不可微优化不动点算法的收敛性

定义 设f(x)是定义在R~n上的实函数,若存在λ∈[0,1],使得对任意的x,y∈R~n,当f(x)≤f(y)时,总成立: 则称f(x)是R~n上的λ次凸函数。显然,λ=1时,f(x)即为通常的凸函数,λ=0时,f(x)为拟凸函数。 考虑一般不可微数学规划问题:     

连续函数的l凸性

在研究函数的性态时,笔者发现如下定义的l凸函数,它反映了函数中普遍存在的凸偏移现象.定义:设f(x)是定义在实数集D上的实值函数,常数l∈R,若对 xk∈M( D),pk≥ 0,k=1,2,…,n, (n∈N,n≥2),∑nk=1pk=1,都有f(∑ni=1pixi+l)≤∑ni=1pif(xi)则称f(x)为M上的l凸函数;当-f(x)为l凸函数时,称f(x)为M上的l凹函数.下面给出连续函数具有l凸性的两个判定定理:定理 1:设f(x)是定义在 [a,a+2l] (l>0)上的连续的增函数,则f(x)是 [a,a+l]上的l凹函数,也是[a+l,a+2l]上的(-l)凸函数.证明:设xi∈[a,a+l] (i=1,2,…,n),x1≤x2≤…≤xn,则xi+l∈[a+l,a…     

三角函数的凸性及其应用

1凸函数和Jensen不等式 我们首先引入凸函数的概念. 设f(x)是定义在(a,b)内的函数,如果对(a,b)内的任意两点x1,x2,都有那么称f(x)在(a,b)内是凸函数(简称f(x)为凸的).如果当x1≠x2时,(1)中不等号都成立,那么称f(x)在(a,b)内是严格凸函数(简称f(x)为严格凸的).     

凸函数在不等式证明中一个应用

凸性是函数的一个重要性质,在数学中有许多重要的应用．本文讨论二阶可微的凸函数在证明初等数学不等式时的灵活应用．设厂(x)是定义．f(x)在区间Ω上的函数,若对任意x1,x2∈Ω和A∈[0,1],成立f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-A)f(x2),则称函数厂(x)在n上是凸函数．     

关于凸函数的两个不等式

凸函数的定义,有各种等价说法,我们采用下面的定义。定义1 (上凸函数)可微分函数y=f(x)称为[a,b]上的上凸函数,如果对于任意的x1,     

不可微规划算法的实现

本文考虑如下的不可微规划问题其中目标函数f是局部Lipsohitz函数。根据可以定义方向导数f~0(x; d)和次微分集合(?)f(x)。现有的一些求解(NSP)的算法,例如[2],几乎都假定可以求得(?)f(x)或者(?)f(x)中的一个元素。然而,Shor指出既使f是凸函数,若(?)f(x)不是独点集,则不可能有算法保证对于ε>0,可以求得矢量g_a,使得当f是凸函数时,他同时给出一个求点x处近似次梯度的方法,即任意给定δ,δ>0,可以构造出矢量g,使得存在x∈B(x,δ),满足对于其他特殊情形,我们有如下结果。     

关于原函数的讨论

原函数的定义为:若函数f(x)在区间I上有定义,如果存在函数F(x),使得: F′(x)=f(x),x∈I     

广义凸函数性质初探

设函数f（x）在区间I上有定义．如果对于任意x_1、x_2∈I和t∈（0，1）有则说f（x）在I上为下凸的．如果对于任意x_1、x_2∈I和t∈（0，1）有则说f（x）在I上为上凸的，如果对于一切t∈（0，1），（1）式（（2）式）中的等式仅当x_1＝x_2时成立，则说f（x）在I上为严格下凸（严格上凸）的．显然，如果f（x）在I上是上凸的，则－f（x）在I上就是下凸的．为此，以下我们着重讨论下凸函数由［1］，若函数f（x）在区间I上连续且对任意x_1、x_2∈I成立，则f（x）在I上是下凸的．对于凸函数，我们有著名的Jensen不等式：命题1设f（x）是区间…     

构造函数利用单调性解题

由函数单调性的定义容易知道 :(1 )若函数 f (x)在区间 I上单调增 ,且x1、x2 ∈ I,则 f(x1) x2 ;(3 )若函数 f(x)在区间 I上单调 ,且 x1、x2 ∈ I,则 f (x1) =f (x2 )　 　 x1=x2 .根据题目的特点 ,构造恰当的函数 ,利用函数单调性来解题是一种常用技巧 ,本文在此作点归纳和介绍 .1　巧用单调性解方程 (不等式 )例 1　解方程　 3 x 4x =5x.解　易知原方程同解于方程 (35) x (45) x=1 ,观察知 x =2是此方程的解 .易知 ,函数 f (x) =(…     

关于A-有序有界变差

§1前言 设f(x)是定义在一个区间上的实函数。对每一个区间I=[a,b],记f(I)=f(b)-f(a)。若区间J处于区间I的右边,则记之为II.若对每一j有I_j<(j 1),(或I_j>I_(j 1),则称{I_n}为有序的。A表示单调不减的正数序列{λ_n},它满足条件 sum from n=1 (1/λ_n)= ∞ (1)如果 其中,记号sup表示关于区间Ⅰ=[a,b]内每一互不重叠的区间列{I_n}取上确界,则称函数f(x)是区间I上的A-有界变差函数,记作f∈∧B∨,区间函数V_∧(I)=V(F;I)=     

显凸函数的一些性质

最近,薛声家教授在文[1]中提出了一种新的凸性概念——显凸函数。它是比严格凸函数弱且又不同于凸函数的一类新凸性。文[1]对它已作了初步讨论。本文继续的工作,给出显凸函数的一些性质。定义称f是凸集S(?)R~n上的显凸函数,若对任意x,y∈S,f(x)≠f(y),有首先,给出显凸函数的一个特征性质,它类似于凸函数的一个已知性质。     

补偿凸变换与半凸函数的几何奇点提取

补偿凸上变换和下变换是对给定函数作"紧贴"逼近的单参数单向变换.本文将它们应用到R~n中局部具有一般模的半凸/半凹函数和DC-函数(即两个凸函数的差函数)的奇点提取.(局部)半凹函数最常见的几何例子有Euclid距离函数和平方Euclid距离函数.对于局部具有一般模的半凸函数f,本文证明在局部意义下,x是f的奇点(即不可微点)当且仅当它是f的1-阶"谷点",因而用本文的方法可以从具有一般模的局部半凸函数中提取所有的这些精细的几何奇点.更确切地讲,如果f是局部具有一般模的半凸函数,则"局部的"1-阶"山谷"变换在每个点x的极限存在,而且有显式表示lim_(λ→+∞)λV_λ(f)(x)=r_x~2/4,其中Vλ(f)(x)是f在x点的"山谷"变换,rx是f在x点次微分?-f(x)的最小包含球面的半径.所以,极限函数V∞(f)(x):=lim_(λ→+∞)λV_λ(f)(x)=r_x~2/4提供了一个半凸函数奇点1-阶"谷点"的"景观函数".同时,它也提供了补偿上凸变换Cuλ(f)(x)当λ→+∞时的一阶渐近展开式.对于具有局部线性模的局部半凸函数,本文进一步证明,补偿凸上变换的梯度当λ→+∞时的极限lim_(λ→+∞)▽C_λ~u(f)(x)存在,并且这个极限等于次微分?-f(x)的最小包含球面的中心.对于DC-函数f=g-h,本文证明它的1-阶"边缘"变换,当λ→+∞时满足lim inf_(λ→+∞)λE_λ(f)(x)(r_(g,x)-r_(h,x))~2/4,其中r_(g,x)和r_(h,x)分别是次微分?-g(x)和?-h(x)的最小包含球面的半径.     

关于用逐段多项式逼近

<正> 记,I=[-1,1],对自然数 n,命 x_j~(n)=-1+j/n,I_j~(n)=(x_(j-1)~(n),x_j~(n)),j=0,1,2,…,2n.又记 S_(n,k)为定义在 I—{x_j~(n}_j~(2n)=0上的这样的实函数 p_n(x)的全体:p_n(x)在每个区间,I_j~(n)(j=1,2,…,2n)中是次数不高于 k 的代数多项式.与通常的样条函数不同,我们并没有要求 p_n(x)在分点 x_j~(n)处的连续与光滑.关于用这类逐段多项式函数逼近 I 上的实函数 f(x),1974年 O.Shisha 证得如下的定理 设α>0,则 f 在 I 上满足(?)阶 Lipschitz 条件的充分兼必要条件是:有常数C,使得对于 n=1,2,…都有 p_n∈S_(n,0),适合不等式     

考点4 函数的性质

1.(重庆卷,3)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是().(A)(-∞,2)(B)(2,+∞)(C)(-∞,-2)∪(2,+∞)(D)(-2,2)2.(山东卷,4)下列函数中既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的是().(A)f(x)=sinx(B)f(x)=-x+1(C)f(x)=12(ax+a-x)(D)f(x)=ln22-+xx3.(辽宁卷,10)已知y=f(x)是定义在R上的单调函数,实数x1≠x2,λ≠-1,α=x11++λλx2,β=x21++λλx1.若f(x1)-f(x2)相似文献   

抽象受控不等式的同构映射

通过提出抽象平均、抽象凸函数、抽象控制和抽象受控不等式的同构映射概念,建立了抽象凸函数同构映射的基本定理:设(■)_F和(■)_S为抽象平均,α(x)为严格单调(■)_(F-)-函数,β(x)为严格单调递增(■)_(S-)-函数,那么f(x)为抽象(■)_F→(■)_S严格上凸函数的充分必要条件是:f*(x)=β~(-1)o f oα(x)为抽象(■)_F~α→(■)_S~β严格上凸函数,这里(■)_F~α=α~(-1)o(■)oα,(■)_S~β=β~(-1)o(■)_S oβ.在抽象平均同构映射的基础上,获得了抽象受控不等式同构映射的基本定理:记a_i=α~(-1)(x_i),b_i=α~(-1)(yi)(i=1,2,…,n),则不等式(■)_S{f(x_1),f(x_2),…,f(x_n)}(■)_S{f(y_1),f(y_2),…,f(y_n)}成立的充分必要条件是:不等式(■)_S~β{f~*(a_1),f~*(a_2),…,f~*(a_n)}(■)_S~β{f~*(b_1),f~*(b_2),…,f~*(b_n)}成立.作为基本定理的简单应用,证明了算术受控不等式、几何受控不等式和调和受控不等式这三类不等式是同构的.简而言之,这三类受控不等式是等价的.     

可微凸函数的又一特征

设函数,f(x)在区间Ⅰ内二阶可导。文[1,P.175]、[2]指出以下命题互相等价: (ⅰ) f(x)为Ⅰ上的上(下)凸函数; (ⅱ) f″(x)≤(≥)0(x∈Ⅰ); (ⅲ) f(x)+f(y)≤(≥)2f(x+y/2)(x,y∈Ⅰ); 本文获得了凸函数的又一特征:     

关于f(x、y)连续性的几个定理

<正> 关于二元函数z=f(x、y)的连续性,在高等数学中,一般仅给出它的定义,除用定义判断其连续外,却很少涉及其它方法。本文将给出判断二元函数f(x、y)连续的几个充分条件。定理1 设f(x、y)在区域D上有定义,若1)f(x、y)对x、y连续,2)f(x、y)对x是单调的,则     

关于函数的光滑性与可微性

设f(x)是定义在区间[-1,1]上的实函数,对δ>0,称为函数f的光滑模。如果f是连续函数,而且δ→0时,ω_2(f,δ)=o(δ),则说f在[-1,1]上是均匀光滑的。这是A.Zygmund的定义,他在专著[2]中指出,存在不可测函数g(x),对一切x及h都满足等式     

一个定理及其在解方程组中的应用

设f(二)是定义在实数集R上的实函数,从这个函数出发,我们构造新函数 F(二)~f(f(‘));显然这个函数也定义在R上.函数F通常称为函数f的迭代,从下图容易看出,借助于函数f(x)的图形,对于自变量的具体的值劣气能哆求出迭代值f(f(x釜))。 我们考虑方程 f(f(二))二二 首先注意到,x。是方程 f(x)=二 (1)如果(2)┌────┐├主──┐││}一蔺 ││└───┴┘的根,那么二。也是方程(1)的根.但方程(1)也可能有另外的根,这个根不是(2)的根(从图形可看出这个事实来)。 下面我们指出,在什么情况下方程(1)与方程(2)是等价的. 定理如果对某个数a,函数…     

两种解法,孰是孰非

问题已知函数y=f(x)在(a,b)上的导函数为f'(x), f'(x)在(a,b)上的导函数为f"(x),若在(a,b)上f"(x)<0恒成立,则称函数f(x)在(a,b)上为"凸函数".……