引入参数证明不等式

引入参数证明不等式,思路明确,有章可循,是证明不等式的一种重要方法．尤其对不等式取上、下界时,各变元的取值不相等的问题,参数法更显奇效．下面举例说明之．例１　已知正数ａ、ｂ、ｃ,满足ａ＋ｂ＋ｃ＝３,求证：　４ａ＋１＋４ｂ＋１＋４ｃ＋１＞２＋１３．证明　∵　０＜ａ＜３,　∴　ａ２＜３ａ．令　４ａ＋１＝３ｘ２ａ＋２ｘａ＋１　＞ｘ２ａ２＋２ｘａ＋１＝（ｘａ＋１）２　（ｘ＞０）由　　　３ｘ２＋２ｘ＝４,解得　ｘ＝１３－１３　（负值已舍去）,∴　４ａ＋１＞１３－１３ａ＋１．同理有　４ｂ＋１＞１３－１３ｂ＋…     

引入参数证明不等式

,有些不等式的证明,可以巧妙地引入参数,构造一个参数不等式,使参数在不等式证明过程中起到一个桥梁作用. 例l已知a、b、e任R+,且a+b+c=1,求证:抓而雨万十石丽石十了而萍下“了下.诬明设‘>.,构造不等式如下::了丽石干1=石勿币滓万、.声、声.舀..矛.、了、,l,_。._‘气二r气r十1加十1, 乙同理‘了〔丽干万《喜伊+:sb+:).,一一’-一’一~生、一’-一’一‘ ,_、.。,l,J.__ ‘了l刀C州卜l版如二.气r,.1习亡十l, 乙 (1)+(:)+(3)得.‘(刀画不I+了丽石干1.+了1茱落万)(3) ‘备,+‘当且仅当‘“(4)Z瓦翻万二石丽干面. .了了‘,.、一~.。』.一丫…     

用参数法证条件不等式

已知条件为。 b一,(川为常数),可我(l’J的方法证明:设。=要十‘,b二 ‘答一‘(‘乙为参数). 例l已知。,b任衬且“ b~2,求证。‘十b4)2. 证明令a=一 t,b=一t,(t任I亡) 则a‘ b‘=(l t)‘ (I一t)‘ =2十1 2t2十2t4)2. 用与上面同样的设法我们还可证明:当“ b=2时,有。· 乙.)2二 例2已知。>0,b>0,且。 b一l;令一告十‘,“一合一‘,·:。>。,。>。,.…‘.<音压十沁一俪 俪 一了(了不石十勺不巧)2 一丫2 :丫、二了(召万干酉一:例3已知a)0,b)0且。 b一l,求证:抓厕 压、2.冬毛“2 。2毛,‘ 本题可用三角代换法证明,但较繁,仍用·20·证明令。一…     

引入参数利用等号成立的条件证明不等式

文［１］,［２］把欲证不等式引入参数后,使问题转化为求关于参数函数的最值问题．本文给出另一种方法,即对欲证不等式引入参数后,利用均值不等式及其取等号的条件来证明．这种方法的思路自然,操作简便,应用广泛．下面举例说明．例１设ｐ,ｑ∈Ｒ＋,且ｐ３＋ｑ３＝...     

巧证不等式

题目 已知a,b∈R＋,且a＋b=1,求证：a^n＋b^n≥（1/2）^n-1（n∈N^n）．     

构造函数证不等式

构造函数证不等式贵州省普定县教育局教研室廖炳江等式成立）．从上二例可以看出，一些不等式的证明题，我们若能根据它的条件和结论，结合判别式的构造特点，灵巧地设出二次函数ｆ（ｘ）＝（ａ１ｘ－ｂ１）＋（ａ１ｘ—ｂ２）２＋…＋（ａｎｘ—ｂｎ）２中的ａ１，ａ２，...     

巧用柯西不等式证不等式竞赛题

设ai,bi∈R(i=1,2,…,n),则(a12 a22 … a2n)(b12 b22 … b2n)≥(a1b1 a2b2 … anbn)2(1)当且仅当且bi=λai(i=1,2,…,n)时,(1)式取等号.这就是著名的柯西不等式,它还有如下等价形式:设ai,bi>0(i=1,2,…,n),则a12b1 ab222 … ban2n>(ab11 ab22 …… abnn)2(2)当且仅当且ab11     

巧用柯西不等式证不等式竞赛题

设ai&;#183;bi∈R（i=1,2,…,n）则（a1^2＋a2^2＋…＋an^2）（b1^2＋b2^2＋…＋bn^2）≥（a1b1＋a2b2＋…＋anbn）^2.     

巧证几何不等式

<正>在△ABC中,D、E分别为边BC和CA上的点,T是DE上的点,S_1、S_2、S分别表示△ADE、△BDT、△ABC的面积,则(S_1/S)^(1/3)+(S_2/S)(1/3)+(S_2/S)^(1/3)≤1.     

别证一个不等式

<正>贵刊2013年7月(下)课外练习题初三年级第3题是:设a、b、c为△ABC的三边长,S为面积,则a2+b2+c2≥43～1/2S(1)此题是安徽的王秉春老师提供的,其答案给出的证法很是巧妙,但学生不易想到.笔者再给出另一种学生较易想到的证法.证明设p=1/2(a+b+c),由秦九韶—海     

巧用三角形证不等式

巧用三角形证不等式熊佩英（湖南益阳财税学校４１３０５４）很多不等式与三角形有着直接或间接的联系，如能想到这一点．往往能收到事半功倍之效．例１正数ａ，ｂ，ｃ，Ａ，Ｂ，Ｃ，满足ａ＋Ａ＝ｂ＋Ｂ＝ｃ＋Ｃ＝ｋ，求证ａＢ＋ｂＣ＋ｃＡ＜ｋ２．（图１）证明构造图形如...     

判别式法证不等式

含有两个或两个以上字母的不等式,在使用公式进行比较无效时,若能整理成一边为零,而另一边为某字母的二次式,可考虑用判别式法．一、先构造方程,再使用判别式例1若x2 y2=1,求证:|y-ax|≤(1 a2)~(1/2)．分析设x=y-ax,则y=ax x,代入x2 y2=1,得x2 (ax z)2=1,     

放缩法证不等式

放缩法并不神秘,不等式证明中,常常巧用放缩法,予以简捷妙证.例1 设a,b∈R+,且a+b=1,则有人惊喜地发现, 满足勾股定理,因此可构成直角三角形为两     

简证一道不等式

简证一道不等式４１１５０１湖南双峰二中胡如松此题一般是构造一个长方体来证明．下面我们给出它的一种简单的代救证法．简证一道不等式@胡如松$湖南双峰二中...     

应用均值不等式的推广证不等式

文[1]用列表法证明了算术——几何平均数不等式的推广．本文应用均值不等式的推广证明一些不等式．为了阅读方便，将均值不等式的推广择录如下：     

图解法证不等式例举

用代数法证不等式有时是相当麻烦的,回头从几何的角度考虑,有时却显得非常简易,甚至能一望而解。这里的关键问题是如何将有关的代数式视作相应的几何量。本文试从以下几个方面来探索。     

向量巧证不等式

在不等式证明中 ,若能根据其结构特点 ,构造向量 ,运用向量的数量积知识 ,则可使问题得到出其不意地解决 .例 1　已知ａ、ｂ、ｃ、ｄ∈Ｒ ,求证 :(ａｃ+ｂｄ) 2 ≤ (ａ2 +ｂ2 ) (ｃ2 +ｄ2 ) .证明　构造向量ｍ—→ =(ａ ,ｂ) ,ｎ—→=(ｃ ,ｄ) ,设ｍ—→ 与ｎ—→ 的夹角为θ ( 0≤θ≤π) ,则　ｍ—→·ｎ—→ =ａｃ +ｂｄ ,　 |ｍ—→| =ａ2 +ｂ2 ,　　 |ｎ—→| =ｃ2 +ｄ2 ,∵　ｍ—→·ｎ—→ =|ｍ—→|·|ｎ—→|ｃｏｓθ≤ |ｍ—→|·|ｎ—→| ,∴　 (ａｃ+ｂｄ) 2 ≤ (ａ2 +ｂ2 ) (ｃ2 +ｄ2 ) .例 2　设ｘ ,ｙ∈Ｒ+ ,且ｘ + ｙ =1 ,…     

代数替换证不等式

证不等式,技巧性很强。用三角代换法者屡见不鲜。但若另辟蹊径,巧用本文中的代数代换,又可别开生面,另有一番情趣。例1 已知a,b∈R求证a~2+ab+b~2-3a-3b+3≥0 证明令x=1/2(a+b), y=1/2(a-b), 则a=x+y, b=x-y,于是原式左边=(x+y)~2+(x~2-y~2)十(x-y)~2 -3〔(x+y)+(x-y)〕+3=3x~2+y~2-6x+3=3(x-1)~2+y~2≥0。例2 已知a,b∈R~+,求证(当且仅当c=b时,取等号)。证明:令x=1/2(a+b),y=1/2(a-b),则a=x     

巧用向量证不等式

向量作为一种重要的数学工具,在处理有关几何、不等式等问题中能起到化繁为简、化难为易的效果.特别是对含有乘积之和或乘方之和的不等式,根据向量性质可给出简捷明快的证法. 例1 求证(a21十a22)(b21+b22) ≥(a1b1+a2b2)2.     

巧证一道不等式

设A,B,C为任意三角形的三个内角,对于任意实数x,y,z.求证: x2 y2 z2≥2xycosA 2yzcosB 2xzcosC. 该不等式是研究三角形的一种独特而有力的工具-"母"不等式,其证明通常是构造二次函数来证,本文给出一种新颖的向量证法.