坎迪定理的一个类比

1问题的提出我们知道,将平面几何中著名的蝴蝶定理作推广便得坎迪定理(见文[1]定理7.3.1)如图1,过圆的弦AB上的任一点M,引任意两条弦CD和EF,连结ED和CF交AB于P和Q,若AM=a,BM=b,PM=x,QM=y,则1a-1b=1x-y1(*)特别地,a=b时,即得蝴蝶定理.图1在坎迪定理中,我们是过点M作两条相交弦CD     

关于蝴蝶定理的新证法

蝴蝶定理:过一个圆的弦AB的中点M引任意两条弦CD和EF,连接CF和ED交弦AB于P、Q,求证:PM=MQ·本定理及证明的方法,详见人民教育出版社、辽宁教育出版社2001年共同出版的21世纪中学生工具书系列《中学数学命题词典》第164页~167页·该书注记了蝴蝶定理的由来和对该定理的评价,同时     

两根之积在解题中的特殊功用

一般来讲,解析几何问题中涉及弦长多是韦达定理两根之和与两根之积联用;若问题只与弦的中点有关,只用两根之和即可.那么是否单独使用两根之积的情形就没有呢?事实并非如此.通过下面例题,读者即可领略韦达定理两根之积在解几问题中的特殊功用.例1过点A(-3,1)向圆x2+y2=5引切线,求二切线的夹角.     

蝴蝶定理的几个推广

蝴蝶定理如图1所示,M是⊙O的弦AB的中点,CD、EF是过M点的两条弦,连接CF、DE分别交AB于P、Q两点,则MP=MQ(1)     

蝶心离枝亦精彩

蝴蝶定理如图1,M是⊙O的弦AB的中点,CD、GH是过M点的两条弦,连接CH、DG分别交AB于P、Q两点,则MP=MQ.     

蝴蝶定理的推广和演变

蝴蝶定理:设M是圆的弦AB的中点,过M作圆的任意两条异于AB的弦CD、EF,线段CF、DE分别交AB于G、H两点,则MG=MH。这个优美的数学名题,曾得到众多数学爱好者的青睐.美国人坎迪     

圆锥曲线的三类弦问题

<正>解析几何是高考数学的重要考查内容,常作为试卷中选拔高分的试题.而直线与圆锥曲线位置关系问题又是解析几何中常见的重要类型,纵观近年来的高考题,圆锥曲线三类弦问题须引起我们关注.本文例谈这几类问题,并探究其求解策略.在解直线与圆锥曲线的弦长问题时,通常应用韦达定理与弦长公式.若涉及到"三类弦"(焦点弦、中点弦、原点弦)问题,则可根据各自     

有心相似圆锥曲线中的花蝴蝶定理

文[1]将圆中的蝴蝶定理和坎迪定理统一推广为同心圆中的花蝴蝶定理,受其启发,笔者得到了有心相似圆锥曲线中的花蝴蝶定理.为了证明需要,我们先引入并证明圆锥曲线中的坎迪定理.1 二次曲线中的坎迪定理AB是二次曲线Ω的弦,M是AB上的任一点,过M作Ω的两条弦CD和EF,其中C,E位于AB同一测.     

两根之积在解题中的特殊功用

一般来讲,解析几何问题中涉及弦长多是韦达定理两根之和与两根之积联用;若问题只与弦的中点有关,只用两根之和即可.那么是否单独使用两根之积的情形就没有呢？事实并非如此.通过下面例题,读者即可领略韦达定理两根之积在解几问题中的特殊功用.例1过点A（-3,1）向圆x2＋y2=5引切线,求二切线的夹角.     

花蝴蝶定理

文[1]介绍了圆中的两个著名定理,即 蝴蝶定理设M是⊙O的弦PQ的中点,过点M另作两弦CD、EF,连结CE、DF依次交弦PQ于点A、B·则1/MA=1/AB.     

蝴蝶定理的一个简捷推广

蝴蝶定理是指下面的命题:如图,设AB是圆的一条弦,过AB的中点M作弦CD、EF,连结CF、DE分别交AB于点P、Q,求证:PM=MQ. 近年来,经过人们不断的研究探索,得到了该定理的多种证法.本文介绍它在圆锥曲线时的情况,并给出一种简捷的证明.     

蝴蝶定理的一种面积法妙证

<正>蝴蝶定理^([1])如图1,M是⊙O的弦AB的中点,CD、GH是过M的两条弦,连接CH、DG分别交AB于P、Q两点,则MP=MQ.周春荔教授在文([1])如图1,M是⊙O的弦AB的中点,CD、GH是过M的两条弦,连接CH、DG分别交AB于P、Q两点,则MP=MQ.周春荔教授在文^([1])中给我们展示了一幅脍炙人口的蝴蝶定理诞生、推证、拓广、演变……的美丽画卷,让人赏心悦目、引人入胜、叹为观止,使笔者受益匪浅.经探究,本文笔者给出如下一种自然而流畅的面积法妙证.     

阿基米德折弦定理有关的探索

<正>在平面几何中,阿基米德折弦定理及推论应用广泛,通常用于线段倍分关系的处理,是求解三角形问题的重要途径之一.本文从图形的结构变化的角度,通过条件重组类比推理等一系列变式,探索阿基米德折弦定理的应用.定理:一个圆中含折弦的弧的中点在较长弦上的射影就是折弦的中点.     

运用韦达定理五注意

<正>韦达定理是初中代数的重要定理,应用十分广泛,韦达定理有用但需会用.运用韦达定理除确切掌握定理外,还必须注意以下五个细节问题.一、注意根的符号例1已知α、β是方程x2+5x+2=0的两根,求(α/β)1/2+(β/α)1/2的值.解由韦达定理,知α+β=-5,αβ=2,     

圆锥曲线中定点分弦所得两线段乘积的最值问题

本文记录的是作者在一次数学兴趣活动中的内容．在这次活动中从国的相交弦定理出发，利用特殊化、一般化、类比等手段，广泛联想，探求一般圆锥曲线的弦被定点所分两线段乘积的最值问题，收到了良好的效果．现整理如下．1问题的提出设点P是op内任一定点，AB是op的过点P的任一弦．平面几何告诉我们：弦AB被点P所分两线段的乘积不随弦AB的变化而变化，即PAlPBI为定值．这就是所谓相交弦定理．回可以看成是椭圆的特殊情形，（利用特殊与一般的关系提出问题）那么一般地，在椭圆中弦AB被椭圆内定点P所分两线段的乘积PAPB还是定值吗？显…     

抛物线中的定点弦问题

文[1]对圆锥曲线中的定点弦问题进行探讨,本文再给出与抛物线中的定点弦有关的另二个定理.定理1已知AB为抛物线C:y2=2px(p>0)的一条动弦,O为坐标系原点,OA·OB=t(t为常数且t p2≥0).(i)当A,B两点位于x轴的两侧时,AB弦过定点(p p2 t,0).(ii)当A,B两点位于x轴的同侧时,AB弦过定点(p-p2 t,0).证设AB:my x n=0,代入抛物线C:2y2=2px得:y2 2pmy 2pn=0,设A(y12p,y1),B(y222p,y2).由韦达定理得y1y2=2pn(1)∵OA·OB=t,∴(y1y2)24p2 y1y2=t,即(y1y2)2 4p2(y1y2)-4p2t=0.∵t p2≥0,∴Δ=(4p2)2 16p2t=16p2(p2 t)≥0,2±16p2(p2 t)∴y1y2=-4p2…     

加强一个几何定理及其应用的指导

众所周知,圆幂定理是平面几何学中一个极其重娶的基本定理,它在几何证明积几何计算中有着广泛的应用。现行部编初中数学教材把它隐含在讲过相交弦定理、切割定理后练习题中,见《几何》第二册P_3,练习4:根据下图,运用勾股定理证明:(1)弦     

抛物线焦点弦性质的一类问题探究

<正>抛物线焦点弦的性质非常丰富,对于直线过抛物线焦点的这类问题,通常采取"设而不求"法,利用韦达定理,减少变量去解决.有时利用抛物线的定义、抛物线焦点弦的性质和平面几何的知识,常常可以化难为易,化繁为简,收到意想不到的效果.下面以2018年全国课标Ⅲ卷的第16题为例进行分析说明.     

浅说垂径定理的应用

华东师大版《数学》九年级 (上 )第四十八页“试一试” ,同学们 ,发现了什么结论吗 ?这个结论是 :垂直于弦的直径平分弦 ,并且平分弦所对的两条弧 .这个结论叫做垂径定理 .而实际上 ,如果一条直线具有 :( 1 )垂直弦 ;( 2 )过圆心 ;( 3 )平分弦 ;( 4 )平分弦所对的劣弧 ;( 5 )平分弦所对的优弧这五个性质中的任何两个 ,那么它同时也具有其余三个性质 .(具有 ( 2 )、( 3 )时 ,弦不能为直径 ) .一、垂径定理是进行有关圆的计算的依据 ,在实际中有着广泛的应用例 1　如图 1 .在⊙O中 ,弦AB的长为 1 6cm ,⊙O的半径为 1 0cm ,求圆心O到AB的距离 .解 :过点O作OE⊥AB于E ,连结OA .因为OE过圆心且垂直于弦 ,所以平分弦 .因此　AE =12 AB =8cm .根据勾股定理 ,得OE =OA2 -AE2 =1 0 2 -82 =6cm .因此圆心O到AB的距离为 6cm .例 2　“五段彩虹展翅飞” .我省利用国债资金所建的横跨南渡江的琼州大桥 ,今年 5月 1 2日正式通车 .该桥的两边均有五个红色的圆拱 (如图 2 ) ,其中最高的圆拱的跨...     

抛物线焦点弦的性质

抛物线焦点弦具有不少性质 ,均散见在各类书刊上 .本文将系统地归纳集中 ,以期对焦点弦的几条最主要的性质有一个更全面的、更深刻的了解 .从而进一步提高运用这些性质去解决相关问题的数学素质和应用能力 .( 1 )1　焦点弦 (通径 )的定义通过抛物线焦点的直线(不与抛物线对称轴平行 )被抛物线截得的线段 ,叫做抛物线的焦点弦 ,如图 (1 ) .线段 AB叫做抛物线 y2 =2 px(p >0 )的焦点弦 . (当AB垂直于抛物线的对称轴时 ,AB叫做抛物线的通径 ) .2　焦点弦的性质定理 1　抛物线焦点弦长等于 2 p(1 1k2 )或2 psin2 α并且以通径长为最小 ,最小…