相依样本下非参数回归函数递推型核估计的渐近分布

设（Ｘｉ，Ｙｉ）１≤ｉ≤ｎ为来自二元总体（Ｘ，Ｙ）的平稳，φ－混合样本，记ｍ（ｘ）△Ｅ（Ｙ│Ｘ＝ｘ），ｍ（ｘ）的一种递推型核估计为ｍｎ（ｘ）＝ｎ∑ｉ＝１ｈｉ＾－１Ｙｉｋ（（ｘ－Ｘｉ）／ｈｉ）／ｎ∑ｊ＝１ｈ＾－１ｊｋ（ｘ－Ｘｊ）／ｈｊ）。本文在一定的条件下证明了（ｎ／（ｎ∑ｊ＝１ｈ＾－１ｊ）＾１／２）（ｍｎ（ｘ１）－ｍ（ｘ１），ｍｎ（ｘ２）－ｍ（ｘ２），．．．ｍｎ（ｘｒ０）－ｍ（ｘｒ０））′依分布收     

从一道习题到两个优美的不等式

许多书上都有这样一道习题：设ｘ,ｙ∈Ｒ＋,且ｘ＋ｙ＝１,ａ,ｂ为正常数,求ａｘ＋ｂｙ的极小值;在此我们不谈它的解法,而是考虑能否把这个题的结论推广,我的想法是：（１）设ｘ,ｙ∈Ｒ＋且ｘ＋ｙ＝１,ａ,ｂ为正常数,ｎ∈Ｎ,如何求ａｘｎ＋ｂｙｎ的极小值呢？（２）（更一般化）设ａｉ,ｂｉ∈Ｒ＋（ｉ＝１,２…,ｎ,ｎ≥２）且ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ＝ｐ,ｋ∈Ｎ,ｂｉ为常数,如何求ｂ１ａｋ１＋ｂ２ａｋ２＋…＋ｂｎａｋｎ的极小值呢？经笔者研究,以上问题可以通过构造均值不等式求解;从而可以得到两个优美的不等式;定理…     

空间R~m上分布的中性卷积

取定具下述性质的函数ｒ（ｘ）∈Ｃ∞（Ｒ）：（ｉ），τ（ｘ）＝τ（－ｘ），（ｉｉ）０≤τ（ｘ）≤１，（ｉｉｉ）τ（ｘ）＝１，当｜ｘ｜≤１／２，（ｉｖ）τ（ｘ）＝０，当｜ｘ｜≥１．单位序列｛τｎ（ｘ）｝，ｘ∈Ｒｍ和ｎ∈Ｉｍ，定义作τｍ（ｘ）＝τ（ｘ１／ｎ１）…τ（ｘｍ／ｎｍ），ｎ１，…，ｎｍ＝１，２，…．空间Ｄ’（Ｒｍ）中分布ｆ和ｇ的中性卷积ｆｇ定义作序列｛ｆｎ＊ｇ｝的极限，其中ｆｎ＝ｆ·τｎ．作者给出了一些新的卷积．     

CONVERGENCE OF SOLUTIONS FOR A CLASS OF DIFFERENCE EQUATIONS WITH VARIABLE DELAY

Ｃｏｎｓｉｄｅｒｔｈｅｄｉｆｅｒｅｎｃｅｅｑｕａｔｉｏｎｗｉｔｈａｖａｒｉａｂｌｅｄｅｌａｙｘｎ－ｘｎ－１＝Ｆ（ｘｎ，ｘｒ（ｎ），ｎ＝ｎ０，ｎ０＋１，…（１）ｗｈｅｒｅ（Ｈ１）：Ｆ∈Ｃ（Ｒ×Ｒ，Ｒ），Ｆ（ｕ，ｖ）ｉｓｄｅｃｒｅａｓｉｎｇｗｉｔｈｒｅｓ...     

数学问题解答

１９９９年４月号问题解答（解答由问题提供人给出）１１８６设ｎ∈Ｎ,ｎ≥２,ｋ∈Ｒ＋,求函数ｙ＝ｘｎｘ－ｋ（ｘ∈（ｋ,＋∞））的最小值．解由均值不等式ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎｎ≥ｎｘ１ｘ２…ｘｎ得ｘ１ｘ２…ｘｎ≤（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎｎ）ｎ∵ｙ＝ｘｎｘ－ｋ...     

抽象函数问题的几点思考

讨论由若干条件所确定的函数的性质,是中数研究的一个热门话题．本文将就处理这类问题的思考方法提供一点见解,供读者参考．一、利用数据的相互关系分析问题抽象函数问题中的数据是一条重要的信息．数据之间的相互关系常常是问题的突破口．例１　ｆ是实数集Ｒ到Ｒ的映射,满足条件：ｘ∈Ｒ,有　　ｆ（ｘ＋１９）≤ｆ（ｘ）＋１９①　　ｆ（ｘ＋９４）≥ｆ（ｘ）＋９４②求证ｘ∈Ｒ,有ｆ（ｘ＋１）＝ｆ（ｘ）＋１．分析：①,②分别给出了放大与缩小关系．而ｆ（ｘ＋１）＝ｆ（ｘ）＋１ｆ（ｘ＋１）≤ｆ（ｘ）＋１且ｆ（ｘ＋１）≥…     

一题、一法、一类

一题、一法、一类蒋涛（江苏滨海县中学２２４５００）例１设ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ∈Ｒ＋，且ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ＝１，求证：ｘ１２１－ｘ１＋ｘ２２１－ｘ２＋…＋ｘｎ２１－ｘｎ≥１ｎ－１．（《数学通报》１９９３年７月号问题８４５）我们通过引入参数，给出一种新...     

两个不等式的简捷证法

下面给出的两类不等式问题,一般是通过代换的方法证明．本文给出直接简捷的证明．命题１　设ｘｉ∈Ｒ＋（ｉ＝１,２,…,ｎ）且ｘ２１１＋ｘ２１＋ｘ２２１＋ｘ２２＋…＋ｘ２ｎ１＋ｘ２ｎ＝ａ（０＜ａ＜ｎ）,求证：ｘ１１＋ｘ２＋ｘ２２１＋ｘ２２＋…＋ｘ２ｎ１＋ｘ２ｎ≤ａ（ｎ－ａ）①证　由题设易知：１１＋ｘ２１＋１１＋ｘ２２＋…＋１１＋ｘ２ｎ＝ｎ－ａ．由于　１１＋ｘ２ｋ＋ｎ－ａａ·ｘ２ｋ１＋ｘ２ｋ　　≥２１１＋ｘ２ｋ·ｎ－ａａ·ｘ２ｋ１＋ｋ２ｋ　　＝２ｎ－ａａ·ｘｋ１＋ｘ２ｋ）（ｋ＝１,２,…,ｎ）,此ｎ式相…     

与反函数有关的几个对称问题

由高中《代数》（上册）互为反函数的性质知：互为反函数的两个函数ｙ＝ｆ（ｘ）与ｙ＝ｆ－１（ｘ）的图象关于直线ｙ＝ｘ对称．那么函数ｙ＝ｆ（ｘ＋１）与函数ｙ＝ｆ－１（ｘ＋１）的图象是否也关于直线ｙ＝ｘ对称？它们之间到底有何关系？本文从函数图象入手,探讨与之有关的几个问题：定理１　若函数ｙ＝ｆ（ｘ）的反函数为ｙ＝ｆ－１（ｘ）,则函数ｙ＝ｆ（ｘ＋ｃ）（ｃ∈Ｒ）与ｙ＝ｆ－１（ｘ＋ｃ）的图象关于直线ｙ＝ｘ＋ｃ对称．证明　设Ｐ（ａ,ｂ）是函数ｙ＝ｆ（ｘ＋ｃ）上任意一点,则　　　　　　ｂ＝ｆ（ａ＋ｃ）①而点Ｐ（ａ…     

On the Decay of Solution of Some Nonlinear Hyperbolic Equation

§１．　ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎａｎｄＲｅｓｕｌｔＩｎｔｈｉｓａｒｔｉｃｌｅｗｅａｒｅｃｏｎｃｅｒｎｅｄｗｉｔｈｔｈｅｄｅｃａｙｏｆｇｌｏｂａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｉｎｉｔｉａｌ－ｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｆｏｒｔｈｅｆｏｌｌｏｗｉｎｇｎｏｎｌｉｎｅａｒｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｕｔｔ＋Ａｕ＋｜ｕｔ｜αｕｔ＝ｆ（ｘ,ｔ）　　　　　ｉｎΩ×Ｒ＋,（１）ｕ（ｘ,０）＝ｕ０（ｘ）,ｕｔ（ｘ,０）＝ｕ１（ｘ）　　ｘ∈Ω,（２）ｕ（ｘ,ｔ）＝０　　　　　　　　　　　　（ｘ,ｔ…     

双下标随机变量顺序统计量和的一个强大数定律的推广

本文论证了当双下标随机变量的分布函数Ｆ（ｘ）满足∫∞－∞｜ｘ｜ｐｄＦ（ｘ）＜∞（ｐ＞２）时有强大数定律ｌｉｍｎ→∞１ｎ２∑ｎｉ＝１ｉＸ（ｎ）ｉ＝１２Ｅｍａｘ（Ｘｎ１，Ｘｎ２）ａ．ｓ．成立．其结果优于文献［１］．     

有限域上一类方程的解数公式

本文给出有限域Ｆｑ上一类方程ａ１ｘ１ｄ１１…ｘｎｄ１ｎ＋ａ２ｘ１ｄ２１…ｘｎｄ２ｎ＋…＋ａｓｘ１ｄｓ１…ｘｎｄｓｎ＝ｂ的解数公式，这里ｄｉｊ＞０，ａｉ∈Ｆｑ，ｉ＝１，…，ｓ，ｊ＝１，…，ｎ．特别当ｓ＝ｎ，ｇｃｄ（｜ｄｉｊ｜，ｑ－１）＝１时，得到了简明的解数公式．     

巧用直线和圆的位置关系解题

命题　设直线ｌ：Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０（Ａ,Ｂ不同时为零）,⊙Ｏ：（ｘ－ａ）２＋（ｙ－ｂ）２＝Ｒ２,则ｌ与⊙Ｏ有交点｜Ａａ＋Ｂｂ＋Ｃ｜Ａ２＋Ｂ２≤Ｒ．本文举例说明这一命题在解题中的巧用．一、用于求最值（或值域）例１　如果实数ｘ,ｙ满足等式（ｘ－２）２＋ｙ２＝３,求ｕ＝ｙｘ的最大值．（１９９０年高考试题）解　由ｕ＝ｙｘ得ｕｘ－ｙ＝０,点（ｘ,ｙ）在直线ｕｘ－ｙ＝０以及圆（ｘ－２）２＋ｙ２＝３上．∴２ｕ－０１＋ｕ２≤１－３≤ｕ≤３,∴ｕｍａｘ＝３．例２　求函数ｕ＝２ｘ－１＋５－２ｘ的最大值．解　点（…     

两类产生增根的分式方程的判定

判定（一）（ｉ）命题：若ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ，且ａ≠０，ｂ≠－１分式方程：ｃｘ－ａ＋ｂ＝ｂ－ｘｘ－ａ当ｂ＝ａ＋ｃ时，必有ｘ＝ａ为分式方程的增根。（ｉ）例举：（１）１ｘ－１＋２＝２－ｘｘ－１，（ｂ＝ａ＋ｃ即２＝１＋１），ｘ＝１是方程的增根。（２）３ｘ＋２＋１...     

n阶时滞差分方程的边值问题

本文研究ｎ阶时滞差分方程的边值问题：ｘ（ｋ＋ｎ）＝ｆ（ｋ，ｘｋ（），ｘ（ｋ），ｘ（ｋ＋１），…，ｘ（ｋ＋ｎ－１）），ｋ∈ＩＴ，ｘ（ｍ）＝φ（ｍ），ｍ∈Ｉ－ｒ，ｘ（１）＝ａ１，ｘ（２）＝ａ２，…，ｘ（ｎ－２）＝ａｎ－２，ｘ（Ｔ）＝Ａ，｛得到了解的存在性和唯一性的结果．     

无理方程的验根问题

解无理方程的最后步骤是验根，这一点毫无疑问．那么，究竟如何验根却存在一些问题．让我们首先观察下面的例题，然后追根问底．例　解无理方程２ｘ＋ｘ－１＝５．解法１　移项得２ｘ－５＝－ｘ－１，两边平方得　４ｘ２－２０ｘ＋２５＝ｘ－１，４ｘ２－２１ｘ＋２６＝０，（ｘ－２）（４ｘ－１３）＝０，解得　　　ｘ１＝２，　ｘ２＝１３４．检验：把ｘ１＝２，ｘ２＝１３４代入ｘ－１，都有意义．故　ｘ１＝２和ｘ２＝１３４都是原方程的根．解法２　２ｘ＋ｘ－１＝５，　　２ｘ＋ｘ－１－５＝０，　　２（ｘ－１）＋ｘ－１－３＝０．令…     

变系数一阶中立型微分方程的振动性

考虑了微分方程［ｘ（ｔ）－ｐｘ（ｔ－τ）］′＋∑ｎｉ＝１Ｑｉ（ｔ）ｘ（ｔ－τｉ）＝０ｔ≥ｔ０（１）其Ｐ∈Ｒ＋＝［０,∞）,τ,τｉ为正常数,Ｑｉ（ｔ）∈Ｃ（［ｔ０,∞）,Ｒ＋）（ｉ＝１,２,…,ｎ）且∑ｎｉ＝１∫∞ｔ０Ｑｉ（ｔ）ｄｔ＝∞,获得了方程（１）振动的几个充分条件;减弱了文［１］Ｑ（ｔ）为周期系数的条件,推广和改进了文［１］的相应结果,并且有一些结果是新的     

周期问题分类浅析

近年在各级各类的试卷中,常见与周期有关的试题．由于周期函数在中学课本中仅介绍定义．练习中也只有求三角函数的周期,除此之外,在课本中再也找不到与周期有关的问题．因此,涉及周期问题的求解,学生颇感困难,本文以近年各类试题为例,对周期问题从周期给出的方式入手进行分类浅析．１　直接给出周期周期为Ｔ的函数,直接给出周期的方式有：ｆ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）、ｆ（ｘ＋Ｔ２）＝－ｆ（ｘ）、ｆ（ｘ＋Ｔ２）＝１ｆ（ｘ）、ｆ（ｘ＋Ｔ２）＝－１ｆ（ｘ）等．例１　若ｆ（ｘ）（ｘ∈Ｒ）是以２为周期的偶函数,当ｘ∈［０,１］时,…     

抽象算子在偏微分方程中的应用(Ⅱ)

Ｔｈｅｏｒｅｍ１　Ｌｅｔｍ∈Ｎａｎｄｍ１,Ｐ（ｘ）ｂｅａｎａｒｂｉｔｒａｒｙｏｒｄｅｒｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｏｐｅｒａ－ｔｏｒ．Ｔｈｅｎｆ（ｘ,ｔ）,φｊ（ｘ）∈Ｊ．（ＷｈｅｒｅＪｓｔａｎｄｆｏｒｔｈｅｓｅｔｏｆａｎａｌｙｔｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ）ｔ＋Ｐ（ｘ）ｍｕ＝ｆ（ｘ,ｔ）ｊｕｔｊｔ＝０＝φｊ（ｘ）　　ｘ∈Ｒｎ,ｔ∈Ｒ１ｊ＝０,１,２,…,ｍ－１．ｕ（ｘ,ｔ）＝∫ｔ０（ｔ－τ）ｍ－１（ｍ－１）！ｅ－（ｔ－τ）Ｐ（ｘ）ｆ（ｘ,τ）ｄτ＋ｅ－…     

周期函数一组判定定理的完善

文［１］给出了判定周期函数的一组三个定理,读后很受启发．用这组定理可以正确地判定一些周期函数,但其中关于最小正周期的部分内容却存在疏漏,下面加以完善．原文定理１　设λ为非零常数,若对函数ｆ（ｘ）定义域中的任意ｘ,恒有ｆ（ｘ＋λ）＝Ｍ（ｆ（ｘ））①（其中Ｍ（ｘ）满足Ｍ（Ｍ（ｘ））＝ｘ且Ｍ（ｘ）≠ｘ）．则ｆ（ｘ）为周期函数,２λ是它的一个周期．若λ是满足条件①的最小正数,则２λ是它的最小正周期．反例　当ｆ（ｘ）＝１,ｘ∈Ｚ－１,ｘＺ,Ｍ（ｘ）＝１ｘ时,Ｍ（Ｍ（ｘ））＝ｘ,Ｍ（ｘ）≠ｘ,且ｆ（ｘ＋１…