三角形各心与界心间的关系

定理1设P为AABC所在平面内任一点，则美中P、R和rfi别为半固长，外接回和内团圆半径．证明则留4，因BD—p—C，DC—P一b，在西PBC中用Stewart定理：在西ABD中，有再由Menelaus＆理，淆；，AJa、。、一、。。。。从而无一“；在西PAD申用Stewart定’””“JDpa”““—”“一””“一”一一理，得指PD’、AD‘表达式代入此式，利用即得欲证．由此可以推知：（l）JO＝RZr．（2）JH—ZIO—2JRnMF＝．（P弓H重台，吕PA’一4R’一a’等代人，巨用allffiP’一百a‘一r’＋4R”租OI’一R’一ZRr，即得欲证）由（3）和（4）…     

平面内一点与界心的距离

定理P为西ABC所在平面内一点，J为poIO＼，则证明如图10，＊E一户一C，＊E一户一a，在APAC中应用Stewartfe理，冯田局民中线公式：代人上式：在APBE中应用Stewartfe理，把PE’和BJ·EJ的表达式代人整理，应用即得欲证．平面内一点与界心的距离@曹立新$唐山市72中!063030     

周界中点三角形的又一性质

定理设面ABC三边为a，b，c，周界中点三角形相应边为a’，b’，c’，则证明设D、E、F分别为西ABC的边BC、CA、AB边上的周界中点．从E、F作EM上BC于M，FN上BC于N，NV（如图3）但BF—CE一户一a，因此上式即为a’＞a一（p—a）（cosB＋cosC）．再由关于y，C’的类似不等式，三式相加，得诸式代入上式左边，欲使看是否可能？化饲：即p’＜6R’－－f－－ZRr—r’；但Gerretsen不等式为P‘＜4R‘＋4Rr＋3r‘，可见只须证4R’＋4Rr＋3r’＜6R’＋ZRr—r’，PFZR’－ZRr、4r‘20；由欧拉不等式R）Zr知，ZR’一ZRr—4r‘一2…     

外莫莱三角形的一个性质

将ABC的各外角三等分，每两个外角的相邻的三等分角线相交得DEF，称之为西ABC的外莫莱三角形．由文[1]知AD、BE、CF相交于一点．对于△ABC的外莫莱三角形△DEF,有如下性质．定理△ABC与其外莫莱三角形△DEF对应顶点连线AD、BE、CF共点于西ABC的内心的充要条件是bABC为正三角形．记bABC的三内角为A、B、C，定理的证明需用到如下事实：，＿。。＾．＿＿。＿，L—B、－1引理1在西ABC中，有sinz（士丁Q）＜十，同理可证其它两丸定理的证明：必要性容易证明，这里从略，下证充分性．本文绘出了文［2］提出的一个猜想的证明…     

三角形界心到五心的距离

（1）设AA’为西ABC一条周界中线，则事实上，只须作A’T／／CA交CA边的周界中线BB’于T，由西BA’TGOABCB’，凸A’JTu凸AJB’即可得．（2）尽心与内心、旁心的距离：设JI—x，m一AA’，过I作BC垂线交BC于E，交AA’于F（如图8），内切国切BC于E，旁切圆切BC于A’，””““，。一gMM。则易知JF一”m，，、＿．一p而abc—4Rrp，在西IJF中用余弦定理：在西AA’la和西AJIa中，有解之即可得J人．（3）界。L’与外。L’的距离JI—R—Zr．外接回直径AE交BC于D，周界中线AA’延长交外接回O于F（图9），设｛F一矿…     

一类内接三角形的面积的统一公式

设P是△ABC所在平面内任意一点，AP，BP，CP交直线BC，CA，AB分别于D，E，F，则称△DEF为点P关联△ABC的内接三角形．本文得到了此类内接△DEF与△ABC面积关系的统一公式．即定理设P是△ABC所在平面内的一点，△DEF是P关联△ABC的内接三角形，若有向线段的比，则有Ceva定理知2lA人一1．先证P在凸ABC内的情形．如图1，由于次证P在凸ABC外的情形．如图2，因凸ABC三边所在直线以及过凸ABC三顶点与三边的平行线，六条直线将凸ABC外面的部分划分为15个不同的区域U中一1．2，…，15）．这些区域可归结为四类：UI－U3为…     

IMO—33(4)的简解

1992年第33届数学IMO试题4：在一个平面中，C为一个圆周，直线l是圆周的一条切线，M为l上的一点．试求出具有如下性质的所有点P的集合：在直线l上存在两个点Q和R，使得M是线段QR的中点，且C是否PQR的内切圆．（1992年第4期《中等数学》）用解析法求解轨迹问题是一种重要方法．本文应用面ABC顶点坐标定理’‘’，给出这道试题的一种十分简明的解法．建立如图所示的平面直角坐标系，设点P即面PRQ符合条件，凸PRQ的顶点坐标是P（J二三工厂．PF3！F厂〕．R（vf．O〕．Okf．m．／一y十Z一’y＋Z””—””““”一’—”一’～’”…     

广义积分integral from n=0 to 1()((1n)~(k-1)t)/(1 t)dt与级数Sum from n=1 to ∞() ((-1)~(n-1))/n~k间的关系及计算

定理1设k是正整数，则有证明记由于易知又由于所以所以（6）式为在（8）中取、r—－1，有在（9）中作变换L—一X有＿＿、＿．l．＿＿、，＿I。〔h〔，＿＿＿rp（－1）＿。＿。L、，＿＿＿。。＿＿＿＿，＿。。定理1给出了广义积分l；：＝一体与级数西二个一之间的关系。下面的定理2将给出‘“““””“’””””“”JI＋t”’”””“‘“’””“““””“’””““”“”‘”“““计算级数Zirn／一的一个递推公式。它相9地将人X）展成余弦级数（14）式为一递推公式，继续递推并注意到八二I。。Snxdx一O，则（14）为在（16）式中…     

为何韦达定理不适用

题目已知圆x2＋y2=4与抛物线y2=ax（a＞0）相交于A、B两点，且IABI—2乃，求该抛物线的焦点坐标．解设A、B两点的坐标分别为：（11，yi），（xZ，yZ），由于题设条件中的圆和抛物线均关于2轴对称，故有2；一22＞0，y．—一yZ。＿．．I＿－．－－－－－－fu＿＿。＿M且Iyll—lyZI一一一J3，不妨取yi一J3，趴x＼yL4得x，＝1或x＝－1（一，将A点坐标（1，厄）代入y‘一。得。一3，rt抛物线的焦点坐标为（号，0）．’，”－”－””””’”””——””””4’一””笔者在课堂上讲完该解法后，让学生用韦达定理试试，立即有学生提出该…     

四边形中的一个不等式

定理设E、F、C、H分别是四边形ABCD的边BC、CH、DA、AB上的内点，且AH、BE、CF、HG、＿、。子兰一AI．兰拉一人．子头一入，美子一人，四边HB‘”‘’EC‘”‘’FD””‘’GA’”’”—”～形＊＊CD、＊＊＊11、＊＊11E、＊＊＊F、凸＊＊G的面积分别记为西、AI、凸2、凸3、A’．则当且仅当四边形＊＊＊D为平行四边形，且人一1（i—1，2，3，4）时，等号成立．根据平均值不等式，并注意到死十JZ十S。十S．一2凸，得当且仅当四边形＊＊CD为平行四边形，且入一1（i—1，2，3，4）时，等号成立．故定理得证．四边形中的一个…     

数学竞赛命题中的一个基本图形

如图所示，设面△ABC的三内角平分线分别交三边于A0、B0、C0，交其外接圆于D、E、F；又交△DEF的三边于A1、B1、C1．点M、N；P、Q；R、S分别是△ABC与△DEF三边的交点．记A．B、C为△ABC的三内角，其对边分别为a、b、c；D、E、F为△DEF的三内角，其对边分别为a’b’c’R（R’）、r（r’）、p（p’）、S（S’）分别为△ABC（△DEF）的外接圆半径、内切圆半径、半周长和面积，△ABC的内心为I．这一常见的构图，可以衍生出一系列数学竞赛题．题1AD⊥EF．（199且年第32届IMO加拿大训练题第6题）知类似可知故I为西DEF…     

三角形的“等积点”及其性质

1走义设P是否ABC所在平面内的一点，若a·PA＝b·PB＝c·PC．则称P是ABC的等积内．2等积点的性质性质1三角形的等积点在各边上射影所成三角形是等边三角形．证设P是ABC的等积点，作PH上BC、PE上CA、PF上AB，D、E、Fg重定，如图1．A、F、P、E四点并圆，目PA是直径，田正弦定理，同理可后田等积点的定义得性质2三角形的节税点对自边的张角号段边所对角的差相等，目差为6O”．证设P是否ABC形内的等积点，如图1．由四点并圆可得注（1）当等积不P在西ABC内的，田性质28MAPB—60”＋fAM180o，上AM120“，老等．即有max｛A…     

涉及两个三角形的一个等式及其应用

定理dea，b，c，西和a’，b’，c’，凸’分别表示＊ABC和西XH0的边长和面积，为了证明（1），我们先证明：引BRx．v．x．x’．v’，z’满足由轮换时称可得我们称（7）式为“匹多”等式．（由于T＞O，Q＞O，所以由（7）式却匹多不等式H＞16面面’成立）．在（1）式中今a’一b’一c’，即面A’B’C为等边三三角形时，并设我们称（8）式为“外森比克”等式．由（1）式和（7）式可将匹多不等式加巴为：当然，由（4）、（5）、（6）式还可以得到多个区多不等式的加强．同样，由（8）式也可以得到一系列外在比克不等式的加强，限于篇幅，可…     

一道常微分方程解的商榷

黄文纲在《中国科学》文[1]中，讨论常微分方程：之X=X’=0的稳定性，给出方程的解：现将其解简化为：此时持解形式：代入方程（1），应有等式：但等式（5）不成立。即文［1］所给方程（1）的解（2）有误。现利用文［2］，给出方程（1）的解。在方程（1）中，此时，户一Zt一万，q—t’则＿、H＿。，＿，、A。…．＿＿．现设函数B（t）一千（A为常数），则现取B（t）＝Al，则（豆）通解为：一道常微分方程解的商榷@赵临龙$陕西安康师专@雷春来$陕西安康师专[1]黄文纲.方程x(t)=p(t)x(t) q(t)x(t)=0的稳定性。中国科学(A).1986(4):359～36…     

某些周期卷积类上的最佳单边逼近

设Ｋ满足性质Ｂ（或Ｋ是ＮＣＶＤ核），本文得到了以Ｋ为核的卷积类Ｂ＿ｐ（或Ｋ＿ｐ），１≤ｐ≤∞，在Ｌ＿１尺度下，借助于三角多项式和周期样条的单边逼近的精确值．ｈ，ｆ⊥Ｓ，则ｈ⊥Ｓ，结合（４．７）我们易知Ｆ∈Ｓ￣－（Ｇ￣＊），且Ｆ⊥Ｓ，Ｆ（０）＝０．由引理６得由引理７得进一步地根据定理２，我们可得（４．６）及（４．８）得另一方面．根据［２］（定理１．７．５）及引理８得由（４．８）、（４．１０）定理得证．作者感谢导师孙永生教授的悉心指导．参考文献     

一个猜想的否定──莫莱三角形的两个性质

将任意△ABC各内角三等分，每两个角的相邻三等分相交得△PQR（内莫莱三角形），AX、BY、CZ分别为角A、B、C的平分线，且它们与QR、RP、PQ的交点分别为X、Y、Z（阅图1）．季平龙猜想「”：A、X、尸；BJ、Q；C、Z、R分别荣线．本文否定这一猜想．H结出寞京三角形两个三线并点在质。性质ig凸ABC为非着腰三角形，则在上述记自下，人、X、P；B、Y、Q；C、Z、R＄ffi三点不某城．任回纽图1，在西BPC中，由正孩定理而在西ABP5凸ACP中，用正弦定理可得由①、②可得面ABC为非等腰三角形，＆ZBAPfZCAP．又AX为Z人的平分线…     

欧拉定理的又一推广

平面几何中有着著名的欧拉定理：三角形的垂心、重心、外心共线，并且重心把连结垂心和外心的线段分成2：1．文[1]给出了欧拉定理的一种推广，受其启发，本文再给出一种类似的推广．定理设H、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，G是重心，P是平面上任一点，过A、B、C分别作直线平行于PD、PE、PF，那么（1）三条平行线交于P’；（2〕P’、G、P三点共线：证明如图，连线PG交延长到H，使GH＝2PG．设过A点且与PH平行的直线为ｌ1；，过B与PE平行的线为ｌ2，过C点和PF平行的直线为ｌ3，ｌ2与AH重合，即H在ｌ1上．同理可证，…     

三角形的一个共点性质及其空间拓广

共边定理 若直线AB和PQ相交于点M，则有S△PAB/S△QAB=PM/QM（证明明见文[1]） 共面定理 若平面ABC和PQ相交于点M，则有VP-ABC/VQ-ABC=PM/QM（证明可仿共边定理证明）     

共点三线四角定理及其应用

自二面角棱上一点在两个半平面内各引一条射线，这两条射线间夹角、这两条射线与校的夹角以及二面角间有何关系呢？请看下面一个结论．定理（共点三线四角定理）若PAα平面α与β的交线为。α∩βB，两点证明如图1，过A作AH⊥PC于H，过H在β内作HB交PB于B，连AB．设PH＝a，则Rt△AHP中，AH＝在△AHB和△APB中，由余弦定理则由（1）、（2）两式马上推得．定理得证．为便于记忆，将此定理不妨称之谓“共点三线四角定理”，并默认∠APB为二面角α－lβ的对角，而∠APC与∠BPC为其两个邻角．该定理充分揭示了从二面角棱上一点在…     

关于Miloevi不等式的加强

1991年，D．M．Milosevic建立了一个关于三角形的不等式’[1]．其中表示对a、b、c循环求和·1992年，陈计建立了下面不等式D’；＞？cos‘AZ手．（2）注意到熟知的R．Kooistera不等式［‘1．＿．、A＿3．＿、3’Sin‘二）ML．（3周才凯在文［4j中给出了（2）的一个加强：＿，－＿2－＿、A、。＞’cos’AM；（＞Isin’Y）‘．（4）最近，杨晋在文［sj中对（l）、（2）进行了强弱比较，得到：针对（4）、（5），文［5］提出了如下猜测：本文证明（6）成立，且推广为：其中kMO．证明由公式及柯西不等式，得不妨设。＞b＞C，RO由等知，…