Sulla rappresentazione delle soluzioni delle equazioni quasi-ellittiche in una regione angolosa

Sunto Un dominio limitato per il quale si possa assegnare un problema corretto di valori al contorno per una equazione quasi-ellittica ma non ellittica presenta sempre dei punti angolosi; un intorno, sulla frontiera, di uno di questi punti si può suddividere in porzioni e almeno in due di queste i dati differiscono anche numericamente. D'altra parte non è possibile ottenere uno spianamento di tale intorno senza alterare il tipo dell'equazione. In questioni di regolarizzazione è perciò utile possedere una rappresentazione in {(x_i, ..., x_n) ε Rⁿ; x_k ≥0 per k =1, 2, ..., n}, nel caso di n variabili, di una soluzione dell'equazione ottenuta dalla data considerando solo la parte principale con coefficienti costanti. Nella presente Nota trattiamo questo problema in un caso particolare. Entrata in Redazione il 3 dicembre 1968.     

Equazioni paraboliche del secondo ordine e spaziL 2, θ(ω, δ)(ω, δ)

Riassunto Si considera il primo problema al contorno per l’equazione parabolica (E−∂/∂t) u=f condati al contorno nulli e si dimostra che se f appartiene allo spazio funzionaleL ^{2, θ}(ω, δ) allora la soluzione u del problema anzidetto ha le derivate D_iD_j e ∂/∂t nello stesso spazio funzionale. Si ottengono così, in particolare, rísultati di regolarità del tipo di Schauder nelle classi holderiane e, come conseguenza, risultati e maggiorazioni negli spazi L^p per le derivate D_iD_ju e ∂/∂t. Questa ricerca è stata parzialmente finanziata da ? the United States Air Force ? col contratto AF EOAR grant 65–42 attraverso ? the European office of Aerospaces Research ?.     

Su alcune soluzioni parametriche delle equazioni del moto intorno a un punto fisso di un solido pesante asimmetrico

Sunto. In questa nota si considerano le equazioni del moto intorno a un punto fisso di un corpo rigido pesante, nel caso in cui il baricentro appartenga a uno dei piani principali dell'ellissoide d'inerzia relativo al punto fisso (piano xy). Si ravvisa la possibilità di una particolare soluzione parametrica per mezzo di un parametro u tale che du=rdt, essendo r la componente della velocità angolare secondo l'asse z, e nell'ipotesi che il coseno direttore γ₃ secondo l'asse z della verticale discendente, sia della forma: γ₃=α₀(Ax₀p+By₀q)r, con α₀ costante, mentre gli altri simboli hanno il solito significato. Si dimostra che sono possibili soltanto due casi: Il 1^o é quello in cui il baricentro appartiene a uno degli assi x, y (y₀=o, oppure x₀=0), e questo corrisponde a un caso di integrabilità segnalato da Stekloff; il 2^o è quello in cui l'asse z è asse intermedio dell'ellissoide d'inerzia e la retta baricentrale coincide con l'intercezione del piano xy con uno dei due piani ciclici dell'ellissoide d'inerzia passanti per l'asse z. In questo secondo caso il moto si riduce a una rotazione uniforme del solido intorno a tale retta baricentrale disposta verticalmente, retta che appartiene al cono di Staude. Entrata in Redazione il 15 maggio 1975.     

Applicazione del metodo di Lighthill per la costruzione di flussi transonici retti dall’equazione di Tomotika e Tamada

Sunto L’A. indica come il metodo diLighthill per la costruzione di flussi transonici attorno ad ostacoli cilindrici in corrente uniforme all’infinito subsonica si possa applicare quando si faccia uso dell’equazione diTomotika eTamada per definire il flusso; questo metodo è molto utile quando è prescritta la forma dell’ostacolo, e quando la prora di questo è qualsiasi e la poppa non é a cuspide, casi in cui il procedimento ordinariamente seguito cade in difetto. Viene prima ottenuta una nuova espressione di un integrale particolare dell’ equazione diTomotika eTamada, e sono studiate le proprietà che l’integrale stesso presenta: fra l’altro è mostrato come questo possa esprimersi per mezzo di una serie assolutamente convergente comoda per le applicazioni numeriche, perchè ogni termine di essa contiene solo funzioni di cui esistono estese tabelle. Per questa ragione i risultati che qui si ottengono conservano il vantaggio della maggiore semplicità rispetto a quelli deducibili considerando come equazione del flusso quella diChaplygin. è mostrata infine l’applicazione del procedimento esposto alla deduzione del campo transonico attorno ad un ostacolo ? quasi circolare ?. Ad Antonio Signorini nel suo 70^mo compleanno.     

Asymptotic behavior of nonoscillatory solutions of nonlinear differential equations with forcing term

Sunto In questo lavoro si studiano il comportamento asintotico delle soluzioni non oscillatorie di una classe di equazioni differenziali di ordine superiore al secondo. In particolare, si dánno condizioni sufficienti perchè tutte le soluzioni, non oscillatorie e limitate, dell’equazione considerata, abbiano per limite lo zero quando la variabile indipendente tende all’infinito.

---

---

Entrata in Redazione il 6 febbraio 1976.     

The internal sphere condition and the capillary problem

Sunto In un importante lavoro [1], M. Emmer ha dimostrato l’esistenza di superfici di equilibrio capillari, definite in domini con frontiera Lipschitziana, quando la costante di Lipschitz L e l’angolo di contatto γ soddisfano la relazione L<|tg γ|. Questa condizione, che è noto essere necessaria in generale, può essere troppo restrittiva in alcuni casi particolari. In questo lavoro la condizione di Emmer è sostituita da una ? condizione di sfera interna ?, che conduce ad una larga classe di domini che non rientrano nel risultato di Emmer. L’esiestenza di una soluzione è dimostrata anche nel caso γ=0, che non può essere trattato con il metodo di Emmer.

---

---

Entrata in Redazione il 26 agosto 1975.

---

This work was initiated while the former author was at Universit?t Bonn and at Università di Genova, and the latter author at Université de Paris VI as a Fellow of the Deutsche Forschungsgemeinschaft.     

Su un caso particolare di stabilità in media della magnetoidrodinamica

Sunto Si considera un particolare fenomeno magnetoidrodinamico, che è una generalizzazione del problema di Couette per un liquido elettricamente conduttore in presenza di un opportuno campo magnetico e si dimostra che qualunque soluzione del problema dotata di una certa regolarità e stabile in media, ossia la somma delle energie cinetica e magnetica di una generica perturbazione è una funzione decrescente del tempo. A Bruno Finzi nel suo 70^mo compleanno. Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei Raggruppamenti di ricerea matematica del C.N.R. Entrata in Redazione il 9 dicembre 1969.     

Scales of ε-uniform a priori estimates for nonstationary convection-dominated diffusion problems

Convection-diffusion problems of practical interest are often convection-dominated in the sense that the diffusion parameter ε satisfies 0<ε≪1. Standard error estimates for numerical approximations of such problems mostly contain constants which depend either reciprocally on ε or at least on higher order norms of the solution. These norms possibly increase to infinity in the hyperbolic limit ε→0. For the Lagrange-Galerkin scheme such error estimates have been proven by Douglas and Russell, Pironneau or Süli. In the particular case of the Navier-Stokes equations Johnson, Rannacher and Boman have observed that some of those constants which arise in existing analyses depend exponentially on the Reynolds number. Consequently, standard error analyses have no real meaning in the case of convection-dominance. Recently, Bause and Knabner have developed a rigorous ε-uniform convergence theory for finite element and Lagrange-Galerkin approximations of convection-dominated diffusion problems. The error analysis is heavily based on ε-uniform a priori estimates for the solution of the continuous problems. In their work such ε-uniform estimates are established in the Sobolev spacesL ²(Ω) andH ²(Ω) in a Lagrangian framework by transforming the convection-diffusion problem into subcharacteristic coordinates. To obtain the ε-uniformH ²-bound, strong conditions about the right-hand side which cannot realistically be assumed in practice are supposed. In this paper we demonstrate how the method of complex interpolation of Banach spaces can be employed to derive elegantly ε-uniform a priori estimates in intermediate Sobolev spaces of fractional order. We will observe that in particularH ^α-regularity of the data has to be supposed to get an ε-uniformH ^α-bound for the solution. To derive the desired estimates we use several complex interpolation results which we provide first.

---

Sunto I problemi di convezione-diffusione di interesse applicativo sono spesso convezione-dominati, nel senso che il parametro di diffusione ε soddisfa 0<ε≪1. Le stime standard dell’errore nelle approssimazioni numeriche di tali problemi generalmente contengono costanti che dipendono o reciprocamente da ε o almeno da norme più elevate della soluzione. Queste norme possono tendere all’infinito nel limite iperbolico ε→0. Queste stime sono state determinate, per lo schema di Lagrange-Galerkin, da Douglas e Russell, Pironneau o Süli. Nel caso particolare delle equazioni di Navier-Stokes, Johnson, Rannacher e Boman hanno osservato che alcune di queste costanti dipendono esponenzialmente dal numero di Reynolds. Di conseguenza, l’analisi standard dell’errore non è significativa nel caso di dominanza della convezione. Recentemente, Bause e Knabner hanno sviluppato una teoria rigorosa della ε-convergenza per le approssimazioni agli elementi una teoria rigorosa della ε-convergenza per le approssimazioni agli elementi finite e per quelle di Lagrange-Galerkin relativamente a problemi di diffusione convezione-dominati. l’analisi dell’errore è pesantemente basata su stime a priori ε-uniformi per la soluzione dei problemi continui. In quel lavoro, tali stime sono stabilite negli spazi di SobolevL ²(Ω) eH ²(Ω) in rappresentazione Lagrangiana trasformando il problema di convezione-diffusione in coordinate sub-caratteristiche. Per ottenere la stima ε-uniforme inH ²(Ω), si fanno delle ipotesi stringenti sul secondo membro le quali possono non essere realisticamente assunte nella pratica. In questo lavoro mostriamo come il metodo dell’interpolazione complessa degli spazi di Banach possa essere usato per ottenere eleganti stime a priori ε-uniformi in spazi di Sobolev ad esponente frazionario. In particolare, osserveremo che per ottenere una stima ε-uniforme inH ^α per la soluzione occorre assumereH ^α regolarità sui dati. Per derivare le stime desiderate facciamo uso di diversi risultati di interpolazione complessa che vengono forniti.

     

Strong solutions of the Navier-Stokes equations in aperture domains

We consider the nonstationary Navier-Stokes equations in an aperture domain Ω⊂R³ consisting of two halfspaces separated by a wall, but connected by a hole in this wall. In this special domain one has to impose an auxiliary condition to single out a unique solution. This can be done by prescribing either the flux through the hole or the pressure drop between the two halfspaces. We construct suitable Stokes operators for both of the auxiliary conditions and show that they generate holomorphic semigroups. Then we prove the existence and uniqueness of solutions as well as a maximal regularity estimate for the Stokes equations subject to one of the auxiliary conditions. For the corresponding Navier-Stokes equations we prove existence and uniqueness of local in time solutions.

---

Sunto In questo lavoro consideriamo le equazioni di Navier-Stokes non stazionarie in un dominio con un’apertura, che consiste di due semispazi separati da una parete, ma collegati da un’apertura in quest’ultima. In questo dominio particolare è necessario imporre, per avere un’unica soluzione, una opportuna condizione ausiliaria. Questo può essere fatto sia assegnando il flusso attraverso l’apertura sia prescrivendo il salto di pressione tra i due semispazi. Qui costruiamo degli operatori di Stokes opportuni per ambedue i tipi di condizioni ausiliarie e mostriamo come essi generino semigruppi olomorfi. Dimostriamo, quindi, esistenza e unicità di soluzioni, assieme ad una stima di massima regolarità per le equazioni di Stokes soggette ad una delle condizioni ausiliarie. Per le corrispondenti equazioni di Navier-Stokes, dimostriamo esistenza e unicità di soluzioni locali nel tempo.

     

Il problema matematico del sistema ottico concentrico stigmatico

Sunto Si esamina il problema generale del sistema ottico tutto racchiuso da una sfera di raggio finito, dentro la quale l’indice di rifrazione sia una funzione n(r) della distanza r dal centro, tale che, quando il sistema è immerso in aria, ogni punto della sfera esterna abbia immagine perfetta all’infinito. Per n(r) si fanno le ipotesi più generali che possano essere accettate fisicamente; in particolare si ammette un numero finito di punti di discontinuità di prima specie. Dato il modo di costruire la soluzione generale, che dipende da una funzione arbitraria, definita in un intervallo minore del raggio della sfera esterna, si sviluppano a fondo i calcoli per un caso particolare di speciale interesse fisico.     

Contributions to the spectral theory for nonlinear operators in Banach spaces

Sunto Si introduce una definizione di spettro σ(f) per applicazioni continue definite in uno spazio di Banach. Tale definizione coincide con quella classica nel caso in cui f sia lineare e continua. Alcuni dei risultati più noti della teoria spettrale lineare vengono estesi al caso non lineare. In particolare si dimostra che σ(f) è chiuso e che la sua frontiera è contenuta nello spettro puntuale approssimato σ_π(f).

---

---

Entrata in Redazione il 17 giugno 1977.

---

Work performed under the auspices of the National Research Council of Italy (C.N.R.).     

La riflessione analitica delle funzioni biarmoniche attorno a un cerchio ed alcuni problemi di elasticità piana

Sunto Due funzionif(x, y) e ϕ(x, y), biarmoniche (e cioè soddisfacenti all'equazione ΔΔ=0), rispettivamente definite nei semipianix>0 edx<0, le cui derivate seconde si annullano all'infinito, e tali che nei punti dell'assey risultif=ϕ e∂f/∂x=∂ϕ/∂x, si dicono l'una ? riflessa ? dell'altra attorno all'assey. Da ognuna delle due funzionif e ϕ l'altra si ottiene con sole operazioni di sostituzione e derivazione (indicando, precisamente, con{f}, {∂f/∂x} e{Δf} le funzioni che si ottengono daf, ∂f/∂x eΔf ponendo, in queste, in luogo dix il suo contrario −x, si ha ϕ={f}+2x{∂f/∂x}+x ² {Δf} e, reciprocamente,f={ϕ}+2x{∂ϕ/∂x}+x ²{Δϕ}). In modo analogo si definisce una operazione di riflessione analitica attorno a un cerchio. La retta potendosi riguardare come cerchio degenere (di raggio infinito) l'operazione di rifiessione analitica attorno alla retta viene ottenuta, nel testo, come caso limite di quella di riflessione attorno al cerchio. L'operazione di riflessione analitica trova applicazione in alcuni problemi di elasticità piana (perturbazione prodotta da un foro circolare nella sollecitazione di un sistema piano; determinazione degli sforzi in un semipiano elastico sollecitato da una forza applicata in un punto interno).     

Applicazione del metodo numerico alla ricerca delle frequenze di vibrazione libera di strutture lineari

Sunto. La frequenza di vibrazione libera di un sistema elastico, come il valore del carico critico, può definirsi mediante un rapporto, ω², da rendere minimo mediante l'opportuna determinazione di una funzione η (configurazione). I metodi approssimati per la soluzione di questo problema variazionale — metodo di Ritz e delle successive approssimazioni — possono essere applicati, anche in questo caso, rappresentando le funzioni η numericamente, con poche differenze rispetto al caso già visto dell' instabilità. Si tratta di definire un appropriato termine correttivo, per eliminare l'errore dovuto alla discontinuità della rappresentazione numerica, e di giungere, attraverso un particolare procedimento, a determinare anche i valori delle prime armoniche dopo la frequenza fondamentale.     

Hilbert polynomials and powers of an ideal

Sunto Nel n1. viene definito il complesso generalizzato di Koszul K(A; E; t) di R-moduli associato ad una matrice A sopra un anello R e un R-modulo E. Si studia poi K(A; E; t) nel caso particolare in cui A sia una matrice della forma B(m, s) data nel n.3. Si dimostra infine che, sotto certe condizioni di finitezza, la lunghezza di ogni modulo d'omologia à una funzione polinomiale in m per m grande, e che per ogni m ≥1 la caratteristica di Euler-Poincaré è il prodotto di un coefficiente binomiale per la caratteristica del complesso di Koszul K(B(1, s); E;0).

---

---

Entrata in Redazione il 18 novemb e 1972.     

Real points in the fibres of dominant maps defined overR

Letf: X → Y be a dominant map between real algebraic varieties of the same dimension. The object of this paper is the study of the map which sends every pointy ∈ Y to the number of real points inf ⁻¹ (y). We give a sufficient condition ony to ensure that the above map is locally constant iny. Moreover, we consider the subset ofY where this map is no more locally constant and we give the principal properties of this set.

---

Sunto Siaf: X → Y un morfismo dominante tra varietà algebriche reali della stessa dimensione. In questo articolo si studia la mappa che associa ad ogni puntoy ∈ Y il numero di punti reali inf ⁻¹ (y); in particolare si dà una condizione sufficiente suy affinchè tale mappa sia costante in un suo intorno. Inoltre, si considera il sottoinsieme diY in cui tale mappa non è più localmente costante e si danno le principali proprietà di tale insieme.

---

---

The work was written while both the authors were members of the G.N.S.A.G.A. of the Consiglio Nazionale delle Ricerche.     

Proprietà globali degli spazi analitici reali

Sunto In questo lavoro si prova che ogni spazio analitico reale coerente X, (con eventuali elementi nilpotenti), ammette un complessificato ed inoltre X ha in un sistema fondamentale di intorni che sono spazi di Stein. Da questo risultato segue la validità dei teoremi A e B per gli spazi analitici reali coerenti. Sia V^m una varietà complessa di dimensione m, σ : V^m → V^m un’antiinvoluzione, il il luogo dei punti fissi di σ è vuoto, oppure è una sottovarietà analitica reale di dimensione m. Da questo fatto e dal primo risultato si deducono dei teoremi di immersione degli spazi analitici reali in Rⁿ. Si prova infine che per ogni spazio analitico reale coerente (senza elementi nilpotenti) esiste una decomposizione in componenti irriducibili globali ed una normalizzazione. Lavoro eseguito nel Gruppo di ricerca n. 35 del Comitato Nazionale per la Matematica del Consiglio Nazionale delle Ricerche per l’anno 1965–66.     

An estimate on convergence of approximation by iterations of a solution to a quasi-variational inequality and some consequences on continuous dependence andG-convergence

Summary Si dà una stima per l'approssimazione mediante iterazione della soluzione di una disequazione quasi-variazionale e se ne deducono risultati circa la dipendenza continua della soluzione dall'ostacolo e dal termine noto e circa la G-convergenza.

---

---

Entrata in Redazione il 29 marzo 1978.     

A note on the genus of 3-manifolds with boundary

Summary In this paper we prove that the minimum among all regular genera of the graphs representing a 3-manifold with boundaryM ³ can always be obtained by a crystallization. As a consequence, we also prove that every 3-coloured graph representing ∂M ³ is the boundary of a 4-coloured graph which representsM ³ and whose genus equals the regular genus ofM ³.

---

Riassunto In questo lavoro si prova che ogni 3-varietà con bordoM ³ ammette sempre una cristallizzazione di genere minimo. Come conseguenza, si ottiene che ogni grafo 3-colorato che rappresenta ∂M ³ è il bordo di un grafo 4-colorato che rappresentaM ³, il cui genere è uguale al genere regolare diM ³.

---

---

Work performed under the auspices of the G.N.S.A.G.A.-C.N.R., and within the Project ?Geometria delle varietà differenziabili?, supported by M.P.I. of Italy.     

Sulle curve multiple risolubili prive di punti di diramazione

Sunto. In questo lavoro si presenta la costruzione di tutte le curve algebriche multiple risolubili di ordine primon, prive di punti di diramazione, cioè di tutte le funzioniz(xy), an valori, senza punti di diramazione su una curva dataf(xy)=0, che sono soluzioni di un'equazione algebrica, risolubile per radicali. Tale costruzione viene fatta determinando una funzione ausiliaria (risolvente)w(xy), senza punti di diramazione suf(xy)=0, a gruppo di monodromia risolubile, la qualew ha un numero di valori uguale all'ordine del gruppo. Si costruisce anzitutto, con relativa semplicità, una particolare classe di queste curve multiple; quindi, in base ad alcune considerazioni topologiche, notevoli per loro stesse, si mostra che la soluzione del problema si riduce alla costruzione fatta.     

Una proprietà dei simboli non-omogenei,e degli operatori pseudo-differenziali associati

Riassunto In questo lavoro si considera la classe di simboli da noi introdotti nel lavoro [2] e si dimostra che tale classe è invariante rispetto a una certa trasformazione di variabili nello spazioR _ξ ⁿ ; in seguito, una certa maggiorazione per operatori pseudo-differenzialiA(x, D) associati a simboli ellittici, viene ottenuta.

---

Résumé Dans ce travail on considère la classe de symboles introduite par nous dans le travail [2] et on démontre que cette classe est invariante par rapport à une certaine transformation de variables dans l'espaceR _ξ ⁿ ; ensuite une certaine majoration pour opérateurs pseudo-différentiels associés aux symboles elliptiques est obtenue.

---

---

Questo lavoro è stato effettuato mentre l'autore godeva di una sovvenzione del Centro Nazionale delle Ricerche del Canadà. ≠ 6445, attraverso l'Università di Montréal.