НЕОБхОДИМО И ДОстАтО ЧНО, ЧтОБы схОДИлсь ИН тЕгРАл (3) $$\int\limits_a^{ + \infty } {dt_1 } \int\limits_{t_1 }^{ + \infty } {dt_2 ...} \int\limits_{t_{r - 1} }^{ + \infty } {f^{(r)} (t)dt.}$$ ЕслИ ЁтОт ИНтЕгРАл сх ОДИтсь, тО Дль кОЁФФИц ИЕНтОВ МНОгОЧлЕНА (1) ИМЕУт МЕс тО ФОРМУлы $$\begin{gathered} a_{r - m} = \frac{1}{{(r - m)!}}\left( {\mathop \Sigma \limits_{j = 1}^m \frac{{( - 1)^{m - j} f^{(r - j)} (x_0 )}}{{(m - j)!}}} \right.x_0^{m - j} + \hfill \\ + ( - 1)^{m - 1} \left. {\mathop \Sigma \limits_{l = 0}^{m - 1} \frac{{x_0^l }}{{l!}}\int\limits_a^{ + \infty } {dt_1 } \int\limits_{t_1 }^{ + \infty } {dt_2 ...} \int\limits_{t_{m - l - 1} }^{ + \infty } {f^{(r)} (t_{m - 1} )dt_{m - 1} } } \right),m = 1,2,...,r. \hfill \\ \end{gathered}$$ ДОстАтОЧНыМ, НО НЕ НЕОБхОДИМыМ Усл ОВИЕМ схОДИМОстИ кРА тНОгО ИНтЕгРАлА (3) ьВльЕтсь схОДИМОсть ИНтЕгРАл А \(\int\limits_a^{ + \infty } {x^{r - 1} f^{(r)} (x)dx}\)      

On the approximation by de la Vallée Poussin sums and interpolatory polynomials in Lipschitz norms

ПустьM ^m,α - множество 2π-п ериодических функци йf с конечной нормой $$||f||_{p,m,\alpha } = \sum\limits_{k = 1}^m {||f^{(k)} ||_{_p } + \mathop {\sup }\limits_{h \ne 0} |h|^{ - \alpha } ||} f^{(m)} (o + h) - f^{(m)} (o)||_{p,} $$ где1 ≦ p ≦ ∞, 0≦α≦1. Рассмотр им средние Bалле Пуссе на $$(\sigma _{n,1} f)(x) = \frac{1}{\pi }\int\limits_0^{2x} {f(u)K_{n,1} (x - u)du} $$ и $$(L_{n,1} f)(x) = \frac{2}{{2n + 1}}\sum\limits_{k = 1}^{2n} {f(x_k )K_{n,1} } (x - x_k ),$$ де0≦l≦n и x _k=2kπ/(2n+1). В работе по лучены оценки для вел ичин \(||f - \sigma _{n,1} f||_{p,r,\beta } \) и $$||f - L_{n,1} f||_{p,r,\beta } (r + \beta \leqq m + \alpha ).$$      

Bemerkungen zu einem Satz von Fejér

Последовательность {ita_k} _(n) ^k =1/∞ вещественных ч исел называется дважды мо нотонной, еслиa _k -2a _k+1 +a _k+2 ≧0 дляk≧1. В работе доказываютс я следующие утвержде ния, являющиеся обобщени ем двух теорем Фейера:

1. Если {ita_k — дважды моно тонная последовател ьность, то для ¦z¦<1 $$\operatorname{Re} \sum\limits_{\kappa = 1}^\infty {a_\kappa z^\kappa } /\sum\limits_{\kappa = 1}^n {a_\kappa z^\kappa } > 1/2$$ дляи≧ 1.
2. Если О≦β<1 и последова тельность (k+1-2β)ak} дважд ы монотонна, то для ¦z¦<1 $$\operatorname{Re} \sum\limits_{\kappa = 1}^\infty {ka_\kappa z^\kappa } /\sum\limits_{\kappa = 1}^\infty {a_\kappa z^\kappa } > \beta $$ , то есть $$\sum\limits_{\kappa = 1}^\infty {a_\kappa z^\kappa } \varepsilon S_\beta ^\kappa $$ . При помощи 2) получены о бобщения и уточнения теорем из работы [1] о линейных комбинациях некотор ых однолистных функц ий.

     

Mean value of weyl sums

We give a simple proof of a mean value theorem of I. M. Vinogradov in the following form. Suppose P, n, k, τ are integers, P≥1, n≥2, k≥n (τ+1), τ≥0. Put $$J_{k,n} (P) = \int_0^1 \cdots \int_0^1 {\left| {\sum\nolimits_{x = 1}^P {e^{2\pi i(a_1 x + \cdots + a_n x^n )} } } \right|^{2k} da_1 \ldots da_n .} $$ Then $$J_{k,n} \leqslant n!k^{2n\tau } n^{\sigma n^2 u} \cdot 2^{2n^2 \tau } P^{2k - \Delta } ,$$ where $$\begin{gathered} u = u_\tau = min(n + 1,\tau ), \hfill \\ \Delta = \Delta _\tau = n(n + 1)/2 - (1 - 1/n)^{\tau + 1} n^2 /2. \hfill \\ \end{gathered} $$      

Lipschitz-Nikolski\imath constants and asymptotic simultaneous approximation on theM n -operatorsconstants and asymptotic simultaneous approximation on theM n -operators

This note is a study of approximation of classes of functions and asymptotic simultaneous approximation of functions by theM _n -operators of Meyer-König and Zeller which are defined by $$(M_n f)(x) = (1 - x)^{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^\infty {f\left( {\frac{k}{{n + k}}} \right)} \left( \begin{array}{l} n + k \\ k \\ \end{array} \right)x^k , n = 1,2,....$$ Among other results it is proved that for 0<α≤1 $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n^{\alpha /2} \mathop {\sup }\limits_{f \in Lip_1 \alpha } \left| {(M_n f)(x) - f(x)} \right| = \frac{{\Gamma \left( {\frac{{\alpha + 1}}{2}} \right)}}{{\pi ^{1/2} }}\left\{ {2x(1 - x)^2 } \right\}^{\alpha /2} $$ and if for a functionf, the derivativeD ^m+2 f exist at a pointx∈(0, 1), then $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } 2n[D^m (M_n f) - D^m f] = \Omega f,$$ where Ω is the linear differential operator given by $$\Omega = x(1 - x)^2 D^{m + 2} + m(3x - 1)(x - 1)D^{m + 1} + m(m - 1)(3x - 2)D^m + m(m - 1)(m - 2)D^{m - 1} .$$      

Some approximation theorems for modified Bernstein-Durrmeyer operators

The modified Bernstein-Durrmeyer operators discussed in this paper are given byM_nf≡M_n(f,x)=(n+2)P_(n,k)∫_0~1p_n+1.k(t)f(t)dt,whereWe will show,for 0<α<1 and 1≤p≤∞     

On the Fourier coefficients of contracted functions

РАБОтА пОсВьЩЕНА ИжУ ЧЕНИУ сВьжИ кОЁФФИцИ ЕНтОВ ФУРьЕ ФУНкцИИ ?(x) И g(x) тАкИх ЧтО (1) $$\parallel \Delta _h^m g(x)\parallel _{L^2 } \leqq \parallel \Delta _h^m f(x)\parallel _{L^2 } $$ Дль ВськОгОh≧0 И НЕкОт ОРОгОт. пОкАжАНО, ЧтО сУЩЕстВ УУт НЕпРЕРыВНыЕ ФУНк цИь ?(x) Иg(x), УДОВлЕтВОРьУЩИЕ сОО т-НОшЕНИУ (1), И тАкИЕ, ЧтО $$\mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty [a_n^2 (f) + b_n^2 (f)]^{\alpha /2}< \infty $$ Дль ВськОгО α>0 И $$\mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty [a_n^2 (g) + b_n^2 (g)]^{\beta /2} = \infty $$ Дль ВськОгОΒ<2. АНАлОгИЧНыИ РЕжУльт Ат ДОкАжыВАЕтсь И Дль пЕРИОДИЧЕскИх МУльт ИплИкАтИВНых ОР-тОНО РМИРОВАННых сИстЕМ.     

Strong approximation by Fourier series and differentiability properties of functions

ПустьΦ —N-функция Юнг а со свойствами $$\Phi (x)x^{ - 1} \downarrow 0, \exists \alpha > 1 \Phi (x)x^{ - \alpha } \uparrow (x \downarrow 0),$$ илиΦ(х)=х, {λ_k} — положи тельная, неубывающая последовательность и $$S_\Phi \{ \lambda \} = \left\{ {f:\left\| {\sum\limits_{k = 0}^\infty \Phi (\lambda _k |f - s_k |)} \right\|_\infty< \infty } \right\}.$$ В работе найдены необ ходимые и достаточны е условия для вложений $$S_\Phi \{ \lambda \} \subset W^r F(r \geqq 0),$$ , гдеF=C, L ^∞, Lip α (0<α≦1). С этой то чки зрения рассматриваются и др угие классы (например, \(W^r H^\omega ,\tilde W^r F\) ).     

On linear summation methods of Fourier series

Получены новые оценк иL-нормы тригонометр ических полиномов $$T_n (t) = \frac{{\lambda _0 }}{2} + \mathop \sum \limits_{k = 1}^n \lambda _k \cos kt$$ в терминах коэффицие нтовλ _k и их разностейΔλ _k=λ _k?λ _k?1: (1) $$\mathop \smallint \limits_{ - \pi }^\pi |T_n (t)|dt \leqq \frac{c}{n}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n |\lambda _\kappa | + c\left\{ {x(n,\varphi )\mathop \sum \limits_{k = 0}^n \Delta \lambda _\kappa \mathop \sum \limits_{l = 0}^n \Delta \lambda _l \delta _{\kappa ,l} (\varphi )} \right\}^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}} ,$$ где $$\kappa (n,\varphi ) = \mathop \smallint \limits_{1/n}^\pi [t^2 \varphi (t)]^{ - 1} dt, \delta _{k,1} (\varphi ) = \mathop \smallint \limits_0^\infty \varphi (t)\sin \left( {k + \frac{1}{2}} \right)t \sin \left( {l + \frac{1}{2}} \right)t dt,$$ a ?(t) — произвольная фун кция ≧0, для которой опр еделены соответствующие инт егралы. Из (1) следует, что методы $$\tau _n (f;t) = (N + 1)^{ - 1} \mathop \sum \limits_{k = 0}^{\rm N} S_{[2^{k^\varepsilon } ]} (f;t), n = [2^{N\varepsilon } ],$$ являются регулярным и для всех 0<ε≦1/2. ЗдесьS _m (f, x) частные суммы ряда Фу рье функцииf(x). В статье исследуется многомерный случай. П оказано, что метод суммирования (о бобщенный метод Рисса) с коэффиц иентами $$\lambda _{\kappa ,l} = (R^v - k^\alpha - l^\beta )^\delta R^{ - v\delta } (0 \leqq k^\alpha + l^\beta \leqq R^v ;\alpha \geqq 1,\beta \geqq 1,v< 0)$$ является регулярным, когда δ > 1.     

On imbedding of classes of functions

В НАстОьЩЕЕ ВРЕМь ИжВ ЕстНО МНОгО УтВЕРжДЕ НИИ тИпА тЕОРЕМ ВлОжЕНИь, кОтО РыЕ ФОР-МУлИРУУтсь В тЕРМИНАх МОДУлЕИ НЕ пРЕРыВНОстИ. ДАННАь РАБОтА сОДЕРж Ит НЕскОлькО тЕОРЕМ В лОжЕНИь с УслОВИьМИ, ВыРАжЕННы МИ В тЕРМИНАх НАИлУЧшИх п РИБлИжЕНИИE _n(?,p) ФУНкц ИИ ? тРИгОНОМЕтРИЧЕскИМ И пОлИНОМАМИ пОРьДкАn В МЕтРИкЕL ^p: И сслЕДУЕтсь ВлОжЕНИЕ клАссАE(α,p) ФУНкцИИ ИжL ^p, УДОВлЕтВОРьУ-ЩИх Дль жАДАННОИ МОНОтОН НО УБыВАУЩЕИ к НУлУ пОслЕДОВАтЕльНОстИ α={А_n} УслОВИУ $$E_n (f,p) \leqq M\alpha _n (M = M(f))< \infty ;n = 1,2,...).$$ хАРАктЕРНыМИ РЕжУль тАтАМИ РАБОты ьВльУт сь слЕДУУЩИЕ ДВА слЕДстВИь тЕОРЕМ ы 3. слЕДстВИЕ 1. пУстьР≧1И Β>?1.ЕслИ пОслЕДОВАтЕльНОсть {α_n} УДОВлЕтВОРьЕт УслОВИУ: , тО Дль ВлОжЕНИь $$E(\alpha ,p) \subset L^p (\ln + L)^{\beta + 1} $$ НЕОБхОДИМО И ДОстАтОЧНО $$\mathop \sum \limits_{n = 2}^\infty \frac{{(\ln n)\beta }}{n}\alpha _n^p< \infty .$$ слЕДстВИЕ 2.ЕслИ v>p≧1,Β≧0 И {А_{n} УДОВлЕтВОРьЕт УслОВИУ} (1),тО Дль ВлОжЕ НИь $$E(\alpha ,p) \subset L^\nu (\ln + L)^\beta $$ НЕОБхОДИМО И ДОстАтО ЧНО $$\mathop \sum \limits_{n = 2}^\infty n^{\nu /p - 2} (\ln + n)^\beta \alpha _n^\nu< \infty ,$$      

Absolute tauberian conditions for absolute hausdorff and quasi-hausdorff methods

The purpose of this paper is to prove that for a large set of absolute Hausdorff and quasi-Hausdorff methods the condition $$\sum\limits_{k = 1}^\infty {\left| {\lambda _n a_n - \lambda _{n - 1} a_{n - 1} } \right|< } \infty $$ is a Tauberian condition, i.e., its fulfillment together with the absolute summability of \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n } \) tos implies that \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {\left| {a_n } \right|}< \infty \) and \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n } = s.\) a _n =s.     

On the strong summation of Fourier series with variable exponents

Пустьf 2π-периодическ ая суммируемая функц ия, as _k (x) еë сумма Фурье порядк аk. В связи с известным ре зультатом Зигмунда о сильной суммируемости мы уст анавливаем, что если λn→∞, то сущес твует такая функцияf, что почти всюду $$\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\frac{1}{n}\mathop \sum \limits_{k = n + 1}^{2n} |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _{2n} } } \right\}^{1/\lambda _{2n} } = \infty .$$ Отсюда, в частности, вы текает, что если λn?∞, т о существует такая фун кцияf, что почти всюду $$\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\frac{1}{n}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _k } } \right\}^{1/\lambda _n } = \infty .$$ Пусть, далее, ω-модуль н епрерывности и $$H^\omega = \{ f:\parallel f(x + h) - f(x)\parallel _c \leqq K_f \omega (h)\} .$$ . Мы доказываем, что есл и λ _n ?∞, то необходимым и достаточным условие м для того, чтобы для всехf∈H ^ω выполнялос ь соотношение $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\frac{1}{n}\mathop \sum \limits_{k = n + 1}^{2n} |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _n } } \right\}^{1/\lambda _n } = 0(x \in [0;2\pi ])$$ является условие $$\omega \left( {\frac{1}{n}} \right) = o\left( {\frac{1}{{\log n}} + \frac{1}{{\lambda _n }}} \right).$$ Это же условие необхо димо и достаточно для того, чтобы выполнялось соотнош ение $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{n + 1}}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _k } = 0(f \in H^\omega ,x \in [0;2\pi ]).$$      

On a linear combination of some expressions in the theory of the univalent functions

LetH(α) denote the class of regular functionsf(z) normalized so thatf(0)=0 andf′(0)=1 and satisfying in the unit discE the condition $$\operatorname{Re} \left\{ {(1 - \alpha )f'(z) + \alpha (1 + zf''(z)/f'(z))} \right\} > 0$$ for fixed α. It is known thatH(0) is a particular class NW of close-to-convex univalent functions. The authors show the following results:Theorem 1. Letf(z)∈H(α). Thenf(z)∈NW if α≤0 andz∈E.Theorem 2. Letf(z)∈NW. Thenf(z)∈H(α) in |z|=r<r _α where i) \(r_\alpha = (1 + \sqrt {2\alpha } )^{ - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}\) , α≥0 and ii) \(r_\alpha = \sqrt {\frac{{1 - \alpha - \sqrt {\alpha (\alpha - 1)} }}{{1 - \alpha }}}\) , α<0. All results are sharp.Theorem 3. Iff(z)=z+a ₂ z ²+a ₃ z ³+... is inH(α) and if μ is an arbitrary complex number, then $$\left| {1 + \alpha } \right|\left| {a_3 - \mu a_2^2 } \right| \leqslant ({2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 3})\max \left[ {1,\left| {1 + 2\alpha - {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 {2\mu }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {2\mu }}(1 + \alpha )} \right|} \right].$$ .     

A new characterization of the Poisson distribution

In this note we show that an infinitely divisible (i.d.) distribution function F is Poisson if and only if it satisfies the conditions F(+0) > 0, for any 0 < ∈ < 1 $$\int_{ - \infty }^{I - E} {\frac{{\left| x \right|}}{{1 + \left| x \right|}}} dF = 0$$ and for any 0 < β < 1 $$\int_0^\infty {e^{\alpha xln(x + 1)} } dF< \infty $$      

The evaluation and application of some modified moments

Recurrence formulas for the calculation of the modified moments $$\int\limits_{ - 1}^{ + 1} {(1 - x)^\alpha (1 + x)^\beta T_n (x)dx} $$ and $$\int\limits_{ - 1}^{ + 1} {(1 - x)^\alpha (1 + x)^\beta \ln \left( {\frac{{1 + x}}{2}} \right)T_n (x)dx} $$ are presented. Some applications of these modified moments are discussed, such as the numerical calculation of integrals of functions having branch points, the computation of Chebyshev series coefficients and the construction of Gaussian quadrature formulas for integrals with logarithmic singularity.     

Die Ungleichungen von Vietoris

The inequalities $$P_{k,l} = \frac{1}{{B(l + 1,k)}}\int\limits_0^{l/(k + l)} {x^l (1 - x)^{k - 1} dx = I_{l/(k + l)} (l + 1,k)< \frac{1}{2}}$$ and $$\Phi _{k,l,\mu } = \frac{1}{{B(k,k\mu + 1)}}\int\limits_0^1 {x^{k - 1} (1 - x)^{k\mu } I_x (l + 1,l\mu )dx< \frac{1}{2}}$$ are shown to be valid for any positive real numbersk, l, μ.     

On the permutability of Backlund transformations

Let(?)=B_ηu:2(q-(?))+(⊿((?)-2q))+(2q_x+(?)_x))η=0,2(r-(?)+(⊿(2(?)-r)+(r_x+2(?)_x))η=0,u=(q,r)~Tbe the Backlund transformation (BT) of the hierarchy of AKNS equations,where η is a parameterand Δ=integral from -∞ to x (qr-(?))dx′.It is shown in this paper the infinitesimal BT B_(η+ε)B_η~(-1) admits thefollowing expansionB_(η+ε)B_η~(-1)u=u+εsum from n=0 to ∞ β_n(JL~(n+1)u)η~n,β_n=1+(-1)~n2~(-n-1),where L is the recurrence operator of the hierarchy and ε is an infinitesimal parameter.Thisexpansion implies the equivalence between the permutabiliy of BTs and the involution in pairs ofconserved densities.     

Exact constants in inequalities between norms of derivatives of functions

In this article we shall concern ourselves with determining exact (least possible) constants in the inequalities of the form $$\parallel f^{(k)} \parallel _{L_q } \leqslant K\parallel f\parallel _{L_p } ^{\tfrac{{l - k - r - 1 + q - 1}}{{l - r - 1 + p - 1}}} \parallel f^{(l)} \parallel _{L_r } ^{\tfrac{{k - q - 1 + p - 1}}{{l - r - 1 + p^{n - 1} }}} $$ for functions defined on the entire (?∞, ∞), absolutely continuous on any interval together with their (l?1)-th derivatives, and having finite $$l = 2,k = 0,k = 1,q = r = \infty ,1 \leqslant p< \infty $$ is considered.