数学史视角下等比数列前n项和公式的推导

<正>1.引言德国数学家F·克莱因(F.Klein)指出:"科学的教学方法只是诱导人去科学的思考,并不是一开头就教人去触碰冷漠的、经过科学洗练的系统".在等比数列前n项和公式推导的学习中,不少同学觉得错位相减法具有较强的技巧性,有着不知如何想到的困惑?也有着是否还有其他推导方法的疑问?数学史能给我们些许启迪,数学史中蕴含着数学问题发生、发展的历史,记载了数学内容、思想和方法的演变过程.笔者通过查阅数学史料,将一些思考分享给读者.     

等比数列前n项和公式推导的思考与证明

先看实验教科书《数学5》关于《等比数列的前n项和》的推导过程,对于等比数列的前n项和Sn=a1＋a2＋a3＋…＋an。根据等比数列的通项公式可写成：     

23 等比数列的前n项和的公式

２３等比数列的前ｎ项和的公式４６５２２４河南固始县分水高中许少华７４１３００甘肃毛纺织厂教研室赵军５２４５００广东吴川市第二中学孙罗超（本栏特邀过伯祥老师主持，稿件请寄：３１６００４浙江舟山师专）本设计遵循如下模式：从最简单情形开始──要求Ｓｎ，先求...     

等比数列前n项和公式推导的常用方法

数列求和的一个基本目标是 :减少项数 ,化成简单形式 ,便于求出结果 .同样等比数列求和也应按上述目标来实现 .怎样才能实现上述目标 ?应紧紧抓住等比数列的本身特点和规律 .方法 1　抓住等比数列的定义 ,联想等比定理 .设等比数列 {ａｎ}的首项为ａ1,公比为 ｑ ,由等比数列定义知 :ａ2ａ1=ａ3ａ2=ａ4 ａ3=… =ａｎａｎ- 1=ｑ(ｎ≥ 2 ) ,当 ｑ≠ - 1时 ,根据比例性质得 :ａ2 +ａ3+ａ4 +… +ａｎａ1+ａ2 +ａ3+… +ａｎ- 1=ｑ ,即　 Ｓｎ-ａ1Ｓｎ-ａｎ=ｑ ,∴ (1- ｑ)Ｓｎ=ａ1-ａｎｑ(ｎ≥ 2 ) ,当 ｑ =- 1时 ,上式也成立 .∴Ｓｎ=ｎａ1　　 (…     

等比数列前n项和的公式的一种推导

数学中的一些美好的发现,往往来自一些重要的关系,而这些关系又是由某一非常简单的事实建立起来的。例如,考察等式 1=1/(1-q)-q/(1-q)(q≠1) (1)我们就可以导出等比数列前n项的和     

等比数列前n项和公式的七种推导方法

［题目］　在等比数列｛ａｎ｝中,已知首项ａ１和公比ｑ,求前ｎ项和Ｓｎ．［方法１］——先让学生演算Ｓ１,Ｓ２,Ｓ３,Ｓ４,然后启发学生猜想结论,让学生在探索过程中发现公式,培养学生的探索精神．当ｑ≠１时,Ｓ１＝ａ１＝ａ１（１－ｑ）１－ｑＳ２＝ａ１＋ａ１ｑ＝ａ１（１－ｑ）１－ｑ（１＋ｑ）＝ａ１（１－ｑ２）１－ｑＳ３＝ａ１＋ａ１ｑ＋ａ１ｑ２＝ａ１（１－ｑ２）１－ｑ＋ａ１ｑ２（１－ｑ）１－ｑ＝ａ１（１－ｑ３）１－ｑＳ４＝ａ１＋ａ１ｑ＋ａ１ｑ２＋ａ１ｑ３＝ａ１（１－ｑ３）１－ｑ＋ａ１ｑ３（１－ｑ）１－ｑ＝…     

“等比数列前n项和公式”PCK分析研究

“等比数列前n项和公式”是高中数学教学的重点内容,它既是大多数教师认为的教学难点,也是大多数学生认定的学习难点,学生对“等比数列前n项和公式”的推导、理解、记忆及应用都存在一些困难.笔者利用PCK分析的方法,对“等比数列前n项和公式”教学中涉及的数学学科知识、课程和教材知识、学生学习过程中的经验和困难、教师的教学策略等进行分析,旨在突破难点.     

等比数列前n项和的教学设计

这是浙江省2005年高中数学课堂教学评比与观摩活动中的一节展示课,执教者尚俊获得了一等奖.课例给我们在新课程理念下如何进一步优化高中数学课堂教学提供了丰富的讨论内容,本文是在此基础上对这节课的重新设计.1.教学课题人民教育出版社出版的全日制普通高级中学教科书(必修)《数学》第一册(上),第三章第五节“等比数列的前n项和”第一课时.2.教学对象浙江省衢州二中(省一级重点)3.设计要点本教案在挖掘教材中的创新因素和蕴涵的数学思想方法的基础上,以“设景—切入—探索—应用—反思”为基本教学过程,通过揭示知识的发现和发生过程,使学…     

等比数列的前n项和公式的四种推导方法及拓展

等比数列的前n项和公式是学习等比数列知识中的重点内容之一,其公式本身不仅蕴涵着分类讨论的方法,而且给出了一类特殊数列前n项和的求解方法——错位相减法.本文变换视野、转换思维,从不同的角度加以推导和拓展,以加深对公式的理解与应用,希望能起到抛砖引玉的效果.一般地,设等     

高阶差等比数列的通项与前n项的和

通过对某一数列应用逐差法,使得若干阶差后得到一等比数列.该数列又称为高阶差等比数列.本文仅研究讨论高阶差等比数列的通项及前n项和的公式,并由该数列的特点得到规律性计算公式,从而解决了高阶差等比数列的通项及前n项求和问题.     

等比数列的前n项和在不等式中的应用

｛｝是以ｑ为公比的等比数列，若ｑ≠１则Ｓｎ＝ａ１（１－ｑｎ）１－ｑ＝ａ１１－ｑ－ａ１１－ｑｑｎ，即Ｓｎ是含有以ｑ为底数的指数式的代数式，反之由一个指数式ｑｎ（ｎ∈Ｎ）可联想到可与一个等比数列的和有关．为此我们可应用它来证明不等式，并且还可以把一些不等...     

我是这样得到等比数列前n项和的

在学习等比数列前n项和时,老师首先给我们讲了一个有关国际象棋的小故事,并由此引入课题,然后放手让我们自主去探求等比数列前n项和公式．我首先将小故事里指出的问题抽象为一个求和的问题：S=2^0＋2^1＋2＋…＋2^63．     

r阶差等比数列的通项与前n项的和

本文将低阶差等比数列的通项及前n项和的计算公式推广到高阶.     

让学生建构自己的理解——以等比数列前n项和公式推导为例

学生的学习一般都是基于已有的知识和经验,从已有的思维出发,通过发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的学习过程,抽象概念、形成公式、产生结论、感悟思想方法,建构知识的意义与价值.笔者认为,要将静态的知识变成学生头脑中“活”的知识.     

一类特殊数列的前n项和公式

一类特殊数列的前ｎ项和公式唐兴国（云南省红河州民族中专６５４３００）有一类特殊数列，其通项是ｒ个依次递增的因子之积或积的倒数．下面给出其中的几个数列的前ｎ项和公式及其证明，供大家参考．在下面的公式中，统一用ａ（ｎ，ｒ）表示数列的通项．用表示数列的前ｎ...     

等差数列前n项和公式的变式

若数列{an}是公差为d,首项为a1的等差数列,则其前n项和公式为:S=na1+n(n-1)/2d. 变式一 Sn=d/2n2+(a1-d/2)n. 看到这一变式,同学们容易想到学过的二次函数f(x)=ax2+bx(a≠0),它的图像是一条抛物线.因此,等差数列中的前n项和Sn及项数n构成的有序数对(n,Sn)在同一条抛物线上,是该抛物线上的一群孤立的点. 变式二 Sn/n=d/2n+(a1-d/2). 看到这一变式,同学们应该容易想到学过     

数列a_n=n(n+1)前n项和公式的三种推导方法

<正>在《数列》教学过程中,很多学生对数列a_n=n(n+1)前n项和公式S_n=n(n+1)(n+2)/3比较陌生,为了让学生在了解课本知识的基础上有所拓展,本文特总结了3种证明方法,以期为学生解决疑惑,起到举一反三的效果.证法1∵a_n=n(n+1)=n~2+n,     

数学史视角下均值不等式的证明

<正>1引言数学发展的历史告诉我们,数学中许多概念、公式、法则在产生之初都是以直观形式呈现,经过上千年的发展和完善,才有了教科书中系统化的形式．今天,就让我们一起来看看历史上均值不等式的一些证明方法．2均值不等式的代数证明均值不等式是高中数学的重要内容之一,在中学数学课程中占有十分重要的地位,     

核心素养视角下高中数学探究式教学——以《等比数列前n项和》为例

当前高中数学课堂教学还存在很多问题,学生缺乏探索知识的能力,缺乏一定的钻研精神,有些数学教师已经采用一些新的方法,不过教师的方式与讲的内容结合的不是很恰当,还有部分教师教学形式老旧,无法有效锻炼学生的思维,不能很好促进学生的发展,没有做到让学生真正学会学习.新课标中提到学生的自主学习能力是要重点培养的,所以教师要一直探索适当的教学形式,以提高课堂教学效率,提高学生的综合能力.探究式教学方式把课堂真正还给学生,使学生积极参与课堂.本文以探究等比数列前n项和的公式推导为例,阐述探究式教学对促进学生思维发展、提高课堂教学效率的重要意义.