Lateral post-buckling analysis of beams

Summary The nonlinear lateral buckling response of perfect stocky beams in the vicinity of the critical bifurcational state is discussed. Attention is focused on the initial post-buckling response. This depends on the nature of the critical branching point which is explored by using a nonlinear (lateral) bending-curvature relationship. It is found that the plane of loading (associated with the major moment of inertia) looses its stability through a stable symmetric bifurcation point. Hence, the above beams are not sensitive to imperfections, exhibiting post-buckling strength. However, the post-buckling equilibrium path is quite shallow, so that the load-carrying capacity of such beams above the critical state is rather limited. The analysis is supplemented by illustrative examples forI-beams for which the effect of various parameters on the initial postbuckling path is also discussed.

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Analyse des lateralen nachkritischen Knickverhaltens von Balken

Übersicht Das nichtlineare Knickverhalten von perfekten gedrungenen Balken in der Nachbarschaft des kritischen Verzweigungspunktes wird untersucht, wobei sich die Aufmerksamkeit insbesondere auf den Beginn der nachkritischen Phase richtet. Diese hängt vom Charakter des kritischen Verzweigungspunktes ab, der seinerseits mit Hilfe einer nichtlinearen (lateralen) Biegemoment-und Krümmungs-Beziehung analysiert wird. Es zeigt sich, daß die Stabilität in der Belastungsebene-verbunden mit dem maximalen Flächenmoment zweiter Ordnung-über einen stabilen symmetrischen Verzweigungspunkt verlorengeht. Daher sind solche Balken unempfindlch gegenüber Imperfektionen, sie zeigen nachkritische Belastbarkeit. Der nachkritische Gleichgewichtspfad ist jedoch sehr flach, so daß die Tragfähigkeit dieser Balken oberhalb des kritischen Zustandes recht begrenzt ist. Die Untersuchung ist durch illustrative Beispiele für I-Balken untermauert, für welche der Einfluß der verschiedenen Parameter auf den anfänglichen nachkritischen Pfad herausgearbeitet wird.

     

Die Wechselwirkung zwischen Schwinger und Antrieb bei erzwungenen Schwingungen

de]Zusammenfassung Die bei erzwungenen Schwingungen mit Rückwirkung des Schwingers auf den Antrieb auftretenden Erscheinungen wurden untersucht. Dabei ergaben sich als wichtigste Eigenschaften:Bei einer mit der Drehzahl fallenden Momentenkennlinie, wie sie z. B. im Arbeitsbereich von Elektromotoren meist vorliegt, können unter den hier angegebenen Bedingungen beim Durchfahren der kritischen Drehzahl Amplituden- und Frequenzsprünge auftreten.Im Gebiet der Resonanz ergeben sich neuartige Bedingungen für die Stabilität von stationären Schwingungszuständen. Es wurde gezeigt, daß die Stabilität von der Neigung der Momentenkurve und vom Größenverhältnis von Motor und Schwinger abhängt. Die normierte Darstellung ermöglicht es, die Stabilitätsbedingungen für beliebige Schwinger des behandelten Typs rasch quantitativ zu berechnen.Die erhaltenen Ergebnisse haben unmittelbare praktische Bedeutung für Systeme, die im Resonanzgebiet arbeiten. Das ist z. B. bei Schwingsieben und Schwingförderrinnen der Fall. Auch beim Hochfahren und Anlaufen von überkritisch laufenden Maschinen können die hier beschriebenen Erscheinungen vorkommen und müssen gegebenenfalls berücksichtigt werden.     

The effects of non-linearities and compressibility on the static and dynamic critical load of non-conservative discrete systems

Summary The non-linear static and dynamic stability of a non-linearly elastic, two degree of freedom system under a partial follower load is thoroughly discussed. Conditions for divergence and flutter instability in the large, in the sense of Lagrange, are established. These conditions may be completely different from those corresponding to linearized analyses. It is found that the static method of analysis is applicable for the entire range of the non- conservativeness loading parameter provided that the material non-linearity is accounted for. The stability or instability of critical states depends on the amount of material non-linearity. The unexpected result that the non-linear static critical load may differ substantially from the corresponding non-linear dynamic critical load is deduced with the aid of a numerical integration of the original non-linear equations of motion. The effects of compressibility as well as of other parameters on such a difference are properly examined. New phenomena which contradict well-known results based on linearized analyses reveal the true instability mechanism of non-conservative systems

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Auswirkungen von nichtlinearitäten und kompressibilität auf die statische und dynamische kritische last nichtkonservativer diskreter systeme

Übersicht Diskutiert wird die nichtlineare statische und dynamische Stabilität eines nichtlinear elastischen Systems mit zwei Freiheitsgraden bei teilweise mitgehender Last. Bedingungen für die Stabilität im Großen, im Sinne von Lagrange, bei Knicken und Flattern werden aufgestellt. Sie können völlig verschieden von denjenigen einer lirearisierten Analyse sein. Es stellt sich heraus, daß die statische Betrachtung für den gesamten Parameterbereich der nichtkonservativen Last zulässig ist, vorausgesetzt die Material-Nichtlinearität wird berücksichtigt. Die Stabilität oder Instabilität kritischer Zustände hängt vom Grad der Material-Nichtlinearität ab. Das unerwartete Ergebnis, daß nichtlineare statische und dynamische kritische Last wesentlich voneinander abweichen können, folgt aus einer numerischen Integration der Bewegungsgleichungen. Der Einfluß der Kompressibilität und anderer Parameter auf diese Abweichung wird untersucht. Neue Phänomene, die bekannten Ergebnissen der linearen Analyse widersprechen, enthüllen den tatsächlichen Instabilitätsmechanismus nichtkonservativer Systeme.

     

Separation principle of mechanical system models including stabilized constraint relations

Summary This paper provides a system theoretical justification of the constraint stabilization method which is often and successfully used in mathematical modelling and computer simulation of constrained mechanical systems from industrial practize. The main results are collected in a Separation Theorem which shows, that in a first approximation an arbitrary pole placement of the stabilized constraint relations does not affect the physical eigenvalues of the remainder system equations. This result is similar to the well known separation principle of feedback control systems including state observers.

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Zum Separationsprinzip der Modellgleichungen mechanischer Systeme mit stabilisierten Zwangsbedingungen

Übersicht Diese Arbeit liefert eine systemtheoretische Rechtfertigung der Methode der stabilisierten Zwangsbedingungen, die häufig und erfolgreich bei der mathematischen Modellierung und Rechnersimulation gelenkig verkoppelter mechanischer Systeme der industriellen Praxis verwendet wird. Die wesentlichen Ergebnisse der Arbeit sind im Separationstheorem zusammengefaßt. Es besagt, daß die Polvorgabe der Zwangsrelationen die physikalischen Eigenwerter der restlichen Modellgleichungen nicht beeinflußt. Dieses Ergebnis ähnelt dem wohlbekannten Separationsprinzip von Regelkreisen mit Zustandsbeobachter und Zustandsrückführung.

     

Ein Beitrag zur Stabilitätstheorie der Wirbelstraßen unter Berücksichtigung endlicher und zeitlich wachsender Wirbelkerndurchmesser

Zusammenfassung Nach dem Bericht über die bekannten Arbeiten über die Stabilitäts-theorie der Wirbelstraßen wird die Vermutung ausgesprochen und begründet, daß der in den bisherigen Theorien nicht berücksichtigte endliche Wirbelkerndurchmesser und seine zeitliche Veränderung einen neuen Einblick in das Stabilitätsproblem der Wirbelstraßen verspricht.Es werden für die einreihige Wirbelstraße Bewegungsgleichungen aufgestellt, linearisiert und durch eine unendliche Reihe gelöst. Die Stabilitätsdiskussion zeigt die Instabilität der einreihigen Wirbelstraße in Übereinstimmung mit der experimentellen Erfahrung.Im Anschluß hieran werden die Bewegungsgleichungen für die beiden Typen der zweireihigen Wirbelstraße angegeben, linearisiert und für den Fall, daß nur ein Wirbel gestört wird, gelöst. Die Diskussion der Lösungen ergibt, daß für die Wirbelstraße mit auf Lücke stehenden Wirbeln für endliche Zeiten ein Stabilitätsgebiet existiert. Es werden spezielle stabile Lösungen angegeben. Für verschwindende Zähigkeit schrumpft das Stabilitätsgebiet auf eine Gerade zusammen, die die alte Stabilitätsbedingung nach Th. v. Kármán darstellt.Die Diskussion der Wirbelstraße mit gegenüberstehenden Wirbeln zeigt das überraschende Ergebnis, daß neben der Instabilität dieser Anordnung für kleine Zeiten bzw. für große Werte des Parameters k=h/l auch ein Stabilitätsbereich existiert, der jedoch nur durch Instabilitätsgebiete hindurch erreicht werden kann.Zum Schluß werden einige Bemerkungen über die Gültigkeit der Theorie und über die Möglichkeiten der experimentellen Verifizierung gemacht.Gekürzte Fassung einer von der Fakultät für Maschinenwesen an der Technischen Universität Berlin-Charlottenburg genehmigten Dissertation (Berichter: Prof. Dr.-Ing. R. Wille, Prof. Dr. phil. E. Mohr).     

Localized banding with strong velocity jumps

Summary Localized instabilities with strong jumps in the velocity field are discussed. It is found that a hardening material would not lose its stability just after yielding by the bifurcation definition of Valanis, as was believed to be. A new bifurcation criterion is suggested. Needs for banding constitutive relations are stressed. The analysis also implies that imperfections existing both in thickness and width of narrow bands may have more serious influence on banding instability of thin sheets than those existing only in the thickness, as is usually assumed in numerical analysis.

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Lokalisierte Deformationsbänder mit starken Geschwindigkeitssprüngen

Übersicht Diskutiert werden lokalisierte Instabilitäten mit starken Sprüngen im Geschwindigkeitsfeld. Es zeigt sich, daß verfestigende Werkstoffe im Gegensatz zur bisherigen Annahme nach der Verzweigungsdefinition von Valanis nicht gleich nach Fließbeginn ihre Stabilität verlieren. Es wird ein neues Verzweigungskriterium vorgeschlagen und auf die Notwendigkeit konstitutiver Beziehungen für die Lokalisierung hingewiesen. Die Analyse impliziert, daß Imperfektionen sowohl in der Dicke als auch Breite enger Bänder möglicherweise einen größeren Einfluß auf die Lokalisierung in dünnen Scheiben haben als allein Imperfektionen in der Dicke, wie sie üblicherweise bei numerischen Untersuchungen angesetzt werden.

     

On the large postbuckling response of nonconservative continuous systems

Summary The large postbuckling response of a uniform cantilever beam subjected to a partial follower compressive load of constant magnitude is presented. The range of values of the nonconservativeness loading parameter for which a divergence instability occurs is theoretically established. The boundary between divergence and flutter instability corresponds to a double critical point where the first and second buckling loads (eigenvalues) coincide. It was also theoretically established that the critical points corresponding to these loads are stable symmetric. Except of the double critical point, the buckling loads of the first and second eigenmodes are distinct for the entire region of the nonconservativeness loading parameter. However, this is not true for the corresponding postbuckling paths. Indeed using an elastica analysis suitable for rotations up to 360°, it was found that at a certain critical tip rotation depending on the value of the nonconservativeness parameter the first and second postbuckling modes meet each other asymptotically. Numerical results have been obtained using various approximate analytic techniques which are checked by the method of elliptic integrals as well as the numerical schemes of Adams and Runge-Kutta.

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Groß Nachbeulantworten nichtkonservativer kontinuierlicher Systeme

Übersicht Vorgestellt wird das große Nachbeulverhalten eines gleichförmigen Auslegers unter einer teilweise folgenden Drucklast konstanter Größe. Der Bereich des Lastparameters der Nichtkonservativität, für den Verzweigungsinstabilität auftritt, wird theoretisch ermittelt. Die Grenze zwischen Verzweigung und Flattern entspricht einem zweifachen kritischen Punkt, in dem die erste und zweite Beullast zusammenfallen. Ebenfalls theoretisch wird gezeigt, daß die kritischen Punkte zu diesen Lasten stabil symmetrisch sind. Mit Ausnahme des zweifachen kritischen Punktes sind die Beullasten der ersten und zweiten Eigenform im ganzen Bereich des Parameters der Nichtkonservativität verschieden. Dies gilt nicht für die zugehörigen Nachbeulpfade. Vielmehr zeigt eine für große Drehungen bis 360° gültige Analyse der Biegelinie, daß bei einer bestimmten kritischen Stabenddrehung, die vom Parameter der Nichtkonservativität abhängt, erste und zweite Eigenform sich asymptotisch angleichen. Numerische Ergebnisse werden nach verschiedenen analytischen Näherungsmethoden gewonnen und mit der Methode der elliptischen Integrale sowie den numerischen Methoden nach Runge-Kutta bzw. Adams verglichen.

     

Matrix analysis of non-proportionally damped dynamical systems employing the A-P algorithm

Summary The A-P algorithm was originally formulated for the eigenreduction of real symmetric matrices but has been extended in recent years to handle normalizable real and complex matrices. Considerable experience with the method for the determination of normal modes of free vibration and buckling modes in complex structures has indicated it to be an efficient computer method, especially in conjunction with the matrix structural methods developed by Argyris [1, 2, 3]. Recent research involving vibration problems having non-proportional damping indicates that the method is equally valuable in this area. The extension of this problem to include aerodynamic damping and stiffness is discussed with reference to a dynamic stability analysis based on the free-free antisymmetric modes of a whole aircraft.

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Übersicht Der A-P Algorithmus wurde ursprünglich zur Eigenreduktion reellsymmetrischer Matrizen aufgestellt; er wurde jedoch in den letzten Jahren auf normalisierbare reelle und komplexe Matrizen erweitert. Beträchtliche Erfahrungen mit der Methode bei der Bestimmung der Eigenschwingungsformen und der Knickformen komplizierter Tragwerke haben gezeigt, daß sie ein wirksames Hilfsmittel für Computerrechnungen ist. insbesondere in Verbindung mit der von Argyris entwickelten Matrizenmethode [1, 2, 3]. Neuere Forschungen über Schwingungsprobleme mit nicht-proportionaler Dämpfung bestätigen, daß die Methode auch auf diesem Gebiet sehr wertvoll ist. Es wird hier die Erweiterung dieses Problems behandelt, um aerodynamische Dämpfungs- und Steifigkeitskräfte zu berücksichtigen, wobei auf die Untersuchung der dynamischen Stabilität eines gesamten Flugzeuges mittels der antisymmetrischen Frei-Frei-Schwingungsformen Bezug genommen wird.

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Communication of the Institut für Statik und Dynamik der Luft- und Raumfahrtkonstruktionen, Universität Stuttgart (Director Professor Dr. J. H. Argyris). This report is based on the author's dissertation to the Fakultät für Maschinenwesen, T.H. Stuttgart.     

Bifurcation analysis for sand samples with a non-linear constitutive equation

Summary A thoroughly non-linear constitutive equation connecting stress-rates and strain-rates is shown to yield realistic predictions for the conditions at which bifurcation may appear in the course of axisymmetric and plane homogeneous deformations of sand samples. The features of the non-homogeneous deformation after the bifurcation are also realistically predicted, a fact which is of importance in understanding and describing rupture phenomena (formation of shear bands) in geomechanics.

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Übersicht In dieser Arbeit wird gezeigt, daß eine nichtlineare Beziehung zwischen der Spannungsrate und der Deformationsgeschwindigkeit realistische Voraussagen für Verzweigungen liefert, die sich im Verlauf von achsensymmetrischer und ebener Verformung von Sandproben einstellen können. Die Geometrie der inhomogenen Verformung, die sich nach der Verzweigung einstellt, kann ebenfalls realistisch vorausgesagt werden. Diese Tatsache ist von Bedeutung für das Verständnis und die Beschreibung von Brucherscheinungen (Bildung von Scherfugen u. ä.) in der Geomechanik.

     

Non-linear dynamic stability of a simple floating bridge model

Summary This paper deals with a simple fluid-structure interaction problem of floating bridges under step loading with main emphasis on the non-linear dynamic stability of the structure itself after been simulated by a simple discrete mechanical model. The analysis concerns systems which under the same loading applied statically experience a limit point instability. On the basis of a theoretical discussion of the non-linear response of a single degree-of-freedom model simple conditions for an unbounded motion associated with dynamic buckling have been properly established.According to these conditions one can determine the exact dynamic buckling load without solving the strongly non-linear differential equation of motion. Such a load corresponds to that equilibrium point of the unstable (static) post-buckling path for which the total potential energy of the model becomes zero, while at the same time its second variation is negative definite. This load is also a lower bound in case that damping is included in the analysis. The foregoing conditions of static evaluation of the dynamic buckling load do not hold, in general, for limit point systems of two degres of freedom.The above theoretical predictions have been confirmed by means of numerical integration of the correspending non-linear equation of motion.

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Nichtlineare dynamische Stabilität eines einfachen Pontonbrückenmodells

Übersicht In dem Beitrag wird am Beispiel einer zweigliedrigen Pontonbrücke das Problem der nichtlinearen dynamischen Stabilität bei sprungförmiger Längsbelastung behandelt. Die Wechselwirkung Struktur—Fluid wird dabei durch eine linearisierte Rückstellkraft und eine Ersatzmasse des Fluids modelliert. Die Analysis betrifft Systeme, welche unter gleicher statischer Belastung eine Grenzwertinstabilität erfahren. Auf der Grundlage der nichtlinearen Antwort eines Modells mit einem Freiheitsgrad werden einfache Bedingungen für die unbeschränkte Bewegung verbunden mit dynamischem Knicken angegeben.Mit diesen Bedingungen kann die genaue dynamische Knicklast gefunden werden, ohne daß man die stark nichtlineare Bewegungsgleichung zu lösen hat. Diese Knicklast entspricht dem Gleichgewichtspunkt für den instabilen (statischen) Nachknickpfad, für den die potentielle Energie des Systems verschwindet, während zugleich ihre zweite Variation negativ definit ist. Diese Last ist ebenfalls eine untere Schranke für den Fall des Systems mit Dämpfung. Diese statische Ermittlung der dynamischen Knicklast kann i. allg. nicht auf ein System von zwei Freiheitsgraden übertragen werden.Die analytischen Ergebnisse wurden durch numerische Integration der zugehörigen nichtlinearen Bewegungsgleichung bestätigt.

     

Zur Stabilität von Schraubenfedern

Übersicht Es wird eine spezielle Lösung der nichtlinearen Kirchhoff-Clebschschen Gleichungen für die Schraubenlinie unter Längskraft- und Torsionsbelastung angegeben. Dann wird die Stabilität dieser Lösung untersucht, indem nach der Existenz einer Nachbarlage gefragt wird. Dabei muß sichergestellt sein, daß die Belastung konservativ ist. Die numerischen Ergebnisse werden mit der Knickformel von Haringx-Ziegler verglichen.

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Summary In this paper a special solution of the nonlinear Kirchhof-Clebsch-equations is treated for helical springs under compression and twist. The stability of this solution is found considering the state in an infinitesimal neighbourhood. On such boundary conditions, that the problem is conservative, numerical results are compared with the formula of Haringx-Ziegler.

     

Zur Stabilität der dünnen Kegelschale

Zusammenfassung Die obigen Ausführungen über die Stabilität der dünnwandigen Kreiskegelschale stellen eine Ergänzung und Erweiterung einer früheren Arbeit des Verfassers dar, in der die Ausbeulgrenze für gleichförmig verteilte Auflast und für konstanten Außendruck ermittelt worden ist. Nach einer kurzen Zusammenstellung der früheren Ergebnisse wird die Stabilität der auf Torsion beanspruchten Kegelschale betrachtet. Zur Aufstellung der Beulbedingung wird das Energiekriterium verwendet. Da eine exakte Lösung des sich ergebenden Variationsproblems nicht durchführbar ist, wird zur angenäherten Lösung das Ritzsche Verfahren benutzt. Der dabei gewählte Ansatz wird beim übergang zum Zylinder mit der exakten Lösung identisch. Damit ist in der Regel eine gute Genauigkeit der Lösung gewährleistet, da praktisch auf Torsion beanspruchte Kegelschalen fast stets in einer Form vorkommen, die sich nur wenig von der einer Zylinderschale unterscheidet. Die sich ergebende Beulbedingung kann durch Vernachlässigung unwesentlicher Glieder erheblich vereinfacht werden, so daß ihre zahlenmäßige Auswertung leicht möglich ist und ein übersichtliches Kurvennetz ergibt. Dieses Kurvennetz kann schließlich mit hinreichender Genauigkeit durch eine recht einfache Näherungsformel wiedergegeben werden.     

Stability of Ziegler's pendulum with eccentric load and load-dependent stiffness

Summary The stability of Ziegler's pendulum with eccentric load and load-dependent stiffness is considered. It is shown that the flutter load is affected by a support that stiffens as it is compressed, and by eccentricity of the tangential load.

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Stabilität eines Zieglerschen Stabes mit exzentrischen Belastungen und lastabhängiger Steifigkeit

Übersicht Es wird die Stabilität eines Zieglerschen Stabes untersucht, und zwar unter einer exzentischen Belastung und mit einer lastabhängigen Steifigkeit. Es hat sich gezeigt, daß der Flatterwert der Last, von der Art der Befestigung beeinflußt wird, die steifer wird unter einer zunehmenden Druckbelastung und mit anwachsender Exzentrizität der Tangentiallast.

     

Stabilität elastischer Tragwerke mit nichtlinearem Verformungsverhalten bei instationären Einwirkungen

Summary A method is suggested which simplifies the investigations to the safety of buckling structures under time depending actions. The static analysis of the structure is used in order to fix the critical deformation state and hence the critical strain energy. Representing the deformation behaviour and the loading by some energetic measures an approximation for the development of the motion during the loading may be computed with less effort by using Galerkin's procedure. Representing the effect of the external actions by the energy which is induced to the structure during the loading the proof of the stability may be given by comparing this external energy to the critical strain energy.

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Stabilität elastischer Tragwerke mit nichtlinearem Verformungsverhalten bei instationären Einwirkungen

Übersicht Die zum Stabilitätsverlust von dünnen Flächentragwerken führenden Beulphänomene werden für zeitabhängige Einwirkungen an einfachen Tragwerken erläutert. Für die Untersuchung der Stabilität bei zeitabhängigen Einwirkungen wird ein Verfahren vorgestellt, das auf der Basis einer statischen Analyse skalare Energiemaße definiert, die eine zuverlässige Beurteilung der Stabilität zulassen. Die Berücksichtigung des zeitlichen Ablaufs der Verformungen infolge der vorhandenen instationären Einwirkungen erfolgt nur für wenige für den Stabilitätsverlust maßgebende Bewegungsformen. Die Trennung von räumlicher und zeitlicher Diskretisierung ermöglicht eine effektive Untersuchung beulgefährdeter Tragwerke ohne die numerisch aufwendige Integration der nichtlinearen Bewegungsgleichungen.

     

On buckling of ellipsoidal cups under internal pressure

Summary A method for the calculation of the critical load for a semi-ellipsoidal shell with a stiffening rib at the edge is presented. The external and internal buckling energy of the shell is described. The Rayleigh quotient is used as the static buckling criterion, assuming the deflection function to depend on four shape parameters. Some numerical examples are presented showing the influence of the rib stiffness and the shell dimensions on the critical pressure value.

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Stabilitätsproblem von Ellipsoidschalen unter Innendruck

Übersicht Eine Methode zur Berechnung der kritischen Belastung von Halbellipsoidschalen mit versteifendem Kragen am Rande wird vorgestellt. Die äußere und innere Energie der Schale wird berechnet und der Rayleigh-Quotient als statisches Kriterium der Stabilität benutzt. Ihm liegt eine Funktion der Biegung mit vier Gestaltparametern zugrunde. Einige numerische Beispiele werden vorgestellt, welche den Einfluß der Kragensteifigkeit und der Schalenabmessungen auf den kritischen Druck illustrieren.

     

Stability of a rocking block on a cylinder,including the effect of initial imperfections of arbitrary magnitude

Summary The effect of initial imperfections on the critical bifurcation parameter of a rocking block rolling without slipping on a cylinder is investigated. The theory is developed in terms of generalized coordinates. It is shown that the influence of the imperfections is modelled by a Whitney cusp. Experiments on simple model blocks and cylinders made of cardboard with sand paper contact surfaces to assure rolling but not sliding are examined. The theoretical and experimental results are in close qualitative agreement. The proposed model also serves as a simple machine to verify by experiment the existence of complementary equilibrium paths.

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Stabilitätsverhalten eines Schaukelblocks auf einem Halbzylinder unter Berücksichtigung des Einflusses von Imperfektionen beliebiger Größe

Übersicht Der Einfluß von Anfangsimperfektionen auf den kritischen Verzweigungsparameter eines auf einem Halbzylinder abrollenden Sohaukelblocks wird untersucht. Die Theorie ist in verallgemeinerten Koordinaten ausgedrückt, und es wird gezeigt, daß der Einfluß der Imperfektionen als eine Whitney-Spitze dargestellt werden kann. Versuche mit einfachen, aus Pappe mit Sandpapierkontaktflächen hergestellten Blöcken und Zylindern zeigen Ergebnisse, welche die theoretisch hergeleiteten Gleichgewichtskurven experimentell bestätigen.

     

Grundzüge einer Stabilitätstheorie für elastische Systeme unter nichtkonservativer Belastung

Zusammenfassung Um den Einfluß von nichtkonservativen Kräften zu erfassen, muß die Stabilitätstheorie nichtkonservativer elastischer Systeme auf dem Prinzip der virtuellen Verrückung aufgebaut werden, das von genügender Allgemeinheit ist. Als mathematische Methode steht nach Klärung von Konvergenzfragen das Galerkinsche Verfahren zur Verfügung, das dem ursprünglichen Problem der Stabilität elastischer Systeme das Problem der Stabilität der Bewegung eines mechanischen Systems von unendlich vielen Freiheitsgraden als gleichwertig zuordnet und die Algebraisierung des Stabilitätsproblems erlaubt. Damit wird die Ljapunowsche Theorie anwendbar. Als Wichtigstes ist die Berechtigung der Linearisierung zu untersuchen, wozu der Einfluß der Dämpfung festzustellen ist. Es ergibt sich, daß bei Berücksichtigung von Dämpfung die Stabilität stets asymptotisch ist, so daß die Linesarisierung gerechtfertigt wird. Darüber hinaus zeigt es sich, daß die Struktur der Matrizen und von entscheidender Bedeutung für die Zuständigkeit eines der in Frage kommenden Stabilitätskriterien ist: Ist symmetrisch und eine beliebige positive Diagonalmatrix bzw. schiefsymmetrisch, oder symmetrisierbar bzw. unsymmetrisch und noch gleichzeitig (die Dämpfungskoeffizienten alle gleich), so wirkt in diesen Fällen die Dämpfung günstig, und die Stabilitätskriterien des ungedämpften Vorganges, das statische bzw. das kinetische, bleiben daher hinreichend. Man darf dann auch ohne Dämpfung rechnen. Ist dagegen unsymmetrisch und eine positive Diagonalmatrix mit verschiedenen Elementen, so darf in solch einem Fall nicht ohne Dämpfung gerechnet werden, weil gegenüber dem ungedämpften Vorgang ein Sprung in den Stabilitätsbedingungen auftritt, durch welchen das Ergebnis der Rechnung ohne Dämpfung in Frage gestellt wird.     

On the effective application of asynchronous excitations to nonlinear mechanical systems

Summary Ways of effectively applying asynchronous excitations to nonlinear systems are studied in spite of complexity of the system behavior caused by two excitations with asynchronous frequencies. The operation of suppressing primary resonances for vibro-machines by adding another asynchronous excitation to the main systems is shown. A new property, namely that resonant amplitudes are perfectly suppressed at some partial-frequency intervals and at one wide-frequency interval, was recognized in the systems with piecemeal linear characteristics under the action of both parametric and forcing excitations. The phenomena are different from reduction of whole resonance curves occurring in systems with continuous nonlinearity.

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Wirksame Verwendung asynchroner Erregung für nichtlineare mechanische Systeme

Übersicht Der Weg einer wirksamen Verwendung einer asynchronen Erregung für nichtlineare Systeme wird trotz der Kompliziertheit des Systemverhaltens bei zwei Erregungen mit asynchronen Frequenzen studiert. Die Unterdrückung primärer Resonanzen von Schwingungs-maschinen beim Zusatz einer asynchronen Eregung zum Hauptsystem wird gezeigt. Die neue Eigenschaft, daß die Resonanzamplituden in einigen partiellen Frequenzregionen und einen weiten Frequenzbereich perfekt unterdrückt werden, wurde für Systeme mit stückweise linearer Charakteristik und simultaner Parameter- und Fremderregung gezeigt. Die Phänomene sind verschieden von der Verringerung ganzer Resonanzkurven in kontinuierlichen nichtlinearen Systemen.

     

Die Stabilität rotierender Wellen infolge innerer und äußerer Dämpfung

Zusammenfassung Es wurde das Stabilitätsverhalten einer rotierenden Welle bei gleichzeitigem Vorhandensein von äußerer und innerer Dämpfung untersucht. Die äußere Dämpfungskraft wurde proportional der Absolutgeschwindigkeit vorausgesetzt, während für die innere Reibungskraft zwei verschiedene Gesetze unterschieden wurden, einerseits ein viskoses nach Voigt-Kelvin mit einer Reibungskraft proportional der Verformungsgeschwindigkeit und andererseits ein von Kimball-Lovell experimentell gefundenes Gesetz für Materialdämpfung. Obschon die Stabilitätsbedingungen für die Welle mit einem Freiheitsgrad bekannt sind, wurde in einem ersten Teil eine solche sog. Lavalwelle untersucht, um in einem zweiten Teil, der den Schwerpunkt der Untersuchung darstellt, den Vergleich mit der sog. glatten Welle, also einer Welle mit mehreren Freiheitsgraden im Sinne der Kontinuumsmechanik, zu ermöglichen.Die untersuchten Arten der inneren Reibung liefern bekanntlich für die Lavalwelle zwei grundsätzlich verschiedene Stabilitätsbedingungen: Während für die innere Dämpfung nach Kimball-Lovell ein Minimalverhältnis äußerer zu innerer Reibung genügt, um im ganzen Drehzahlbereich ein stabiles Verhalten zu gewährleisten, ist bei Voraussetzung einer viskosen inneren Dämpfung nach Voigt-Kelvin das nötige Minimalverhältnis im überkritischen Bereich von der Drehzahl linear abhängig.Es wurde gezeigt, daß bei der glatten Welle dieser Unterschied der beiden inneren Dämpfungsarten bezüglich des Stabilitätsverhaltens mindestens bei höheren Drehzahlen grundsätzlich verschwindet. Bei schwacher Dämpfung steigt das notwendige Minimalverhältnis der äußeren zur inneren Dämpfung für den stabilen Lauf mit zunehmenden Drehzahlen progressiv an. Bei größeren Dämpfungswerten hingegen ist die Stabilität von drei Parametern, nämlich der äußeren Dämpfung, die inneren Dämpfung und der Drehzahl, abhängig. Man kann die Parameter als Koordinaten eines räumlichen Koordinatenkreuzes auffassen und das Stabilitätsverhalten durch Aufspannen eines Stabilitätskörpers darstellen; der bei schwacher Dämpfung zu einer Stabilitätskarte degeneriert. Stabilitätskörper und -Karten wurden mitgeteilt und diskutiert. Danach läßt sich das Stabilitätsverhalten der Lavalwelle mindestens im Bereich höherer Drehzahlen nicht auf die glatte Welle übertragen.     

On self-excited whirl of rotors

Summary The paper presents a study of the non-synchronous, self-excited whirl of continuous rotors caused by internal damping forces and by hydrodynamic bearing-film forces. Taking into account gyroscopic effects, the effect of shear on bending, and external damping, the equations of motion are derived by the variational principle. By means of two mode expansions simple expressions are obtained for the limit of stability and the corresponding whirling frequency that are valid for small values of the velocity dependent forces.Numerical methods are used to obtain better approximations to the limits of stability and the whirling frequencies. The results show that for large values of internal and external damping forces and gyroscopic moments, the widely used two-mode approximation may be greatly in error. It is found that if the limit of stability is raised by adding external damping to the rotor system, then even a small amount of internal damping may considerably reduce the limit of stability. In accordance with experimental work done by other authors, it is found that for certain damping conditions a second stability region exists.

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Übersicht Der Artikel enthält eine Untersuchung von nicht synchronen selbsterregten Kreiselbewegungen eines kontinuierlichen Rotors, die durch innere Dämpfungskräfte und hydrodynamische Schmierfilmkräfte verursacht werden. Unter Berücksichtigung des Kreiseleffektes, des Einflusses der Schubspannung auf die Biegung und der äußeren Dämpfung werden die Bewegungsgleichungen nach dem Variationsprinzip abgeleitet. Mit Hilfe einer Annäherung mit zwei Koordinatenfunktionen erhält man einfache Ausdrücke für die Stabilitätsgrenze und für die entsprechende Kreiselfrequenz, die für kleine Werte der von der Geschwindigkeit abhängigen Kräfte gelten.Um bessere Näherungen für die Stabilitätsgrenzen und die Kreiselfrequenzen zu erhalten, werden numerische Methoden angewandt. Die Ergebnisse zeigen, daß die oft benutzte Annäherung mit zwei Koordinatenfunktionen für große Werte der inneren und äußeren Dämpfung sowie bei Gegenwart von Kreiselmomenten zu großen Fehlern führen kann. Es wird gezeigt, daß schon ein kleiner Beitrag an innerer Dämpfung die Stabilitätsgrenze merkbar reduzieren kann, wenn man die Stabilitätsgrenze durch Hinzufügung äußerer Dämpfung zum Rotorsystem hinauszuschieben sucht. In Übereinstimmung mit den experimentellen Ergebnissen anderer Autoren wird gezeigt, daß ein zweiter Stabilitätsbereich für gewisse Dämpfungsbedingungen existiert.

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The author wish to thank Professor Frithiof I. Niordson, lic. techn. Pauli Pedersen and lic. techn. Viggo Tvergaard for their stimulating criticism of this work.