Correnti positive: Uno strumento per l’analisi globale su varietà complesse

Lo scopo di questo testo è di presentare i temi principali riguardanti le correnti positive su varietà complesse. L’importanza di questo strumento, per coloro che studiano geometria complessa, è evidente; tuttavia non è semplice tenere le fila di una grande quantità di contributi sull’argomento, alcuni dei quali sono ormai pietre miliari su questa via. Vorremmo quindi delineare una “mappa” dei contributi che ci sono sembrati particolarmente significativi; per ovvie ragioni, rimandiamo ai test originali non appena si voglia entrare nel merito dei singoli argomenti. Lo scritto è composto di due parti (oltre a una appendice dedicata al lettore che affronta per la prima volta il tema delle correnti positive): nella prima si trattano principalmente i temi in riferimento alle correnti positive e chiuse, storicamente la classe più importante di correnti per le varietà complesse, in quanto generalizzazione naturale delle sottovarietà. Nella seconda si espongono risultati su correntiT positive pluriarmoniche o plurisubarmoniche, cioè caratterizzate da una condizione imposta alla corrente $i\partial \bar \partial T$ , e naturali generalizzazioni delle funzioni plurisubarmoniche, nonché delle correnti chiuse. Questa scelta è motivata nel primo capitolo della seconda parte, partendo dall’ormai classico teorema di R. Harvey e J.R. Lawson che caratterizza tramite correnti positive e pluriarmoniche l’esistenza di metriche kähleriane su varietà compatte.     

Approssimazione «tipo Monte Carlo» per le soluzioni del 1o problema al contorno per equazioni paraboliche «forward-backward»

Si studia il primo problema di valori al contorno in aperti ω diR ^m+1 per l’equazione parabolica: i coefficientik(x), a _ik(t, x) e il termine notof(t, x) sono funzioni reali, misurabili e limitate(k(x) può cambiare segno in ω. Il risultato principale ottenuto consiste in ciò: se una soluzione, appartenente ad una determinata classe funzionale, esiste, questa è approssimata uniformemente dalle soluzioni di certe equazioni integrali (le quali esistono e sono uniche). Queste equazioni integrali simulano, in un certo senso, il problema differenziale. Questo metodo di approssimazione assomiglia (nel senso precisato nel paragrafo 4) al noto metodo Monte-Carlo.     

Some submanifolds of a parakähler manifold

SiaM una sottovarietà totalmente ombelicale di una varietà parakähleriana $\tilde M$ . SeM è anche debolmente antiolomorfa, le curvature bisezionali, ordinarie e normale, diM sono legate da una elegante relazione, da cui discendono interessanti conseguenze. L'ultimo risultato del lavoro si riferisce alle sottovarietà parakäleriane delle varietà a curvatura sezionale costante.     

Onq-projectively recurrent spaces

In questa nota sono studiati gli spazi proiettivamenteq-ricorrenti, definiti dalla relazione % ZbItLDhis9wBH5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbb \(W_{ijk, m_1 m_2 \ldots m_q }^p = a_{m_1 m_2 \ldots m_q } W_{ijk}^p \) ; doveW _ijk ^p sono le componenti del tensore proiettivo di Weyl. Nei teoremi 4 e 7 è data una forma canonica del tensore di curvatura di questi spazi. È quindi dimostrato che uno spazio di questo tipo non può essere uno spazio di Einstein. Sono pure studiati gli spazi proiettivamenteq-ricorrenti che nello stesso tempo sono conformemente Euclidei e il casoq=2.     

Funzioni tensoriali di un vettore e leggi elementari dell’elettromagnetismo

Sunto Si espone un algoritmo particolarmente adatto per lo studio delle leggi elementari dell’elettromagnetismo, sia allo scopo di stabilire il grado di indeterminazione da cui sono affette, sia allo scopo di determinare tutte le leggi elementari dotate di requisiti assegnati. Nel primo capitolo si esaminano le proprietà generali delle leggi elementari e si classificano. Nel secondo capitolo si studiano i tensori del secondo e del terzo ordine associati alle leggi elementari. Tali tensori sono tutti funzioni di un vettore e godono delle proprietà che al mutare della terna di riferimento le nuove componenti del tensore, espresse in funzione delle nuove componenti cartesiane del vettore, godono dell’invarianza formale. Tale proprietà si traduce in un sistema di equazioni funzionali, che vengono risolte. Si ha così che le 9 (27) componenti del tensore di secondo (risp. terzo) ordine possono essere espresse mediante una combinazione lineare di sole 3 (risp. 7) funzioni del solo modulo del vettore, che vengono chiamate “funzioni di distanza” del tensore. La ricerca delle leggi elementari dotate di proprietà assegnate dà luogo a sistemi di equazioni differenziali fra le componenti dei tensori associati alle dette leggi. Tali sistemi constano talvolta di un enorme numero di equazioni alle derivate parziali del primo o del secondo ordine. Tuttavia la sopradetta conoscenza della semplice struttura dei tensori incogniti ed un appropriato procedimento di calcolo permettono di pervenire alle soluzioni in modo relativamente semplice, rispetto alle complessità che la questione offre a prima vista. Alcuni esempi vengono illustrati. Nel terzo capitolo si risponde in modo esauriente all’antica questione relativa all’indeterminazione della prima legge elementare diLaplace. Nel quarto capitolo si determinano le espressioni generali di particolari insiemi di leggi elettrodinamiche. Ad Antonio Signorini nel suo 70^mo compleanno.     

Sull'integrazione delle funzioni quasi-periodiche astratte

Sunto Si estende il teorema diBohr, sull'integrazione delle funzioni quasi-periodiche a valori in uno spazio euclideo, alle funzioni quasi-periodiche a valori in uno spazio diBanach uniformemente convesso. Si mostra poi, con esempi, che l'ipotesi di compattezza posta daBochner non può, nel caso generale, essere sostituita da un'ipotesi di limitatezza. A Enrico Bompiani in occasione del suo Giubileo scientifico. Istituto Matematico del Politecnico di Milano.     

Narrowness implies uniformity

This paper is about varietiesV of universal algebras which satisfy the following numerical condition on the spectrum: there are only finitely many prime integersp such thatp is a divisor of the cardinality of some finite algebra inV. Such varieties are callednarrow. The variety (or equational class) generated by a classK of similar algebras is denoted by V(K)=HSPK. We define Pr (K) as the set of prime integers which divide the cardinality of a (some) finite member ofK. We callK narrow if Pr (K) is finite. The key result proved here states that for any finite setK of finite algebras of the same type, the following are equivalent: (1) SPK is a narrow class. (2) V(K) has uniform congruence relations. (3) SK has uniform congruences and (3) SK has permuting congruences. (4) Pr (V(K))= Pr(SK). A varietyV is calleddirectly representable if there is a finite setK of finite algebras such thatV= V(K) and such that all finite algebras inV belong to PK. An equivalent definition states thatV is finitely generated and, up to isomorphism,V has only finitely many finite directly indecomposable algebras. Directly representable varieties are narrow and hence congruence modular. The machinery of modular commutators is applied in this paper to derive the following results for any directly representable varietyV. Each finite, directly indecomposable algebra inV is either simple or abelian.V satisfies the commutator identity [x,y]=x·y·[1,1] holding for congruencesx andy over any member ofV. The problem of characterizing finite algebras which generate directly representable varieties is reduced to a problem of ring theory on which there exists an extensive literature: to characterize those finite ringsR with identity element for which the variety of all unitary leftR-modules is directly representable. (In the terminology of [7], the condition is thatR has finite representation type.) We show that the directly representable varieties of groups are precisely the finitely generated abelian varieties, and that a finite, subdirectly irreducible, ring generates a directly representable variety iff the ring is a field or a zero ring.     

Using RngStreams for parallel random number generation in C++ and R

The RngStreams software package provides one viable solution to the problem of creating independent random number streams for simulations in parallel processing environments. Techniques are presented for effectively using RngStreams with C++ programs that are parallelized via OpenMP or MPI. Ways to access the backbone generator from RngStreams in R through the parallel and rstream packages are also described. The ideas in the paper are illustrated with both a simple running example and a Monte Carlo integration application.     

Nonlinear equations related to the Levi form

Si considera l’equazione di Levi su un aperto di e si studiano alcune proprietà delle sue soluzioni regolari.     

Eine explizite Einbettung für Möbius-Geometrien endlicher Dimension

A new and explicit embedding is given for geometries ?(R,L) of Möbius type (i.e.L any extension field ofR) and finite dimension n = (L:R). The image of a chain is an algebraic curve. Till now explicit embeddings of Möbius geometries have been known only in the case n = 2.     

Simple algebras of Weyl type

Over a fieldF of arbitrary characteristic, we define the associative and the Lie algebras of Weyl type on the same vector spaceA[D] =A?F[D] from any pair of a commutative associative algebra,A with an identity element and the polynomial algebraF[D] of a commutative derivation subalgebraD ofA We prove thatA[D], as a Lie algebra (modulo its center) or as an associative algebra, is simple if and only ifA isD-simple andA[D] acts faithfully onA. Thus we obtain a lot of simple algebras.     

Algebre Booleane e loro struttura interna analitica (funzionale e matriciale) e geometrica (metrica e topologica)

Sunto In un'algebra booleana finita si presenta il fatto nuovo che molte delle strutture in essa costruibili a partire dai suoi elementi, sono intimamente connesse, si da essere aspetti diversi della stessa cosa. Si rileva che funzioni intere (cioè quelle che si ottengono operando su una variabile booleana con le operazioni booleane) matrici, ideali, filtri (e le formazioni più ampie che sono gli intervalli) e classi di equivalenza, mostrano appunto questo allacciamento. Inoltre, ognuna di queste formazioni dà in sostanza origine ad altre algebre booleane o a queste isomorfe, o di queste qiù ampie. Quindi, in un certo senso, il campo booleano è completo, riproducendosi in sè per quasi tutte le strutture in esso fattibili. Ma vi è di piu. Se nella formulazione del concetto di misura si abbandona l'idea del numero, quale ? misura di estensione ?, riesce possibile stabilire un concetto di ? di stanza booleana ? di due elementi booleani, la quale soddisfi alla fondamentale relazione triangolare e alla condizione di annullarsi quando e solo quando gli elementi coincidono. Potremo perciò parlare di una metrica intrinseca di un'algebra diBoole; e attraverso opportune definizioni si può estendere questa metrica anche ad aggruppamenti di tre o quattro o più elementi. Ma definita che sia questa metrica ? interna ? viene anche definita, oltre la struttura algebrica, e quella di geometria metrica, una struttura topologica interna. Ed è appunto quanto esprimiamo im questo lavoro, ricollegandoci ad altri precedenti (*) A Enrico Bompiani in occasione del suo Giubileo scientifico     

On cleavability overT i,ρ spaces

Si danno risposte, per le principali classiP di spazi topologici separati, al seguente problema: “SiaX uno spazio topologico spezzabile sulla classeP. È vero o no cheX∈P?”. In particolare si studia il problema per le classiP of spaziT _i,ρ (i=2,3,4,5), sotto particolari tipi di spezzabilità.     

Quasi-factors in ergodic theory

Motivated by the notion of quasi-factor in topological dynamics, we introduce an analogous notion in the context of ergodic theory. For two processes,X andY , we haveX?Y if and only ifY has a factor which is isomorphic to a quasi-factor ofX. On the other hand, weakly mixing processes can have nontrivial quasifactors which are not w.m. We characterize those ergodic processes which admit only trivial continuous ergodic quasi-factors, and use this characterization to conclude that a process with minimal selfjoinings is of this type. From this we derive the fact that for every suchX and any ergodicY eitherX ⊥Y orY extends some symmetric product ofX.     

Fibrazioni di una classe di near-field regolari di dimensionet+1 sul nucleo

Il contenuto di questo lavoro consiste nel mostrare che le fibrazioni dei near-field regolari di dimensionet+1 sul nucleo , quando , si ottengono da fibrazioni regolari con una operazione di scambio fra alcuni sistemi di matrici, che generalizza il procedimento di sostituzione di regoli con regoli opposti di quadriche rigate nel caso di dimensione due sul nucleo.     

Sul contatto fra superficie e coniche. Una caratterizzazione differenziale della superficie romana di Steiner

Sunto Data una superficie analitica Σ dello spazio proiettivo ordinario ed un suo punto O, si considera il cono inviluppo K dei piani passanti per O e secanti la superficie Σ secondo curve per le quali O è sestattico. Si dimostra che le uniche superficie analitiche non rigate per cui K è riducibile in ogni punto sono: la superficie romana diSteiner e la sua duale (superficie cubica diC. Segre), e le superficie che sono inviluppate da una famiglia ∞¹ di quadriche, ciascuna delle quali è osculatrice in tutti i punti di una conica. Si tratta poi l’analoga questione per le superficie rigate.     

Multiplicative commutators in division rings II

SiaD un corpo,Z il centro diD, e supponiamo cheZ non sia numerabile. Allora:

1. Se tutti i commutatorix y x ^?1 y^?1 sono periodici rispetto aZ, D risulta un campo.
2. SeN è un sottogruppo sottonormale diD che è periodico rispetto aZ,N risulta centrale.

Questi risultati ci portano più vicino alla soluzione di congetture fatte da noi in un articolo precedente.     

Invarianti e ipoellitticità per una classe di operatori pseudodifferenziali

Riassunto In questa nota si introduce un invariante, mediante il quale si danno condizioni sufficienti di ipoellitticità e propagazione delle singolarità per operatori pseudo-differenziali, degeneri di certi ordini ≥2 su una varietà chiusa conica involutiva di*R ^R. Si utilizzano risultati ottenuti per operatori quasi-omogenei [5], [7], [8], [9], provando che, almeno microlocalmente, gli operatori considerati sono di questo tipo.

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Summary In this paper we shall introduce a class of pseudodifferential operators for which we define an invariant and we obtain sufficient conditions for the hypoellipticity and propagation of singularities. Our approach here is to consider the operators as P.D.O. which are anisotropic (quasi-homogeneous) with respect to some weight: for the definitions and the relevant properties of quasi-homogeneous P.D.O. we refer to [5] or [7].