Die querversteiften zylindrischen Schalengewölbe mit kreissegmentförmigem Querschnitt

Schluß Die vorliegende Theorie der Zylinderschale ist aus dem praktischen Bedürfnis heraus entstanden, für die Konstruktion von Schalengewölben, die nach dem Ergebnis von Modellversuchen möglich und aussichtsreich erschien, eine sichere wissenschaftliche Grundlage zu schaffen. Auf ihr aufbauend sind zahlreiche bedeutende Bauwerke entstanden, welche an anderem Ort beschrieben worden sind.Diese Arbeit wurde in ähnlicher Form am 15. 1. 1930 für das Preisausschreiben der Preuß. Akademie des Bauwesens eingereicht und mit dem 2. Preis ausgezeichnet.     

Die kreisförmige Tragfläche auf potentialtheoretischer Grundlage

Ohne ZusammenfassungDissertation von der Universität Göttingen; Berichter: Prof. Dr.L. Prandtl. Maschinenschriftliche Exemplare (mit einigen ausführlicheren Zwischenrechnungen und Integralanhang) sind erhältlich in der Staatsbibliothek Berlin, der Universitätsbibliothek Göttingen und im Kaiser Wilhelm-Institut für Strömungsforschung Göttingen. - Ein Vortragsauszug der Dissertation ist bereits in der Z. angew. Math. Mech. 16 (1936) S. 349 erschienen.     

Biegetheorie der Rotationsschale mit flacher,kreisförmiger Erzeugender

Zusammenfassung Bei der Auflösung der Gleichungssysteme von doppelt gekrümmten Schalen treten im allgemeinen so große mathematische Schwierigkeiten auf, daß eine Berechnung der Schnittkräfte nicht möglich ist. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, daß bei Einführung einiger Näherungen der Spannungszustand einer Rotationsschale mit flacher, kreisförmiger Erzeugender ermittelt werden kann. Sowohl bei der Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen als auch beim Elastizitätsgesetz werden in allen Gleichungen diejenigen Glieder, die die Schalenstärke enthalten, vernachlässigt, soweit sie neben anderen Gliedern vorkommen. Diese Näherung ist nicht gröber als die schon seit jeher bei Schalenberechnungen eingeführten Vereinfachungen des Elastizitätsgesetzes. Bei flachen Schalen können in den Gleichungen weitere Glieder vernachlässigt werden, und es gelingt, das Problem auf zwei homogene partielle Differentialgleichungen vierter Ordnung mit konstanten Koeffizienten für eine Spannungsfunktion und die Normalenverschiebung w zurückzuführen. Die charakteristische Gleichung wird für eine beliebige anisotrope Schale angegeben. Für die Sonderfälle der isotropen Schale und der in der Rotationsrichtung durch Rippen verstärkten Schale können die Wurzeln der charakteristischen Gleichung als einfache Ausdrücke geschrieben werden. Die Schnittkräfte und Verschiebungen der Schale werden aus einer Spannungsfunktion und der Normalenverschiebung berechnet.     

Die Stabilität der Kreiszylinderschale

Ohne ZusammenfassungErweiterte Göttinger Habilitationsschrift.     

Die Auswölbungen der Kreisringmembran unter hydrostatischem Druck

Ohne ZusammenfassungMeinem verehrten Kollegen, Herrn Prof. Dr. Alwin Walther, zum 60. Geburtstag gewidmet.Der Verf. wurde bei der Zeichnung der Abbildungen und bei der Berechnung der Tabellen von Herrn Dipl.-Ing. K. E. Meier-Dörnberg in dankenswerter Weise unterstützt.     

Die seitlich elastisch eingebettete keilförmige Scheibe unter Spitzenbelastung

Ohne Zusammenfassung     

Die Einströmung einer idealen Flüssigkeit in eine kreisförmige Bordasche Mündung

Zusammenfassung Für die Einströmung einer idealen Flüssigkeit in ein kreisförmiges Rohr mit Strahlablösung (Bordasche Mündung) wird eine numerische Näherungslösung angegeben. Hierzu wird für einen probeweise angenommenen Strahlrand die vollständige Strömung berechnet durch numerische Integration der Differentialgleichung der Stromfunktion mit dem Liebmannschen Mittelungsverfahren. Nach den Abweichungen der Geschwindigkeit am angenommenen Strahlrand von dem geforderten konstanten Wert wird dann die Form des Randes verbessert. Schließlich wird noch eine Verbesserung auf graphischem Wege erreicht. Die Ergebnisse werden dann mit denen der entsprechenden ebenen Aufgabe verglichen.     

Die Auswölbungen der Kreis- und Kreisringmembranen unter hydrostatischem Druck

Ohne Zusammenfassung     

Die Potentialströmung mit Totwasser an einer geknickten Wand

Ohne ZusammenfassungBericht der Aerodynamischen Versuchsanstalt Göttingen.     

Pulsierende Druckströmung hochpolymerer Schmelzen im kreisförmigen Kanal

Zusammenfassung Es werden theoretische und experimentelle Untersuchungen pulsierender Strömungen viskoelastischer Flüssigkeiten in einem kreisförmigen Kanal durchgeführt. Unter Voraussetzung einer eindimensionalen, isothermen und vollentwickelten Strömung in Anwesenheit sinusförmiger Druckgradientenschwankungen wird für die rheologische Zustandsgleichung von Bird-Carreau eine asymptotische Lösung erzielt. Die Ergebnisse weisen darauf hin, daß sowohl die relative Amplitude der Ausstoßschwankungen als auch die relative Änderung des mittleren Ausstoßes sich in einer allgemeinen Form darstellen läßt, die bezüglich der Temperatur und der relativen Amplitude der Druckgradientenschwankungen invariant ist. Die theoretischen Ergebnisse werden mit experimentellen Daten für ein Polyethylen niederer Dichte verglichen. Dabei wird eine gute Übereinstimmung der Theorie mit dem Experiment festgestellt.

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Theoretical and experimental studies were carried out on the pulsating flow of viscoelastic liquids through a circular channel. By assuming the flow to be one-dimensional, isothermal, and fully developed and the Bird-Carreau constitutive equation to be applicable, an asymptotic solution was found. The results obtained indicate that both the relative amplitude of pulsation of the output and the relative change in the average output may be presented in a generalized form that is independent of the relative amplitude of the pressure pulsations and temperature. The theoretical results were verified experimentally for a low-density polyethylene. Good agreement was found between the theory and the experimental data.

     

Die ebene Strömung um ein geknicktes Profil mit Spalt

Zusammenfassung Die Strömung um ein geknicktes Profil mit Spalt wird mit Hilfe der konformen Abbildung berechnet. Zuerst wird die Abbildungsfunktion der geknickten Platte mit Spalt so dargestellt, daß die numerische Auswertung für kleine Spalte besonders einfach wird. Durch Hinzunahme weiterer Abbildungen kann man schrittweise von der Strömung um Skelette übergehen zur Strömung um dünne Flosse und profiliertes Ruder und um Flosse und Ruder mit Wölbung und Dicke. Für alle diese Kombinationen wurden die Druckverteilungen berechnet. Es zeigt sich, daß die Rechnungen für Skelette schon recht gute Werte für die Gesamtkräfte liefern. Jeder Schritt in dem Annäherungsprozeß an Formen, wie sie der Wirklichkeit entsprechen, wurde wenn möglich einer entsprechenden Messung gegenübergestellt, um so den Einfluß der Form auf die Druckverteilung klar erkennen zu können. Zum Schluß ergibt sich, daß die Potentialtheorie alle wesentlichen Eigenschaften der Strömung um das geknickte Profil mit Spalt gut wiedergibt.     

Untersuchungen über turbulente Strömungen in nicht kreisförmigen Rohren

Zusammenfassung Die Aufgabe der vorliegenden Arbeit war, die Sekundärbewegungen in Rohren mit nichtkreisförmigem Querschnitt auf Grund systematischer Versuche zu klären. Zu diesem Zweck wurden turbulente Strömungen in solchen Rohren untersucht, und zwar in Rohren 1. von dreieckigem Querschnitt: a) gleichseitig, b) gleichschenklig-rechtwinklig und c) ungleichschenklig-rechtwinklig, 2. von trapezförmigem Querschnitt und 3. von kreisförmigem Querschnitt: a) mit einer Nute und b) mit zwei Nuten. Die Arbeit zerfällt in zwei Teile: Im ersten Teil sind die Geschwindigkeitsverteilungen gemessen und in Form von Isotachen dargestellt worden. Die Isotachenpläne zeigen ganz deutlich, daß in den Ecken der Rohrquerschnitte die Flüssigkeit einströmt, sich dort in zwei Teile teilt und zurückkehrt. So entstehen Wirbel in den Querschnittsecken. Ferner ist nachgewiesen, daß die Geschwindigkeit längs der Winkelhalbierenden mit der 5/7-ten Potenz des Abstandes von der Winkelspitze wächst. Aus den Geschwindigkeitsverteilungen und dem Druckgefälle ist die Schubspannungsverteilung an der Wand über den Umfang des Rohrquerschnittes errechnet und graphisch dargestellt. Auch der Widerstandskoeffizient für alle Rohre ist bestimmt worden.Der zweite Teil der Arbeit beschäftigt sich mit photographischen Methoden, um die Sekundärbewegungen in nichtkreisförmigen Rohren nachzuweisen. Zu diesem Zweck wurden von der turbulenten Ausbreitung von stromaufwärts eingeführter Milch im dreieckigen und kreisförmigen Rohre Photographien hergestellt, die durch Ausmessen der Helligkeiten zur Herstellung der Isophoten dienten. Die Isophoten zeigen ganz deutlich, daß im dreieckigen Rohr die Sekundärbewegungen vorhanden sind, während im kreisförmigen Rohr keine auftreten. In diesem zeigt sich dagegen die schnellere Ausbreitung parallel den Isotachen als senkrecht dazu.     

Die Lösung des Sechsstabanschlusses mit der Methode der dualen Abbildung

Zusammenfassung Mit der Methode der dualen Abbildung lassen sich Gleichgewichtsaufgaben mit sechs unbekannten Kräften im Raum auf ebene Probleme zurückführen und werden mit ebenen Gleichgewichtsbedingungen lösbar. Für eine allgemeine statisch bestimmte räumliche Lagerung ist durch geeignete Wahl der räumlichen Bezugspunkte die Gleichgéwichtsaufgabe in zwei Einzelprobleme zu trennen, die der Reihe nach unabhängig voneinander gelöst werden. Liegen mindestens zwei der räumlich allgemein angeordneten Kräfte in einer Ebene, so läßt sich die Aufgabe rein graphisch in ebenen Teilproblemen durchführen.Damit sind sowohl allgemeine räumliche Anschlüsse als auch Raumfachwerke nach dem ersten oder zweiten Bildungsgesetz allgemeiner Art zu behandeln. In Sonderfällen, unter denen besonders der praktisch bedeutsame Fall zu erwähnen ist, bei dem drei Fesseln durch einen Punkt gehen, entstehen Erleichterungen in der Abbildung und in den ebenen Lösungsgängen.Die Abbildungen der Kräfte und Momente weisen zahlreiche Kontrollmöglichkeiten auf, die sich auch bis auf die Lösungsergebnisse erstrecken, so daß die Ermittlungen mit großer Sicherheit bequem durchzuführen sind. Das Verfahren ergibt übersichtliche und, im Verhältnis zu sonstigen Lösungsgängen im Raum, leicht zu bewältigende Einzelprobleme.     

Kreisförmiger Stollen unter Temperaturbeanspruchung

Ohne Zusammenfassung     

Biegung kreisförmiger Platten von radial veränderlicher Dicke

Ohne Zusammenfassung     

Die parabelförmig gekerbte Scheibe mit einem konzentrierten Moment im Inneren der Scheibe

Ohne Zusammenfassung     

Das Düsenschwellphänomen beim Austritt einer wandhaftenden anorganischen Glasschmelze aus Strangpreßwerkzeugen mit nichtkreisförmigem Öffnungsquerschnitt

Zusammenfassung Eine ausgeprägte Strangaufweitung tritt bei anorganischen Glasschmelzen dann auf, wenn bei schleichender Strömung eine Haftung zwischen der Wand des Matrizenkanals und dem strömenden Medium gegeben ist. Sie rührt dabei von der Umorientierung der Geschwindigkeitsverteilung von einem parabelförmigen zu einem kastenförmigen Profil her.In den experimentellen Untersuchungen konnte festgestellt werden, daß oberhalb einer bestimmten Kanallänge, d. h. bei ausgeprägten Strömungsverhältnissen im Preßwerkzeug die flächenbezogene Strangaufweitung konstant und dabei insbesondere unabhängig von der Profilform etwa 29% beträgt. Daraus wird gefolgert, daß dieser Betrag dem linearen Wert für den zweidimensionalen Fall des unendlich ausgedehnten Spaltes entsprechen muß.In einer theoretischen Analyse wurde die Berechnung dieses Falles ausgehend von der Stokes-Gleichung mit Hilfe der Methode der finiten Elemente durchgeführt. Aus der sich daraus ergebenden Druck- und Geschwindigkeitsverteilung konnte schließlich die Kontur des austretenden Stranges sowie dessen Endhöhe ermittelt werden.Ein Vergleich der experimentell und rechnerisch ermittelten Werte für die Strangaufweitung zeigt dabei eine recht gute Übereinstimmung und bestätigt dadurch auch die weitgehende Unabhängigkeit der flächenbezogenen Aufweitung von der Querschnittsform des Stranges.

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Inorganic glass melts are showing a characteristic die swell, when in the case of slow motion a strong adhesion between the streaming fluid and the wall of the die channel exists. The reason for this phenomenon is the rearrangement of the velocity profile from a parabolic to a box-type design form.The experimental investigations have demonstrated, that above a certain channel length, this means at distinct flow conditions inside the die channel, the value for the extension of the cross-sectional area is constant of about 29%. Particularly it is independent of the shape of the used die profiles. From this result, it is to deduce that this value must correspond to that of the two-dimensional case of the infinite extended slit.In a theoretical analysis the computation of this case was performed, starting from the Stokes-equation by the finite element method. By means of the resulting pressure and velocity distribution, the contour of the emerging rod and its final thickness could be determined.A comparison between experimental and computational results shows good agreement. So the appreciable independence of the magnitude of the die swell from the profile of the extruded rod is confirmed.

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A Fläche - a ^p ,a ^u Knotenpunktsvariablen für Druck bzw. Geschwindigkeit - a, b Seitenlängen des Rechteckprofils - B =L · N ^u Matrix - D Viskositätsmatrix - f Kräftematrix - K Schwerkraftvektor - K ^p ,K ^u Elementdruckmatrix, Elementgeschwindigkeitsmatrix - L Transformationsmatrix für den ebenen Fall - m Kronecker-Symbol für den zweidimensionalen Strömungszustand - N ^p ,N ^u Ansatzfunktionsmatrizen für Druck bzw. Geschwindigkeit - p Preßdruck - R Radius - T Preßtemperatur - t Lastvektor - u = (w, v) Geschwindigkeitsvektor - _A flächenbezogene Strangaufweitung - _R Aufweitung einer linearen QuerschnittsabmessungR - dynamische Viskosität - Dichte - D u/Dt Substantielle Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit - T Transponierte einer Matrix (oberer Index) Vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologischen Gesellschaft in Berlin vom 13.–15. Mai 1985     

Ausweitung des kreiszylindrischen Hohlraumes unter örtlichem Innendruck

Zusammenfassung Für den Fall eines unter örtlichem Innendruck stehenden zylindrischen Hohlraumes im unendlichen, elastisch-isotropen Körper, wurde die Lovesche Verschiebungsfunktion bestimmt, wobei hier auf eine Arbeit von C. J. Tranter zurückgegriffen werden konnte. Die Ausweitung des Zylindermantels wurde sowohl für diese Belastung und, um die Einflußfunktion der Radialverschiebungen zu erhalten, auch für die in einem Querschnitt konzentrierte Druckverteilung allgemein berechnet. Die Auswertung der uneigentlichen Integrale erfolgt durch Aufspaltung des unendlichen Integrationsbereiches und Ersatz des Integranden durch geeignete Näherungsfunktionen, deren Abweichungen von den wahren Werten in der Umgebung des Nullpunktes und im Unendlichen verschwinden.Das hier geschilderte Verfahren könnte in analoger Weise zur Bestimmung der Radialverschiebungen des unendlich langen Vollzylinders und gegebenenfalls auch des unendlich langen zylindrischen Rohres angewandt werden.     

Die Bestimmung des Spannungs- und Verschiebungszustandes eines geschichteten Körpers mit Hilfe von Übertragungsmatrizen

Zusammenfassung Im Anschluß an zwei frühere Arbeiten des Verfassers wird gezeigt, wie sich der Spannungs- und Verschiebungszustand eines geschichteten Körpers mit Hilfe von Übertragungsmatrizen in übersichtlicher Weise bestimmen läßt. Insbesondere erlaubt die angegebene Methode die approximative Lösung des Problems der senkrecht zur Berandung beliebig inhomogenen dicken Platte und (als Sonderfall davon) des inhomogenen elastischen Halbraums. Wegen der Gleichförmigkeit des Rechnungsablaufes eignet sich das Verfahren vorzüglich für den Einsatz von digitalen Rechenautomaten.