Neural networks for computing in the elastoplastic analysis of structures

A neural network model is proposed and studied for the treatment of elastoplastic analysis problems. These problems are formulated as Q.P.P.s with inequality subsidiary conditions. In order to treat these conditions the Hopfield model is appropriately generalized and a neural model is proposed covering the case of inequalities. Finally, the parameter identification problem is formulated as a supervised learning problem. Numerical applications close the presentation of the theory and the advantages of the neural network approach are illustrated.

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Sommario Si propone un modello di rete neurale con l'obiettivo di usarlo per la trattazione di problemi di analisi elastoplastica, formulati come problemi di programmazione quadratica con disequazioni sussidiarie. Allo scopo di trattare queste condizioni si generalizza il modello di Hopfield e si propone un modello neurale che copre il caso di disequazioni. Inoltre il problema di identificazione parametrica viene formulato come un problema di apprendimento guidato. La presentazione della teoria è seguita da esempi di applicazioni numeriche e dalla illustrazione dei vantaggi dell'uso delle reti neurali.

     

A basis for the linear theory of elastic stability of structures

Summary In this paper a consistent linear theory of stability of elastic structures is given and the problem of the neutral equilibrium of a continuum composed by an elastic material with high stiffness to the strains is studied. All the particular cases, as the buckling of beams, plates, shells etc., ensue and their classification in regard of their significance is given. There are comparisons with other theories.

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Sommario In questa Nota viene formulata una consistente teoria lineare della stabilità dell'equilibrio delle strutture elastiche e si tratta il problema dell'equilibrio indifferente di un continuo costituito da un materiale elastico con elevata rigidità alla deformazione. Tutti i casi particolari di instabilità euleriana delle travi, piastre, gusci ecc., discendono come casi particolari e di questi viene fornita una classifica nei riguardi della loro importanza. Si fanno infine confronti con altre trattazioni.

     

On design problems of grid shells

Summary The paper deals with some design problems for grid shells, i.e. spatial structures composed of beam elements whose shape is obtained with inversion of a suspended cable net. The method comes from the conviction that optimal shape of the grid shell is so obtained. The paper points the attention on the fact that the method in object doesn't lead to the optimal shape in case of multiple load conditions. Through an optimization computer procedure, using iterative perturbations of the initial net shape, under constraints of constructive type, the geometry of the cable net that leads to the real minimum weight of the shell structure is finally reached.

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Sommario La nota affronta alcuni problemi di progetto dei gusci grigliati, strutture spaziali discrete la cui geometria è ottenuta tramite l'inversione di una rete di funi sospesa. Questa metodologia deriva dal concetto per cui invertendo la forma di una rete sospesa si ottiene per il guscio grigliato corrispondente la forma ottimale. La nota vuol porre attenzione sul fatto che ciò non viene verificato quando le condizioni di carico che il guscio deve sostenere siano più d'una. Attraverso una procedura di calcolo automatizzata si arriva, con un succedersi di perturbazioni della forma iniziale della rete sospesa, a trovare la geometria che porta all'effettivo minimo di materiale per la struttura del guscio progettato. Questo avviene sotto alcuni vincoli di tipo costruttivo, per esempio lunghezza costante delle aste interne e sezioni trasversali delle aste del guscio scelte entro un «sagomario» prestabilito.

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Research financially supported by a grant of National Research Council of Italy.     

The dilation group and dimensionless quantities in classical and relativistic hydrodynamics

Summary We examine from a group theoretical point of view the approach to the study of hydrodynamics given by dimensional analysis. We will study the action of the dilation group: it transforms a hydrodynamical problem into a “similar” one i.e. into a problem differring by the choice of the units. We want to find and relate to group properties the quantities whose constancy is sufficient to guarantee the similiarity of two problems. We introduce the concept of commensurable problems and we find that the dimensionless quantities which are commonly used in hydrodynamics (such as the Reynolds number e.g.) when restricted to this subclass of problems are sufficient to label the orbits of the dilation group i.e. the sets of the similar problems. The relativistic version of this analysis and some other extensions will be also considered.

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Sommario Si studia da un punto di vista gruppale l'approccio che l'analisi dimensionale fornisce allo studio della idrodinamica. Verrà esaminata l'azione del gruppo delle dilatazioni: esso trasforma un problema idrodinamico in uno “simile”, in uno cioè che differisce per la scelta delle unità. Verranno indicate e collegate a proprietà gruppali quelle grandezze la cui costanza è sufficiente ad assicurare che due problemi siano simili. Dopo aver introdotto il concetto di problemi commensurabili, troviamo che quelle quantità adimensionali, come il numero di Reynolds per esempio, che si usano normalmente in idrodinamica sono sufficienti a caratterizzare le orbite per il gruppo delle dilatazioni, cioè gli insiemi dei problemi simili, quando ristrette alla sottoclasse dei problemi commensurabili. Si considerano anche la versione relativistica ed alcune altre estensioni di questa analisi.

     

Radial Cracks in a Sheet Weakened by a Pressurized Circular Hole

When radial cracks spread into a sheet starting from the boundary of a pressurized circular hole, experience shows that only some of the cracks increase in length. In this paper a simple model is proposed to explain the phenomenon. Thus, if the cracks have a length comparable to the hole radius,it is proposed to represent the boundary of the cracked region by ahypocycloid. This enables us to solve the corresponding boundary value problem of plane elasticity. If the intensity of the pressure is known and if the material obeys Griffith's energy fracture criterion, it is deduced,among all hypocycloidal boundaries, the one that is not stable. Limiting the analysis to the initial phase of the crack propagation, where the boundary of the hole may be assumed to be a hypocycloid, the unstable evolution of the system is explained using energetic considerations.Sommario.Semplici osservazioni mostrano che quando delle fessure radiali si propagano in una lastra, partendo dal contorno di un foro circolare in pressione, diminuiscono di numero con l'aumentare della loro lunghezza. In questo lavoro, si propone un semplice modello con cui spiegare il fenomeno. A tale scopo, si considera solo il caso in cui la lunghezza delle fessure sia minore del raggio del foro. Ciò consente di rappresentare il profilo della regione fratturata con un'ipocicloide e di determinare la soluzione esplicita del corrispondente problema di elasticità piana. In questo modo, nota la pressione nel foro e supponendo che il materiale segua il criterio energetico di frattura di Griffith, si individua, fra tutti i contorni ipocicloidali, quello instabile. Limitando l'analisi alla sola fase iniziale della propagazione delle fratture, l'evoluzione del sistema può essere descritta usando semplici considerazioni energetiche.     

Theoretical studies on heterogeneous deflagration waves. 1. A partial differential equation formulation of the problem

Summary This is the first of a three — part theoretical study on heterogeneous deflagration wave propagation. The theory is of a general nature; but specific reference to a composite solid rocket propellant is made. The ultimate objective of this line of research is to define conditions for statically and dynamically stable deflagration propagation. In this first paper, a quite general model of the problem in terms of a partial differential equation is reviewed. A flame model is used for the gas phase. The important assumptions are quasi-steady gas phase and collapsed reacting layer in the condensed phase. The model developed is the starting point for a transformation into an ordinary differential equation formulation of the problem (second part of the study); from this, the stability features of heterogeneous deflagration waves are immediately defined (last part of the study). The theory is verified by computer and experimental work, presently under progress.

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Sommario Questa è la prima di una serie di tre memorie dedicate all'analisi teorica della propagazione di onde eterogenee di deflagrazione. La teoria è di natura generale, ma per concretezza viene applicata al caso specifico di un propellente solido composito per endoreattori. Lo scopo finale della ricerca è di definire le condizioni necessarie per la stabilità statica e dinamica della propagazione di onde eterogenee di deflagrazione. In questa prima memoria viene rivisto un modello abbastanza generale del problema basato su di una equazione differenziale alle derivate parziali. La fase gassosa è trattata secondo un modello di fiamma. Le ipotesi più importanti riguardano la quasi-stazionarietà della fase gassosa e lo spessore trascurabile dello strato reagente in fase condensata. Il modello cosi sviluppato costituisce il punto di partenza per una formulazione del problema basata su di una equazione differenziale ordinaria (seconda memoria), che permette di definire immediatamente le proprietà di stabilità di onde eterogenee di deflagrazione (terza memoria). Sono in corso di svolgimento le verifiche numeriche e sperimentali della teoria proposta.

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Support by CNPM (Centro di Studio per Ricerche sulla Propulsione e sull'Energetica) is gratefully aknowledged.     

A bilateral convergent bounding technique for plastic deformations

Summary For the class of elastic perfectly plastic discrete structures, subjected to a dynamic loading history, a bilateral bounding technique for plastic deformations has been studied. The computation of the bound is founded on the concept that to obtain it, any history of fictitious plastic deformations can be used, if only admissible. Such history is obtained by solving a sequence of linear programming problems (LPPs) with a multiple step compared to the step of the sequence of the quadratic programming problems (QPPs) adopting in the classic elasto-plastic analysis. The constraints of the LPPs coincide with the constraints of the QPPs, while the objective function is a linear combination of variables with suitable weight coefficients. The technique seems to require a rather reduced computational effort compared to both the stepwise analysis problem and the other bounding techniques.

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Sommario Per la classe delle strutture discrete a comportamento elastico perfettamente plastico soggette ad una assegnata storia di carico dinamico, si studia una tecnica di delimitazione bilaterale delle deformazioni plastiche. Il calcolo della quantità maggiorante si basa sul concetto che per la costruzione di essa può essere utilizzata una storia qualsiasi di deformazioni plastiche fittizie, purchè ammissibile. Tale storia viene ottenuta risolvendo una sequenza di problemi di programmazione lineare (PPL) con passo multiplo rispetto a quello della sequenza di problemi di programmazione quadratica (PPQ) della classica analisi elasto-plastica. I vincoli dei PPL coincidono con i vincoli dei PPQ, mentre la funzione obiettivo è una combinazione lineare delle variabili con coefficienti di pesatura scelti secondo un particolare criterio. La tecnica sembra richiedere un impegno computazionale alquanto ridotto sia rispetto al problema di analisi al passo, sia rispetto ad altre tecniche di delimitazione.

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Revised text of a paper presented at the Fourth Meeting of the Italian Group for Computational Mechanics, held in Padova, June 21–23, 1989.     

Propagation of periodic long waves

Summary A method is developed for the computation of the steady solution of the shallow water equations with quasi periodic boundary conditions. Because of dissipation the influence of the initial conditions becomes negligible with increasing time and the solution finally depends on the boundary conditions. The unknowns variables (velocity and surface elevation) and the boundary conditions are developed in power series of a small perturbation parameter. The problem is then transformed in a sequence of linear problems which have the same associated homogeneous problem. By separating the time and space variables in the homogeneous problem we obtain an homogeneous elliptic problem of which we compute the first eigenvalues and eigensolutions. These are related to the characteristic oscillations of the water in the basin. The solution of each linear problem is then obtained as an eigensolution expansion with time dependent coefficients. These coefficients are solutions of ordinary differential equations which can be solved directly without proceeding step by step in time. In this way we are reduced to a stationary problem i.e. the determination of the eigenvalues and eigensolutions of the elliptic problem and to the computation of several integrals needed for the determination of the time dependent coefficients. A first test of the method has been carried out for a one-dimensional problem i.e. the tidal wave in a canal of finite length and constant depth. In this case the various steps of the procedure outlined above can be performed analitically. The results have been compared with those obtained by a step by step numerical integration of the shallow water equations. The agreement between these sets of results is good for the range of values of the parameters currently used in the applications.

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Sommario Viene presentato un metodo per il calcolo della soluzione a regime delle equazioni delle onde lunghe, dipendente dalle sole condizioni al contorno quasi-periodiche, dopo aver mostrato che l'influenza delle condizioni iniziali diventa col tempo trascurabile a causa del termine di resistenza. Il metodo si basa sullo sviluppo in serie di potenze di un piccolo parametro sia delle incognite (velocità ed elevazioni del pelo libero) sia delle condizioni al contorno al fine di trasformare il problema non lineare in una serie di problemi lineari aventi lo stesso problema omogeneo associato. Con la separazione delle variabili spazio, tempo quest'ultimo problema viene ricondotto ad un problema ellittico omogeneo di cui si calcolano i primi autovalori ed autosoluzioni. Da ultimo la soluzione di ciascun problema lineare è ottenuta come sviluppo in serie di autosoluzioni a coefficienti dipendenti dal tempo: questi si ricavano risolvendo analiticamente delle equazioni differenziali ordinarie. Si elimina cosi la necessità di procedere passo passo nel tempo analogamente ai classici metodi armonici di soluzione di sistemi lineari. Riassumendo, l'applicazione del metodo riconduce alla soluzione di un problema stazionario (determinazione di autovalori ed autosoluzione del problema ellittico) e quindi al calcolo dei vari integrali necessari per la determinazione dei coefficienti temporali. Il metodo è stato provato nel caso semplice della propagazione di onde di marea in un canale di lunghezza finita e sezione costante. Per questo esempio i vari passi di calcolo possono essere svolti analiticamente. I risultati sono stati confrontati con quelli ottenuti dalla integrazione numerica delle equazioni col metodo delle caratteristiche, ottenendo un buon accordo.

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Work sponsored by the CNR (National Research Council) in the framework of Project ?Conservazione del suolo? Subproject ?Dinamica dei Litorali? Publ. n° 46.     

A quasi-elastoplastic rate-sensitive model for the yielding behaviour

Summary The authors present a mathematical model describing the typical behaviour of metallic materials at room temperature. The model is composed of parallel-connected elements, each following a highly nonlinear viscoelastic law, close to the elastoplastic limit.The constitutive law is generalized in a differential form suited for electronic processing together with the usual programs for nonlinear structural analysis, based on the displacement method and on step-by-step integration.The characteristic parameters of the material are obtained from an experimental, constant strain-rate, stress-strain diagram and from a simple relaxation test.The model reproduces the experimental curves and shows the strain-rate sensitivity, flow under constant load, relaxation, Bauschinger effect and return delay after unloading. A first confirmation of the model effectiveness is documented by bending tests on copper strips.

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Sommario Viene presentato un modello matematico atto a descrivere il tipico comportamento duttile dei materiali metallici nelle condizoni di temperatura ordinaria.Il modello, di tipo composito, è ottenuto connettendo in parallelo più elementi viscoelastici altamente nonlineari, prossimi al limite di perfetta elasto-plasticità.La legge costitutiva viene generalizzata in veste adatta all'implementazione su elaboratore elettronico con i programmi d'analisi non lineare delle strutture che siano fondati sul metodo delle deformazioni e sull'integrazione passo a passo. I parametri caratterizzanti il materiale si deducono agevolmente dal diagramma sperimentale sforzi-deformazioni ottenuto a velocità di deformazione costante e da una semplice prova di rilassamento.Il modello riproduce le curve sperimentali mettendo in evidenza la sensibilità alla velocità di deformazione, lo scorrimento a carico costante, il rilassamento, l'effetto Bauschinger e il ritardo del ritorno dopo lo scarico.Una prima conferma sperimentale della validità del modello viene documentata da prove di flessione eseguite su piattine di rame.

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A first version of this paper was presented at the 6th National A.I.M.E.T.A. Congress, held at Genoa, October 7–9, 1982.     

Optimum plastic design for multiple sets of loads

Summary We study optimum plastic design of structures made up, or conceived as assemblies of finite elements, each having an elemental piece-wise linear rigid-plastic behaviour. Since cost function linearly dependent on design variables are considered, optimization problems in linear programming are encountered. Allowance is made for design dependent mass forces, and for some technological constraints. The design growing process is studied in the case of various sets of alternative applied loads, and the optimality conditions are written in a proper geometrical form which leads to a generalization of the concept of Foulkes mechanism.

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Sommario Si studia il progetto plastico ottimale di strutture formate di elementi finiti, ciascuno avente un comportamento globale rigido-plastico linearizzato a tratti. Si considerano funzioni costo dipendenti linearmente dalle variabili di progetto, e pertanto si va incontro a problemi di ottimizzazione nell'ambito della programmazione lineare. Tenendo conto delle forze di massa e di eventuali vincoli tecnologici, viene analizzato il processo di crescita del progetto nel caso in cui la struttura è sottoposta a diversi sistemi alternativi di carichi, e si scrivono le condizioni di ottimalità in una appropriata forma geometrica, la quale conduce a una generalizzazione del concetto di meccanismo di Foulkes.

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Capital bold-face letters are matrices, small bold-face letters are vectors. 0 is a vector having only zero entries. The tilde posed upon a vector or a matrix means “traspose of”. Other meanings are:     

A news procedure for experimental analysis of the post-buckling behaviour of structures by models

Summary By means of an examination of the common procedures for the analysis by models of the post-buckling behaviour of structures (in particular, framed) it is shown how these may not always be suitable, above all if we wish to extend the scanty field so far explored. On the other hand, to reach a final analytical formulation of this subject, experimental knowledge must definitely be improved.The proposed new experimental procedure aims at the solution of these problems and, in particular, at precision and reliability of measurements in the field of unstable branches.The first applications of our equipment seem to confirm that such aims have been reached.

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Sommario Attraverso un esame delle comuni metodologie di indagine, mediante modelli, del comportamento postcritico delle strutture (intelaiate, in particolare), viene mostrato come queste non sempre possono risultare idonee allo scopo, soprattutto se si volesse ampliare il limitato campo d'osservazione sin'ora esplorato. D'altro canto, per giungere ad una definitiva messa a punto della formulazione analitica dell'argomento occorre migliorare decisamente le conoscenze sperimentali al riguardo.La nuova metodologia sperimentale proposta è volta alla soluzione di tali problemi, riguardanti, in particolare, la precisione e la sicurezza di misura nel campo dei rami instabili.Le prime appliczaioni eseguite con l'apparecchiatura da noi messa a punto sembrano confermare come tali obiettivi siano stati raggiunti.

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Work carried out under grant of the C.N.R.     

Minimum weight limit design under uncertainty

Summary The problem of probabilistic minimum weight limit design is formulated as a stochastic programming problem. The theoretical treatment considers monodimensional structures, geometrical parameters and integer design variables. An algorithm is proposed and illustrated for the case of pin-jointed structures with two random continuous variables. The paper follows previous researches of the Authors in the field of probabilistic approach to structural safety [29 ÷ 33].

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Sommario Il problema della progettazione a rottura per minimo peso su basi probabilistiche viene formulato quale problema di programmazione stocastica. La trattazione teorica si estende alle strutture monodimensionali, comprende variabili di tipo geometrico nonchè variabili intere: l'algoritmo proposto ed illustrato per la risoluzione numerica riguarda le strutture reticolari interessate da due variabili casuali continue. Il lavoro fa seguito a precedenti ricerche degli scriventi in tema di concezione probabilistica della sicurezza [29 ÷ 33].

     

Modelling the dynamics of large block structures

This paper summarizes the main critical points that arise when the problem of modelling the dynamics of block structures is tackled. In the first sections, a rigorous formulation of dynamics and impact problem is presented for a single rigid block freely supported on rigid ground, in order to illustrate the basic difficulties concerning the modelling of more complicated structures. Then, a critical review is presented on the numerous researches performed on this subject and the results achieved, and the problems still open, are put in evidence.

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Sommario In questo lavoro, si illustrano i punti salienti e critici che devono essere affrontati nella modellazione del comportamento dinamico di structture costituite da grandi blocchi assemblati a secco. Nei primi paragrafi, viene presentato e discusso il problema generale della dinamica e dell' urto del blocco singolo semplicemente appoggiato su suolo rigido: è questa la base necessaria per affrontare in modo rigoroso la modellazione di strutture più complesse. Viene quindi presentata una rassegna critica di vari modelli proposti in letteratura, evidenziando i problemi risolti e quelli ancora aperti.

     

Theoretical studies on heterogeneous deflagration Waves. 2. An approximate ordinary differential equation formulation of the problem

Summary This is the second of a three — part theoretical study on heterogeneous deflagration wave propagation. The theory is of a general nature; but specific reference to a composite solid rocket propellant is made. The ultimate objective of this line of research is to define conditions for statically and dynamically stable deflagration propagation. In the first paper, a quite general model of the problem in terms of a partial differential equation was shown. In this second paper, a transformation of the mathematical problem into an ordinary differential equation is performed. A flame model is used for the gas phase. The important assumptions made are: quasi-steady gas phase, optically opaque condensed phase; collapsed burning surface layer and constant ambient temperature. Under these assumptions, it is found that the dynamics of a deflagrating substance is governed by a nonlinear first order (approximate) ordinary differential equation in the unknown surface temperature history. From this, the stability features of heterogeneous deflagration waves are immediately defined (last part of the study). The theory is verified by computer and experimental work, presently under progress.

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Sommario Questa è la seconda di una serie di tre memorie dedicate all'analisi teorica della propagazione di onde eterogenee di deflagrazione. La teoria è di natura generale, ma per concretezza viene applicata al caso specifico di un propellente solido composito per endoreattori. Lo scopo finale della ricerca è di definire le condizioni necessarie per la stabilità statica e dinamica della propagazione di onde eterogenee di deflagrazione. Nella prima memoria è stato rivisto un modello abbastanza generale del problema basato su di una equazione differenziale alle derivate parziali. In questa seconda memoria il problema matematico è riformulato in termini di una equazione differenziale ordinaria. La fase gassosa è trattata secondo un modello di fiamma. Le ipotesi più importanti riguardano la fase gassosa quasi-stazionaria, la fase condensata otticamente opaca, lo strato reagente superficiale di spessore nullo e la temperatura ambiente costante. Sotto queste ipotesi si trova che la dinamica di una deflagrazione è retta da una equazione (approssimata) differenziale ordinaria nonlineare del primo ordine che descrive la storia della temperatura di superficie. Tale equazione permette di definire immediatamente le proprietà di stabilità di onde eterogenee di deflagrazione (terza memoria). Sono in corso di svolgimento le verifiche numeriche e sperimentali della teoria proposta.

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Support by CNPM (Centro di Studio per Ricerche sulla Propulsione e sull'Energetica) is gratefully aknowledged.     

The influence of measurement errors on the determination of the degrees of freedom of dynamic systems

We consider the influence of measurement errors on the experimental calculation of dimensions of possible turbulent flow attractors. For this purpose we considered a Gaussian noise and we carried out some tests showing the existence of a lower limit below which the operational definition of dimension is not reliable.

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Sommario In questo lavoro viene presentata una valutazione della influenza degli errori di misura sulla determinazione sperimentale delle dimensioni di eventuali attrattori di deflussi turbolenti. A tale scopo si considera un rumore Gaussiano. I test effettuati permettono di definire l'esistenza di un minimo al di sotto del quale la definizione operativa di dimensione formisce valori non attendibili.

     

The diffraction of a plane wave by an isolated breakwater

Summary The diffraction of a plane wave incident on an isolated breakwater is here studied: the exact solution of the problem is briefly reported and a general method involving energies is used to determine comparative importance of the terms of the series which appear in the solution, which becomes of much greater facility in use in practical problems. Numerical calculations have been carried out for twelve different cases, with the wavelength of the incident wave comparable to the length of the breakwater. Results are graphically shown in a set of tables.

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Sommario Si studia la diffrazione di un'onda piana che investe una diga foranea isolata: si riporta brevemente la soluzione esatta del problema e si utilizza un metodo energetico generale per la determinazione dei pesi relativi dei termini delle serie che compaiono nella soluzione, che viene resa di molto più semplice impiego per i problemi pratici. Si sono effettuati calcoli numerici relativi a dodici casi diversi, con lunghezze d'onda incidente paragonabili alla lunghezza della diga. I risultati sono stati tradotti graficamente in una serie di tavole.

     

A priori bounds for the plastic dissipation of elastic-plastic oscillators

Summary The possibility of enlarging the definition of collapse of elastic-plastic structures to include dynamic problems is first examined. It is concluded that the most satisfactory definition is the one given in terms of plastic dissipation. The simple case of a single-degree of freedom oscillator is then studied in detail. After giving some upper bounds for the dissipation with the aid of suitable a priori inequalities, a typical property of stability of the solution is employed to obtain a fairly severe bracketing of velocities throughout the motion. A numerical example, taken from a problem of seismic design, shows that the latter result leads to further improvements in majorizing the plastic dissipation.

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Sommario Si studia aapprima l'estensione della definizione di collasso di una struttura elastoplastica ai problemi di tipo dinamico, concludendo che la miglior caratterizzazione é quella in termini di dissipazione plastica. Si passa poi a considerare il caso di un oscillatore a un grado di libertà, per cui si calcolano limitazioni superiori della dissipazione ricorrendo a opportune diseguaglianze a priori. Utilizzando inoltre una proprietà di stabilità della soluzione, tipica dei problemi di Plasticità, si riescono a dare strette limitazioni per la velocità. Come mostrato da un esempio numerico tratto da un problema sismico, esse conducono anche ad una più accurata delimitazione della dissipazione plastica.

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This research was supported in part by the C.N.R., Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica e per le Applicazioni della Matematica alla Fisica e all'Ingegneria.     

Regular and singular elastic-plastic solutions to the cracked half-space under anti-plane shear

Summary A classical problem first investigated by Bilby, Cottrell and Swinden is re-examined from the point of view of uniqueness. By formulating the problem in the stress (hodograph) plane it is possible to construct an entire class of singular solutions in a simple closed form. The length of the plastic zone is of arbitrary length. Sufficient conditions are presented which are used to establish a uniqueness theorem. Singular solutions are ruled out if the behaviour of the second order stress terms are prescribed at infinity or if the potential function in the stress plane is required to be bounded.

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Sommario Si riesamina dal punto di vista della unicità un classico problema studiato per la prima volta da Bilby, Cottrell e Swinden. Formulando il problema nel piano delle sollecitazioni (odografo) è possibile costruire un'intera classe di soluzioni singolari in una forma chiusa semplice. La lunghezza della zona plastica è arbitraria. Si presentano condizioni sufficienti che vengono usate per stabilire il teorema di unicità. Soluzioni singolari vengono escluse se si prescrive il comportamento all'infinito dei termini di sollecitazioni di secondo ordine o se si richiede che la funzione potenziale nel piano delle sollecitazioni sia limitata.

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This investigation was partially supported by the National Research Council of Canada.     

Buckling of a cylindrical shell subject to a wrench

We examine the axisymmetric buckling of a generalized Kirchhoff cylindrical shell under an axial wrench. If the shell is non-linear elastic, we provide a boundary value problem amenable to the bifurcation theory of Poincaré. Using this theory we prove a non-uniqueness theorem and obtain the critical loads and critical states. In the hyperelastic case, by exploiting the variational character of the problem, a global existence and non-uniqueness theorem is also proved.

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Sommario Viene esaminato un problema di buckling per un guscio cilindrico, del tipo di Kirchhoff generalizzato, sotto un carico ai bordi di trazione-torsione. Nel caso elastico non lineare, si perviene ad un problema ai valori al contorno, cui si può applicare la teoria delle biforcazioni di Poincaré. In tal modo si dimostra un teorema di non unicità della soluzione e si ottengono i punti di biforcazione e i carichi critici. Nel caso iperclastico, facendo ricorso all'aspetto variazionale del problema, viene dimostrato un teorema globale di esistenza e non unicità della soluzione.

     

On the theory of emersion and impulse waves. A rigorous solution,with finite energy,of the cauchy-poisson problem

Summary In this note a rigorous solution of Cauchy and Poisson problem is reached for the case of irrotational flow of a perfect fluid with initial elevation having a finite energy. The problem is solved both in the plane surface case, in which the solution can be given in the form of known trascendentes, and in the case of axial simmetry, in which the solution is obtained by means of rapidly converging series infolds.The Cauchy and Poisson solution in the case of wave motion, both in the plane form and with axial simmetry, is reported shortly and it is noted that such solution, which has been reached through different methods by other researchers[6] cannot be considered satisfactory from a physical point of view, as the developed scheme involves an initial disturbance of finite volume and infinite height and consequently containing an infinite potential energy.It is demonstrated how one can reach a rigorous solution of the problem regarding progressive surface waves at an infinite depth, when the original elevation, restricted to the spot near the × origin, has a finite volume, height and consequently also potential energy, so that any incongruity from a physical point of view is let out of the solution.The side problem of determining the wave resulting from application of an impulse evenly distributed on the whole undisturbed surface is not a very interesting one, as it is included in the class of problems involving an initial infinite energy.

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Sommario In questa nota si giunge ad una soluzione rigorosa del problema di Cauchy e Poisson, per il caso di moto irrotazionale di fluido perfetto, con intumescenza iniziale avente energia finita. Il problema viene risolto sia nel caso piano, in cui si può esprimere la soluzione a mezzo di trascendenti note, sia nel caso a simmetria centrale, in cui si ottiene la soluzione a mezzo di sviluppi in serie rapidamente convergenti.Si riporta brevemente la soluzione di Cauchy e Poisson nel caso di moto ondoso, sia piano che a simmetria centrale e si nota che tale soluzione, ritrovata per altra via anche da altri ricercatori[6] non è soddisfacente dal punto di vista fisico, in quanto lo schema fatto è quello di una perturbazione iniziale di volume finito e di altezza infinita e quindi dotata di energia potenziale infinita.Si dimostra come si possa giungere ad una soluzione rigorosa del problema delle onde progressive superficiali in profondità infinita, quando l'intumescenza originale, confinata in prossimità dell'origine delle × abbia volume, altezza e quindi anche energia potenziale finita, in modo che ogni incongruità dal punto di vista fisico della soluzione venga a cadere.Il problema complementare, di determinare cioè l'onda risultante dall'applicazione di un impulso distribuito uniformemente sulla superficie in quiete, non è di grande interesse, perchè rientra nella categoria dei problemi con energia iniziale infinita.