Lateral post-buckling analysis of beams

Summary The nonlinear lateral buckling response of perfect stocky beams in the vicinity of the critical bifurcational state is discussed. Attention is focused on the initial post-buckling response. This depends on the nature of the critical branching point which is explored by using a nonlinear (lateral) bending-curvature relationship. It is found that the plane of loading (associated with the major moment of inertia) looses its stability through a stable symmetric bifurcation point. Hence, the above beams are not sensitive to imperfections, exhibiting post-buckling strength. However, the post-buckling equilibrium path is quite shallow, so that the load-carrying capacity of such beams above the critical state is rather limited. The analysis is supplemented by illustrative examples forI-beams for which the effect of various parameters on the initial postbuckling path is also discussed.

---

Analyse des lateralen nachkritischen Knickverhaltens von Balken

Übersicht Das nichtlineare Knickverhalten von perfekten gedrungenen Balken in der Nachbarschaft des kritischen Verzweigungspunktes wird untersucht, wobei sich die Aufmerksamkeit insbesondere auf den Beginn der nachkritischen Phase richtet. Diese hängt vom Charakter des kritischen Verzweigungspunktes ab, der seinerseits mit Hilfe einer nichtlinearen (lateralen) Biegemoment-und Krümmungs-Beziehung analysiert wird. Es zeigt sich, daß die Stabilität in der Belastungsebene-verbunden mit dem maximalen Flächenmoment zweiter Ordnung-über einen stabilen symmetrischen Verzweigungspunkt verlorengeht. Daher sind solche Balken unempfindlch gegenüber Imperfektionen, sie zeigen nachkritische Belastbarkeit. Der nachkritische Gleichgewichtspfad ist jedoch sehr flach, so daß die Tragfähigkeit dieser Balken oberhalb des kritischen Zustandes recht begrenzt ist. Die Untersuchung ist durch illustrative Beispiele für I-Balken untermauert, für welche der Einfluß der verschiedenen Parameter auf den anfänglichen nachkritischen Pfad herausgearbeitet wird.

     

Die Wechselwirkung zwischen Schwinger und Antrieb bei erzwungenen Schwingungen

de]Zusammenfassung Die bei erzwungenen Schwingungen mit Rückwirkung des Schwingers auf den Antrieb auftretenden Erscheinungen wurden untersucht. Dabei ergaben sich als wichtigste Eigenschaften:Bei einer mit der Drehzahl fallenden Momentenkennlinie, wie sie z. B. im Arbeitsbereich von Elektromotoren meist vorliegt, können unter den hier angegebenen Bedingungen beim Durchfahren der kritischen Drehzahl Amplituden- und Frequenzsprünge auftreten.Im Gebiet der Resonanz ergeben sich neuartige Bedingungen für die Stabilität von stationären Schwingungszuständen. Es wurde gezeigt, daß die Stabilität von der Neigung der Momentenkurve und vom Größenverhältnis von Motor und Schwinger abhängt. Die normierte Darstellung ermöglicht es, die Stabilitätsbedingungen für beliebige Schwinger des behandelten Typs rasch quantitativ zu berechnen.Die erhaltenen Ergebnisse haben unmittelbare praktische Bedeutung für Systeme, die im Resonanzgebiet arbeiten. Das ist z. B. bei Schwingsieben und Schwingförderrinnen der Fall. Auch beim Hochfahren und Anlaufen von überkritisch laufenden Maschinen können die hier beschriebenen Erscheinungen vorkommen und müssen gegebenenfalls berücksichtigt werden.     

The refined approximate criterion for chaos in a two-state mechanical oscillator

Summary In the two-state mechanical oscillator, a mathematical model of a buckled beam, the refined criterion for the system parameter critical values where chaotic motion can be expected is derived. The derivation is based on the assumption of the second approximate solution for the small orbit. It is shown that a simple approximate analysis of the Hill's type variational equation gives the sought stability loss of the resonant solution as the period doubling bifurcation. The stability limits of the resonant and non-resonant solutions are proposed as the boundary of the region where strange phenomena can appear and the refined criterion thus derived is compared to computer simulation results and to other approximate criteria.

---

Verfeinertes Kriterium für chaotische Bewegung in einem Schwingungssystem mit zwei stabilen Gleichgewichtslagen

Übersicht Für ein mechanisches Schwingungssystem mit zwei stabilen Gleichgewichtslagen, das ein mathematisches Modell eines Knickstabes darstellt, wird ein verfeinertes Kriterium für die kritischen Systemparameterwerte, bei denen chaotische Bewegung zu erwarten ist, hergeleitet. Die Herleitung geht von der Näherungslösung zweiter Ordnung für kleine Bahnen um das Gleichgewicht aus. Es wird gezeigt, daß eine einfache Näherungsbehandlung der Variationsgleichung vom Hill-Typ den gesuchten Stabilitätsverlust der Resonanzlösung als Verzweigung der Periodenverdopplung liefert. Die Stabilitätsgrenzen der resonanten und nichtresonanten Lösungen werden als Bereichsgrenze, wo chaotische Bewegungen auftreten können, vorgeschlagen. Das derart hergeleitete verfeinerte Kriterium wird mit Computer-Simulationen und anderen Näherungskriterien verglichen.

     

A contribution to the Kryloff-Bogoliuboff theory in nonlinear mechanics

Summary An extension of the Kryloff-Bogoliuboff method in the theory of nonlinear oscillation has been developed.The method is intended primarily for the resonant analysis of systems exhibiting transient as well as steady motion, and describes subharmonic and superharmonic responses in complete generality.The method is applied to the equation describing the motion of a harmonically driven nonlinear oscillator. Higher approximation is obtained and the stability of the solution has been examined. The results of this method, when compared with exact solutions, show that this technique affords a more workable means for studying the responses of the nonlinear system harmonic forces.

---

Übersicht Es wird eine Erweiterung für die von Kryloff und Bogoliuboff angegebene Methode der Theorie nichtlinearer Schwingungen beschrieben. Das Verfahren ist vorwiegend für die Resonanzanalyse bei stationären oder instationären Bewegungen geeignet. Subharmonische und superharmonische Bewegungen lassen sich in voller Allgemeinheit damit berechnen.Das Verfahren wird am Beispiel einer Gleichung demonstriert, die die Bewegungen eines harmonisch erregten nichtlinearen Schwingers beschreibt. Höhere Näherungen werden abgeleitet, und die Stabilität der Lösungen wird untersucht. Ein Vergleich mit exakten Lösungen zeigt, daß das angegebene Verfahren gut brauchbar für die Berechnung der Bewegungen nichtlinearer Systeme mit harmonischen Erregungen ist.

     

Localized banding with strong velocity jumps

Summary Localized instabilities with strong jumps in the velocity field are discussed. It is found that a hardening material would not lose its stability just after yielding by the bifurcation definition of Valanis, as was believed to be. A new bifurcation criterion is suggested. Needs for banding constitutive relations are stressed. The analysis also implies that imperfections existing both in thickness and width of narrow bands may have more serious influence on banding instability of thin sheets than those existing only in the thickness, as is usually assumed in numerical analysis.

---

Lokalisierte Deformationsbänder mit starken Geschwindigkeitssprüngen

Übersicht Diskutiert werden lokalisierte Instabilitäten mit starken Sprüngen im Geschwindigkeitsfeld. Es zeigt sich, daß verfestigende Werkstoffe im Gegensatz zur bisherigen Annahme nach der Verzweigungsdefinition von Valanis nicht gleich nach Fließbeginn ihre Stabilität verlieren. Es wird ein neues Verzweigungskriterium vorgeschlagen und auf die Notwendigkeit konstitutiver Beziehungen für die Lokalisierung hingewiesen. Die Analyse impliziert, daß Imperfektionen sowohl in der Dicke als auch Breite enger Bänder möglicherweise einen größeren Einfluß auf die Lokalisierung in dünnen Scheiben haben als allein Imperfektionen in der Dicke, wie sie üblicherweise bei numerischen Untersuchungen angesetzt werden.

     

Pflüger rod with shear and extensibility

Summary The stability of a thin elastic rod loaded with non-conservative tangentially distributed and axial compressive force is analyzed. The axial compressive force has constant and periodic component. Also it is assumed that the rod axis is extensible and shear stress effects are taken into account. The in-plane vibrations and stability of the rod are analyzed. The critical load is also determined.

---

Pflüger Stab mit Schubspannungsinfluß und dehnbarer Achse

Übersicht Es wird die Stabilität eines dünnen Stabes, der durch eine nichtkonservative Tangential-und eine Längskraft beansprucht wird, betrachtet. Die axiale Längskraft besitzt eine Konstante und eine periodische Komponente. Es wird angenommen, daß die Stabachse dehnbar ist; der Schubspannungseinfluß wird berücksichtigt. Es werden die ebenen Schwingungen und das Stabilitätsverhalten untersucht; ebenso wird die kritische Last ermittelt.

     

On the large postbuckling response of nonconservative continuous systems

Summary The large postbuckling response of a uniform cantilever beam subjected to a partial follower compressive load of constant magnitude is presented. The range of values of the nonconservativeness loading parameter for which a divergence instability occurs is theoretically established. The boundary between divergence and flutter instability corresponds to a double critical point where the first and second buckling loads (eigenvalues) coincide. It was also theoretically established that the critical points corresponding to these loads are stable symmetric. Except of the double critical point, the buckling loads of the first and second eigenmodes are distinct for the entire region of the nonconservativeness loading parameter. However, this is not true for the corresponding postbuckling paths. Indeed using an elastica analysis suitable for rotations up to 360°, it was found that at a certain critical tip rotation depending on the value of the nonconservativeness parameter the first and second postbuckling modes meet each other asymptotically. Numerical results have been obtained using various approximate analytic techniques which are checked by the method of elliptic integrals as well as the numerical schemes of Adams and Runge-Kutta.

---

Groß Nachbeulantworten nichtkonservativer kontinuierlicher Systeme

Übersicht Vorgestellt wird das große Nachbeulverhalten eines gleichförmigen Auslegers unter einer teilweise folgenden Drucklast konstanter Größe. Der Bereich des Lastparameters der Nichtkonservativität, für den Verzweigungsinstabilität auftritt, wird theoretisch ermittelt. Die Grenze zwischen Verzweigung und Flattern entspricht einem zweifachen kritischen Punkt, in dem die erste und zweite Beullast zusammenfallen. Ebenfalls theoretisch wird gezeigt, daß die kritischen Punkte zu diesen Lasten stabil symmetrisch sind. Mit Ausnahme des zweifachen kritischen Punktes sind die Beullasten der ersten und zweiten Eigenform im ganzen Bereich des Parameters der Nichtkonservativität verschieden. Dies gilt nicht für die zugehörigen Nachbeulpfade. Vielmehr zeigt eine für große Drehungen bis 360° gültige Analyse der Biegelinie, daß bei einer bestimmten kritischen Stabenddrehung, die vom Parameter der Nichtkonservativität abhängt, erste und zweite Eigenform sich asymptotisch angleichen. Numerische Ergebnisse werden nach verschiedenen analytischen Näherungsmethoden gewonnen und mit der Methode der elliptischen Integrale sowie den numerischen Methoden nach Runge-Kutta bzw. Adams verglichen.

     

Matrix analysis of non-proportionally damped dynamical systems employing the A-P algorithm

Summary The A-P algorithm was originally formulated for the eigenreduction of real symmetric matrices but has been extended in recent years to handle normalizable real and complex matrices. Considerable experience with the method for the determination of normal modes of free vibration and buckling modes in complex structures has indicated it to be an efficient computer method, especially in conjunction with the matrix structural methods developed by Argyris [1, 2, 3]. Recent research involving vibration problems having non-proportional damping indicates that the method is equally valuable in this area. The extension of this problem to include aerodynamic damping and stiffness is discussed with reference to a dynamic stability analysis based on the free-free antisymmetric modes of a whole aircraft.

---

Übersicht Der A-P Algorithmus wurde ursprünglich zur Eigenreduktion reellsymmetrischer Matrizen aufgestellt; er wurde jedoch in den letzten Jahren auf normalisierbare reelle und komplexe Matrizen erweitert. Beträchtliche Erfahrungen mit der Methode bei der Bestimmung der Eigenschwingungsformen und der Knickformen komplizierter Tragwerke haben gezeigt, daß sie ein wirksames Hilfsmittel für Computerrechnungen ist. insbesondere in Verbindung mit der von Argyris entwickelten Matrizenmethode [1, 2, 3]. Neuere Forschungen über Schwingungsprobleme mit nicht-proportionaler Dämpfung bestätigen, daß die Methode auch auf diesem Gebiet sehr wertvoll ist. Es wird hier die Erweiterung dieses Problems behandelt, um aerodynamische Dämpfungs- und Steifigkeitskräfte zu berücksichtigen, wobei auf die Untersuchung der dynamischen Stabilität eines gesamten Flugzeuges mittels der antisymmetrischen Frei-Frei-Schwingungsformen Bezug genommen wird.

---

---

Communication of the Institut für Statik und Dynamik der Luft- und Raumfahrtkonstruktionen, Universität Stuttgart (Director Professor Dr. J. H. Argyris). This report is based on the author's dissertation to the Fakultät für Maschinenwesen, T.H. Stuttgart.     

Bifurcation analysis for sand samples with a non-linear constitutive equation

Summary A thoroughly non-linear constitutive equation connecting stress-rates and strain-rates is shown to yield realistic predictions for the conditions at which bifurcation may appear in the course of axisymmetric and plane homogeneous deformations of sand samples. The features of the non-homogeneous deformation after the bifurcation are also realistically predicted, a fact which is of importance in understanding and describing rupture phenomena (formation of shear bands) in geomechanics.

---

Übersicht In dieser Arbeit wird gezeigt, daß eine nichtlineare Beziehung zwischen der Spannungsrate und der Deformationsgeschwindigkeit realistische Voraussagen für Verzweigungen liefert, die sich im Verlauf von achsensymmetrischer und ebener Verformung von Sandproben einstellen können. Die Geometrie der inhomogenen Verformung, die sich nach der Verzweigung einstellt, kann ebenfalls realistisch vorausgesagt werden. Diese Tatsache ist von Bedeutung für das Verständnis und die Beschreibung von Brucherscheinungen (Bildung von Scherfugen u. ä.) in der Geomechanik.

     

The effects of non-linearities and compressibility on the static and dynamic critical load of non-conservative discrete systems

Summary The non-linear static and dynamic stability of a non-linearly elastic, two degree of freedom system under a partial follower load is thoroughly discussed. Conditions for divergence and flutter instability in the large, in the sense of Lagrange, are established. These conditions may be completely different from those corresponding to linearized analyses. It is found that the static method of analysis is applicable for the entire range of the non- conservativeness loading parameter provided that the material non-linearity is accounted for. The stability or instability of critical states depends on the amount of material non-linearity. The unexpected result that the non-linear static critical load may differ substantially from the corresponding non-linear dynamic critical load is deduced with the aid of a numerical integration of the original non-linear equations of motion. The effects of compressibility as well as of other parameters on such a difference are properly examined. New phenomena which contradict well-known results based on linearized analyses reveal the true instability mechanism of non-conservative systems

---

Auswirkungen von nichtlinearitäten und kompressibilität auf die statische und dynamische kritische last nichtkonservativer diskreter systeme

Übersicht Diskutiert wird die nichtlineare statische und dynamische Stabilität eines nichtlinear elastischen Systems mit zwei Freiheitsgraden bei teilweise mitgehender Last. Bedingungen für die Stabilität im Großen, im Sinne von Lagrange, bei Knicken und Flattern werden aufgestellt. Sie können völlig verschieden von denjenigen einer lirearisierten Analyse sein. Es stellt sich heraus, daß die statische Betrachtung für den gesamten Parameterbereich der nichtkonservativen Last zulässig ist, vorausgesetzt die Material-Nichtlinearität wird berücksichtigt. Die Stabilität oder Instabilität kritischer Zustände hängt vom Grad der Material-Nichtlinearität ab. Das unerwartete Ergebnis, daß nichtlineare statische und dynamische kritische Last wesentlich voneinander abweichen können, folgt aus einer numerischen Integration der Bewegungsgleichungen. Der Einfluß der Kompressibilität und anderer Parameter auf diese Abweichung wird untersucht. Neue Phänomene, die bekannten Ergebnissen der linearen Analyse widersprechen, enthüllen den tatsächlichen Instabilitätsmechanismus nichtkonservativer Systeme.

     

Separation principle of mechanical system models including stabilized constraint relations

Summary This paper provides a system theoretical justification of the constraint stabilization method which is often and successfully used in mathematical modelling and computer simulation of constrained mechanical systems from industrial practize. The main results are collected in a Separation Theorem which shows, that in a first approximation an arbitrary pole placement of the stabilized constraint relations does not affect the physical eigenvalues of the remainder system equations. This result is similar to the well known separation principle of feedback control systems including state observers.

---

Zum Separationsprinzip der Modellgleichungen mechanischer Systeme mit stabilisierten Zwangsbedingungen

Übersicht Diese Arbeit liefert eine systemtheoretische Rechtfertigung der Methode der stabilisierten Zwangsbedingungen, die häufig und erfolgreich bei der mathematischen Modellierung und Rechnersimulation gelenkig verkoppelter mechanischer Systeme der industriellen Praxis verwendet wird. Die wesentlichen Ergebnisse der Arbeit sind im Separationstheorem zusammengefaßt. Es besagt, daß die Polvorgabe der Zwangsrelationen die physikalischen Eigenwerter der restlichen Modellgleichungen nicht beeinflußt. Dieses Ergebnis ähnelt dem wohlbekannten Separationsprinzip von Regelkreisen mit Zustandsbeobachter und Zustandsrückführung.

     

Non-linear dynamic stability of a simple floating bridge model

Summary This paper deals with a simple fluid-structure interaction problem of floating bridges under step loading with main emphasis on the non-linear dynamic stability of the structure itself after been simulated by a simple discrete mechanical model. The analysis concerns systems which under the same loading applied statically experience a limit point instability. On the basis of a theoretical discussion of the non-linear response of a single degree-of-freedom model simple conditions for an unbounded motion associated with dynamic buckling have been properly established.According to these conditions one can determine the exact dynamic buckling load without solving the strongly non-linear differential equation of motion. Such a load corresponds to that equilibrium point of the unstable (static) post-buckling path for which the total potential energy of the model becomes zero, while at the same time its second variation is negative definite. This load is also a lower bound in case that damping is included in the analysis. The foregoing conditions of static evaluation of the dynamic buckling load do not hold, in general, for limit point systems of two degres of freedom.The above theoretical predictions have been confirmed by means of numerical integration of the correspending non-linear equation of motion.

---

Nichtlineare dynamische Stabilität eines einfachen Pontonbrückenmodells

Übersicht In dem Beitrag wird am Beispiel einer zweigliedrigen Pontonbrücke das Problem der nichtlinearen dynamischen Stabilität bei sprungförmiger Längsbelastung behandelt. Die Wechselwirkung Struktur—Fluid wird dabei durch eine linearisierte Rückstellkraft und eine Ersatzmasse des Fluids modelliert. Die Analysis betrifft Systeme, welche unter gleicher statischer Belastung eine Grenzwertinstabilität erfahren. Auf der Grundlage der nichtlinearen Antwort eines Modells mit einem Freiheitsgrad werden einfache Bedingungen für die unbeschränkte Bewegung verbunden mit dynamischem Knicken angegeben.Mit diesen Bedingungen kann die genaue dynamische Knicklast gefunden werden, ohne daß man die stark nichtlineare Bewegungsgleichung zu lösen hat. Diese Knicklast entspricht dem Gleichgewichtspunkt für den instabilen (statischen) Nachknickpfad, für den die potentielle Energie des Systems verschwindet, während zugleich ihre zweite Variation negativ definit ist. Diese Last ist ebenfalls eine untere Schranke für den Fall des Systems mit Dämpfung. Diese statische Ermittlung der dynamischen Knicklast kann i. allg. nicht auf ein System von zwei Freiheitsgraden übertragen werden.Die analytischen Ergebnisse wurden durch numerische Integration der zugehörigen nichtlinearen Bewegungsgleichung bestätigt.

     

Zur Stabilität der dünnen Kegelschale

Zusammenfassung Die obigen Ausführungen über die Stabilität der dünnwandigen Kreiskegelschale stellen eine Ergänzung und Erweiterung einer früheren Arbeit des Verfassers dar, in der die Ausbeulgrenze für gleichförmig verteilte Auflast und für konstanten Außendruck ermittelt worden ist. Nach einer kurzen Zusammenstellung der früheren Ergebnisse wird die Stabilität der auf Torsion beanspruchten Kegelschale betrachtet. Zur Aufstellung der Beulbedingung wird das Energiekriterium verwendet. Da eine exakte Lösung des sich ergebenden Variationsproblems nicht durchführbar ist, wird zur angenäherten Lösung das Ritzsche Verfahren benutzt. Der dabei gewählte Ansatz wird beim übergang zum Zylinder mit der exakten Lösung identisch. Damit ist in der Regel eine gute Genauigkeit der Lösung gewährleistet, da praktisch auf Torsion beanspruchte Kegelschalen fast stets in einer Form vorkommen, die sich nur wenig von der einer Zylinderschale unterscheidet. Die sich ergebende Beulbedingung kann durch Vernachlässigung unwesentlicher Glieder erheblich vereinfacht werden, so daß ihre zahlenmäßige Auswertung leicht möglich ist und ein übersichtliches Kurvennetz ergibt. Dieses Kurvennetz kann schließlich mit hinreichender Genauigkeit durch eine recht einfache Näherungsformel wiedergegeben werden.     

Zur Stabilität von Schraubenfedern

Übersicht Es wird eine spezielle Lösung der nichtlinearen Kirchhoff-Clebschschen Gleichungen für die Schraubenlinie unter Längskraft- und Torsionsbelastung angegeben. Dann wird die Stabilität dieser Lösung untersucht, indem nach der Existenz einer Nachbarlage gefragt wird. Dabei muß sichergestellt sein, daß die Belastung konservativ ist. Die numerischen Ergebnisse werden mit der Knickformel von Haringx-Ziegler verglichen.

---

Summary In this paper a special solution of the nonlinear Kirchhof-Clebsch-equations is treated for helical springs under compression and twist. The stability of this solution is found considering the state in an infinitesimal neighbourhood. On such boundary conditions, that the problem is conservative, numerical results are compared with the formula of Haringx-Ziegler.

     

Stability of Ziegler's pendulum with eccentric load and load-dependent stiffness

Summary The stability of Ziegler's pendulum with eccentric load and load-dependent stiffness is considered. It is shown that the flutter load is affected by a support that stiffens as it is compressed, and by eccentricity of the tangential load.

---

Stabilität eines Zieglerschen Stabes mit exzentrischen Belastungen und lastabhängiger Steifigkeit

Übersicht Es wird die Stabilität eines Zieglerschen Stabes untersucht, und zwar unter einer exzentischen Belastung und mit einer lastabhängigen Steifigkeit. Es hat sich gezeigt, daß der Flatterwert der Last, von der Art der Befestigung beeinflußt wird, die steifer wird unter einer zunehmenden Druckbelastung und mit anwachsender Exzentrizität der Tangentiallast.

     

On buckling of ellipsoidal cups under internal pressure

Summary A method for the calculation of the critical load for a semi-ellipsoidal shell with a stiffening rib at the edge is presented. The external and internal buckling energy of the shell is described. The Rayleigh quotient is used as the static buckling criterion, assuming the deflection function to depend on four shape parameters. Some numerical examples are presented showing the influence of the rib stiffness and the shell dimensions on the critical pressure value.

---

Stabilitätsproblem von Ellipsoidschalen unter Innendruck

Übersicht Eine Methode zur Berechnung der kritischen Belastung von Halbellipsoidschalen mit versteifendem Kragen am Rande wird vorgestellt. Die äußere und innere Energie der Schale wird berechnet und der Rayleigh-Quotient als statisches Kriterium der Stabilität benutzt. Ihm liegt eine Funktion der Biegung mit vier Gestaltparametern zugrunde. Einige numerische Beispiele werden vorgestellt, welche den Einfluß der Kragensteifigkeit und der Schalenabmessungen auf den kritischen Druck illustrieren.

     

Stability of a rocking block on a cylinder,including the effect of initial imperfections of arbitrary magnitude

Summary The effect of initial imperfections on the critical bifurcation parameter of a rocking block rolling without slipping on a cylinder is investigated. The theory is developed in terms of generalized coordinates. It is shown that the influence of the imperfections is modelled by a Whitney cusp. Experiments on simple model blocks and cylinders made of cardboard with sand paper contact surfaces to assure rolling but not sliding are examined. The theoretical and experimental results are in close qualitative agreement. The proposed model also serves as a simple machine to verify by experiment the existence of complementary equilibrium paths.

---

Stabilitätsverhalten eines Schaukelblocks auf einem Halbzylinder unter Berücksichtigung des Einflusses von Imperfektionen beliebiger Größe

Übersicht Der Einfluß von Anfangsimperfektionen auf den kritischen Verzweigungsparameter eines auf einem Halbzylinder abrollenden Sohaukelblocks wird untersucht. Die Theorie ist in verallgemeinerten Koordinaten ausgedrückt, und es wird gezeigt, daß der Einfluß der Imperfektionen als eine Whitney-Spitze dargestellt werden kann. Versuche mit einfachen, aus Pappe mit Sandpapierkontaktflächen hergestellten Blöcken und Zylindern zeigen Ergebnisse, welche die theoretisch hergeleiteten Gleichgewichtskurven experimentell bestätigen.

     

On dynamics and stability of continuous systems subjected to a distributed moving load

Summary The paper deals with an analysis of different models of continuous systems subjected to a load distributed over a given length and moving at a constant velocity.The general discussion concerns a beam resting on a viscoelastic semi-space. The motion of the body is described by polynomial differential operators. With body forces being disregarded, the motion of the beam lying on a viscoelastic foundation is discussed with either taking into account the effect of shear deflection and the inertia of rotation or with neglecting them. Consideration is also given to the cases of relative motion of two continuous systems and the stability of their interaction. The above cases represent the models of a number of mechanical systems applied in e.g. modern transportation facilities, technology of bonding of layer materials, etc.The analysis is substantially simplified because the equations of motion and the boundary conditions are written in a moving coordinate system related with the load and only stationary solutions are considered. With such an approach, the solutions depend only on the transformed space variable, while the velocity of the load appears as one of the parameters of the system. Interesting conclusions are drawn from the obtained solutions and numerical calculations.

---

Zur Dynamik und Stabilität von kontinuierlichen Systemen unter verteilten bewegten Lasten

Übersicht Der vorliegende Beitrag behandelt die Analyse von kontinuierlichen Systemen, die verteilten bewegten Lasten ausgesetzt sind. Es wird zunächst ein Balken auf viskoelastischem Halbraum behandelt. Die Bewegung des Körpers wird beschrieben durch Differentialoperatoren in Polynomform, wobei der Einfluß von Schubverformung und Drehträgheit diskutiert wird. Der Fall der Relativbewegung von zwei kontinuierlichen Systemen und ihre Stabilität wird ebenfalls diskutiert. Die untersuchten Fälle stellen Modelle zahlreicher mechanischer Systeme dar, wie zum Beispiel moderne Schnelltransportsysteme, Fügevorrichtungen von Schichtmaterialien, usw.Die Analyse der Probleme wird wesentlich dadurch vereinfacht, daß die Bewegungsgleichungen und Randbedingungen in einem mitbewegten Koordinatensystem formuliert werden und nur stationäre Lösungen betrachtet werden. Auf diese Weise hängen die Lösungen nur von der transformierten Ortsvariablen ab; die Geschwindigkeit der Belastung tritt als ein Parameter des Systems auf.Aufschlußreiche Schlußfolgerungen werden anhand der erhaltenen Lösungen und numerischen Berechnungen dargestellt.

---

---

This paper was presented at the Second Symposium on Inelastic Solids and Structures, Bad Honnef, September 1981     

Ein Beitrag zur Stabilitätstheorie der Wirbelstraßen unter Berücksichtigung endlicher und zeitlich wachsender Wirbelkerndurchmesser

Zusammenfassung Nach dem Bericht über die bekannten Arbeiten über die Stabilitäts-theorie der Wirbelstraßen wird die Vermutung ausgesprochen und begründet, daß der in den bisherigen Theorien nicht berücksichtigte endliche Wirbelkerndurchmesser und seine zeitliche Veränderung einen neuen Einblick in das Stabilitätsproblem der Wirbelstraßen verspricht.Es werden für die einreihige Wirbelstraße Bewegungsgleichungen aufgestellt, linearisiert und durch eine unendliche Reihe gelöst. Die Stabilitätsdiskussion zeigt die Instabilität der einreihigen Wirbelstraße in Übereinstimmung mit der experimentellen Erfahrung.Im Anschluß hieran werden die Bewegungsgleichungen für die beiden Typen der zweireihigen Wirbelstraße angegeben, linearisiert und für den Fall, daß nur ein Wirbel gestört wird, gelöst. Die Diskussion der Lösungen ergibt, daß für die Wirbelstraße mit auf Lücke stehenden Wirbeln für endliche Zeiten ein Stabilitätsgebiet existiert. Es werden spezielle stabile Lösungen angegeben. Für verschwindende Zähigkeit schrumpft das Stabilitätsgebiet auf eine Gerade zusammen, die die alte Stabilitätsbedingung nach Th. v. Kármán darstellt.Die Diskussion der Wirbelstraße mit gegenüberstehenden Wirbeln zeigt das überraschende Ergebnis, daß neben der Instabilität dieser Anordnung für kleine Zeiten bzw. für große Werte des Parameters k=h/l auch ein Stabilitätsbereich existiert, der jedoch nur durch Instabilitätsgebiete hindurch erreicht werden kann.Zum Schluß werden einige Bemerkungen über die Gültigkeit der Theorie und über die Möglichkeiten der experimentellen Verifizierung gemacht.Gekürzte Fassung einer von der Fakultät für Maschinenwesen an der Technischen Universität Berlin-Charlottenburg genehmigten Dissertation (Berichter: Prof. Dr.-Ing. R. Wille, Prof. Dr. phil. E. Mohr).     

Stability of a water tower

Summary The stability of a water tower, consisting of a spherical shell rigidly attached to the top of a vertical column, is analyzed. At first, it is shown on a simple conceptual model that problems of this type are imperfection insensitive; thus, the first bifurcation load from the straight state of equilibrium could be considered the buckling load. This is followed by the analysis of the water tower problem taking into consideration the flexibility of the column, the own weight of the structure, the weight of the liquid, and the rotational stiffness of the soil base. Although the differential equation of the resulting eigenvalue problem has a variable coefficient, the problem is solved exactly in closed form. To simplify the utilization of the obtained results, they are presented graphically for a range of water tower and soil stiffness parameters. Model tests were conducted that confirmed the analytical findings. However, nearP _cr , at the smallest disturbance the model underwent large oscillatory motions. This finding suggests that, for water tower design, only a fraction ofP _cr should be used.

---

Stabilität eines Wasserturms

Übersicht Untersucht wird die Stabilität eines Wasserturms aus einer senkrechten Säule mit kugelförmigem Behälter an der Spitze. Zunächst wird anhand einer einfachen Modellabstraktion nachgewiesen, daß Probleme dieser Art unempfindlich sind gegen Imperfektionen; deshalb kann die erste aus dem geraden Gleichgewichtszustand führende Verzweigungslast als Knicklast angesehen werden. Es schließt sich die Untersuchung des Wasserturms mit Nachgiebigkeit und Eigengewicht der Säule, mit Gewicht von Behälter und Inhalt sowie Drehsteifigkeit des Fundaments an. Die Lösung des Eigenwertproblems, dessen Differentialgleichung einen variablen Koeffizienten besitzt, läßt sich geschlossen angeben. Zur bequemen Anwendung werden die Ergebnisse für weite Parameterberciche von Turm und Fundament graphisch dargestellt. Durchgeführte Modellversuche unterstützen die analytischen Ergebnisse. Allerdings vollführte das Modell in der Nähe der kritischen LastP _cr selbst bei kleinsten Störungen große Schwingbewegungen. Deshalb sollte bei einer Auslegung nur ein Bruchteil vonP _cr zugrunde gelegt werden.