关于折线的一个猜想的证明

文[1]中，王方汉老师有如下猜想：当n为形如4m－1（mEN）的素数时，生成数列凡一l＝（1，2，…，牛／，M，…，2，l）所确定的数列B，，具有遍历性．也就是说，设数列凡1＝（r，12，…，r。－l），h为正整数，B。＝（hi，bZ，…，b。），1＝hi＜bZ＜…＜b。且均为整数，设凡；与B。之间有如下映射关系：。。。。，；；＝（1，2，…，宁，宁，…，2，1）且n为形如4m－1的素数时，数列B。各项被n除的余数恰是0，1，2，…，n－1的一个全排列．显然，数列B。＝（hi，bZ，…，b。）各项被n除的余数恰是0，1，2，…，n一且的一个全排列等价于…     

用判别式解题谨防“三忽视”

1忽视分类讨论例lm为何值时，（m－1）xZ一地；；－1）x－1＜06成立？错解即时,原不等式恒成立,剖析不题打本指明卜；－1）x‘－3（；，；一回）l’一回为二双函数，因此。一1可为0，故四分类讨论．正解若，n—1—06d，属不署式但成正；琶m—1士06立，依副所述知，当三＜n。＜互的，原不等式压成立2忽视有解的前提条件例26程x‘＋（。n—2）x一（。n—3）＝0的两根为l’l，12，末x卜xg的极小盾错解困韦达定理自剖析上述解答忽视了方程有解的动提条件，即面一（m－2）’＋4（。n—3）＞0。；n＜－2人都”。ZZh而7）；＝1的，原方程无买根正…     

一个不等式的解集

文[1]用反例否定了不等式l）x]，文[2]给出了此不等式成立的一个条件，但该条件过繁且不够透彻．本文求出此不等式的解集结论已知nN，则不等式的解集是＿1＿，十］＿．＋］1＿D＆M】·＜》＋——巨工为十——乏＼7Mb十——．一l·－－—一D、－17＋］——一rt其中kEZ，i—1，2，…，n一川．证明设x一卜卜ZxI，则0qxI＜1，故原不等式即为（n＋1）hlx〕＋，；Ixl」＜n【（n＋1）卜I－（。；＋1）x所以（n＋l）卜卜」卜（n＋1）卜lxl」＜nl（n＋1）［x］」＋n［（n＋1）x］，即（n＋1）【n《xl」＜nl（n＋1）lxl」．（。）当0＜Ix【＜上…     

一类函数条件最值的矩阵求法

设有n元二次齐次函数并设B＝（bij）为正定阵，求函数（1）在条件下的最大值与最小值。设则所讨论问题可表述为：求f（x1，x2，…，xn）＝x’八x在条件O＜a＜x’Bx＜b下的最大值与最小值。（3）本文的主要结果如下①：定理设A为n阶实对称阵，B为n阶正定阵，则1）卜一只刚一0的根全为实根；2）设人1＜人＜…＜人是卜一人则一0的全部根，则条件极值问题（3）的最大值finex和最小值八n为证明1）由于B是正定阵，故存在可逆阵P，使得B一PP。令C一（P－）AP－。则C为对称阵，从而其特征值均为实数。即IC－AEI一O的根为实根。但IC－AE；…     

判定递推数列极限存在的一种方法

在讨论极限问题时，对于单调有界数列常用单调有界原理判定其极限的存在性。但是有些数列本身就不具有单调有界性，或是其单调有界性难以考查，这时单调有界原理就无能为力了。本文绘出一个不用单调有界原理而判定数列极限存在的例子。例求数列分析若设满足X一八X）。通过观察可以看出，x一3是方程X一人X）的一个根，有可能就是所求的极限值。这使我们想到要对DX。一引进行估计。则数列的通项为并且。＜／方，x。＜／方．如果没。＜／方，则。＋；＝V13一地方＜／乃，所以。E［0，、／元」，n—l，2，·：·．而在［0，／乃」上，，则在…     

污染数据回归分析中估计的强相合性

考虑简单回归模型（Ⅰ）yi＝α＋xiβ＋εi，i＝1，2，…，n，与半参数回归模型（Ⅱ）yi＝xiβ＋g（ti）－εi，i＝1，2，…，n，其中Eεi＝0，Eεi2＝σ12．假定y1，y2，…，yn受到另一独立同分布随机变量序列μ1，μ2，…，μn的污染，且仅能观察到污染数据，｛μi｝与｛yi｝独立．对文[1]，[2]中给出的α，β，g（·）及污染参数v的估计，本文在适当的条件下，证明了它们的强相合性．     

成功率的序贯检验与检验后成功率的置信限

设｛Xi，i1｝是一独立同分布随机变量列，q＝p（Xi＝0）＝1-P（Xi＝1）；其中q未知．设｛An：1nn0｝和｛Rn：1nn0｝是任二个数集，它们满足A1A2…An0，0＜R1R2…Rno。，Ai＜Ri（i＝1，…，no-1）和Ano＝Rno。对于假设HO：qq0（0＜q0＜1）我们考虑序贯检验△＝（r，d），其中r＝min｛n：n1，DnAn或DnRn｝：d＝I（Dr≥Rr），这里Dn＝．IA是集A的示性函数，“d＝1”意味着拒绝H0，“d＝0”意味着接受H0，在本文中基于数据（τ，Dr）我们找到了q的某种意义下的最优置性下（上）限．     

为何韦达定理不适用

题目已知圆x2＋y2=4与抛物线y2=ax（a＞0）相交于A、B两点，且IABI—2乃，求该抛物线的焦点坐标．解设A、B两点的坐标分别为：（11，yi），（xZ，yZ），由于题设条件中的圆和抛物线均关于2轴对称，故有2；一22＞0，y．—一yZ。＿．．I＿－．－－－－－－fu＿＿。＿M且Iyll—lyZI一一一J3，不妨取yi一J3，趴x＼yL4得x，＝1或x＝－1（一，将A点坐标（1，厄）代入y‘一。得。一3，rt抛物线的焦点坐标为（号，0）．’，”－”－””””’”””——””””4’一””笔者在课堂上讲完该解法后，让学生用韦达定理试试，立即有学生提出该…     

ON A LINEAR DELAY DIFFERENCE EQUATION WITH IMPULSES

IIntroductlonLet N denote the set of all Integers．FOr any a;b E N,define N(a)＝{a,a＋1,…},N(a,b)二{a,a＋1,…,b}when a＜b．Consider the dlf卜巳renceequationl 凸x。＋P。x。－。＝0;nEN(0)andN4n。;2—“－””’”门二l0 凸X。,＝~X。,,JENO);where A denotes the forward difference operator八。。＝x。＋l一 x。,{P。} Isa sequence ofnon－negative real numbers,{nj}Is a sequence ofnon－negativeIntegers with nj＜nj＋lfor j E N(1)and nj一 co as ;一 co,{4}Is a sequence。I优。且皿mb ers,…     

奇摄动非线性系统Robin边值问题

本文研究了非线性系统奇摄动问题：ε2y"－（x，y，y）＝0，0＜x＜1，0＜ε≤1，y（0）－py'（0）＝A，p＞0，y（1）＝B，其中y，f，A，B为n维向量．在相应的假设下，利用代数型边界层函数，证明了该问题存在一个解y（x，ε），并利用微分不等式方法得到了其解的渐近估计．     

一种保形C~1三次样条插值方法

本文得到了构造一个保形Ｃ１三次插值样条函数的充要条件，并给出了一种构造保形Ｃ１三次插值样条函数的方法．     

一类有理插值曲面模型及其可视化约束控制

本文构造一类新的基于函数值和偏导数值的双变量加权混合有理插值样条.与已有的有理插值样条相比,这类新的有理插值样条具有以下四方面的特性,其一,插值函数可以由简单的对称基函数来表示;其二,对任何正参数,插值函数满足C1连续,而且,在不限制参数取值的条件之下,插值曲面保持光滑;其三,插值函数不但含有参数,而且带有加权系数,增加了插值函数的自由度;其四,插值曲面的形状随着参数与加权系数的变化而变化.同时,本文讨论此类插值曲面的性质,包括基函数的性质、积分加权系数的性质和插值函数的边界性质.此类插值函数的优势在于,不改变给定插值数据的前提下,通过选择合适的参数和不同的加权系数,对插值区域内的任意点的函数值进行修改.因此可将其应用于曲面设计,根据实际设计需要,自由地修改曲面形状.数值实验表明,此类新的有理样条插值具有良好的约束控制性质.     

Shape-Preserving C 2 Functional Interpolation via Parametric Cubics

The paper proposes a method for the construction of a shape preserving C ² function interpolating a given set of data. The constructed interpolant is a parametric cubic curve. The shape of the curve can be easily controlled via tension parameters which have an immediate geometric interpretation. The approximation order is investigated and numerical examples are presented.     

一种基于函数值的二元有理插值函数及其性质

利用带参数的仅以被插函数的函数值作为插值条件的一元有理插值方法,构造了一种分母为双二次的仪基于函数值的二元有理双三次插值函数,插值函数具有简洁的显示表示,插值函数中含有四个参数,当这些参数满足一定条件时,插值曲而在插值区域上C1光滑.由于插值函数中含有参数,这样可以在插值数据不变的情况下通过对参数的选择进行插值曲面的局部修改,最后讨论了插值函数的一些性质.     

An energy-minimization framework for monotonic cubic spline interpolation

This paper describes the use of cubic splines for interpolating monotonic data sets. Interpolating cubic splines are popular for fitting data because they use low-order polynomials and have C² continuity, a property that permits them to satisfy a desirable smoothness constraint. Unfortunately, that same constraint often violates another desirable property: monotonicity. It is possible for a set of monotonically increasing (or decreasing) data points to yield a curve that is not monotonic, i.e., the spline may oscillate. In such cases, it is necessary to sacrifice some smoothness in order to preserve monotonicity.The goal of this work is to determine the smoothest possible curve that passes through its control points while simultaneously satisfying the monotonicity constraint. We first describe a set of conditions that form the basis of the monotonic cubic spline interpolation algorithm presented in this paper. The conditions are simplified and consolidated to yield a fast method for determining monotonicity. This result is applied within an energy minimization framework to yield linear and nonlinear optimization-based methods. We consider various energy measures for the optimization objective functions. Comparisons among the different techniques are given, and superior monotonic C² cubic spline interpolation results are presented. Extensions to shape preserving splines and data smoothing are described.     

参数保形插值中决定切矢的方法

由分段三次参数多项式曲线拼合成的Ｃ１插值曲线的形状与数据点处的切矢有很大关系．基于对保形插值曲线特点的分析，本文提出了估计数据点处切矢的一种方法：采用使构造的插值曲线的长度尽可能短的思想估计数据点处的切矢，并且通过四组有代表性的数据对本方法和已有的三种方法进行了比较．     

A weighted bivariate blending rational interpolation based on function values

This paper presents a new weighted bivariate blending rational spline interpolation based on function values. This spline interpolation has the following advantages: firstly, it can modify the shape of the interpolating surface by changing the parameters under the condition that the values of the interpolating nodes are fixed; secondly, the interpolating function is C¹-continuous for any positive parameters; thirdly, the interpolating function has a simple and explicit mathematical representation; fourthly, the interpolating function only depends on the values of the function being interpolated, so the computation is simple. In addition, this paper discusses some properties of the interpolating function, such as the bases of the interpolating function, the matrix representation, the bounded property, the error between the interpolating function and the function being interpolated.     

有理线性插值曲线和曲面

构造了含参数的分段线性有理插值函数(分子、分母均为一次多项式),通过适当选择形状参数,由此函数产生的曲线一阶连续并且保单调.文中用张量积方法将此结果推广到二元矩形网格上的曲面插值,同时给出了插值函数的误差估计及数值例子.     

Gk保形分段2k次参数多项式插值

An interpolation scheme constructing shape preserving piecewise de-gree 2k parametric polynomial curves is presented. For the given data set {Qi＝(x1,yi) }n i-0, the shape preserving interpolation curve is Gk continuous.     

C^3连续的保形插值三角样本曲线

本给出了构造保形插值曲线的三角样条方法，即在每两个型值点之间构造两段三次参数三角样条曲线。所构造的插值曲线是局部的，保形的和C^3连续的而且曲线的形状可由参数调节。