用点差法解决直线被二次曲线所截弦问题的研究

圆锥曲线问题是历届高考的重头戏．其中，设点作差法(简称为“点差法”)在解决直线被二次曲线所截弦的问题中有着广泛运用．在初学点差法时，我由于没有吃透它的实质，做起题来思路很乱．经过反复思考，我终于对点差法有了比较清晰的认识，并与另一重要方法——利用韦达定理求解作了一番比较，得出一些规律，在此想与大家交流一下．     

点差法及其应用

在研究直线被圆锥曲线截得中点弦问题时,常设出弦端点坐标,并代入圆锥曲线方程得两式,将两式相减．这种解题方法,不妨叫设点求差法,简称点差法,其解题的主要步骤有：     

别样的“点差法”

对于非中点弦问题,用“点差法”解题会有出奇制胜的效果,体现整体意识,简单自然,直击问题核心,本文结合实例进行说明.     

“点差法”在解析几何中的灵活运用

在历年高考中,经常会出现有关直线与圆锥曲线关系的试题．特别在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点、对称问题时,我们常用如下解法：设直线与曲线的两个交点的坐标为A（x1,y1）、B（x2,y2）后,     

点差法及其应用

在研究直线被圆锥曲线截得中点弦问题时,常设出弦端点坐标,并代入圆锥曲线方程得两式,将两式相减.这种解题方法,不妨叫设点求差法,简称点差法,其解题的主要步骤有:1.设弦的端点坐标;2.代入方程两式相减;3.建立端点与中点的坐标关系;4.求弦所在直线斜率.点差法解题过程规律化,运算简单化,适     

点差法与向量联手简解中点弦问题

中点弦问题是直线与圆锥曲线的重要题型,也是高考的热点问题.在解答中点弦问题中的一个比较理想的方法是,点差法与直线斜率联合解题.它比用根与系数的关系和直线斜率联合解题,具有"设而不求"减少运算量的功效,但美中不足的是,有时需要对斜率的存在性进行分类讨论,甚至在运算变形过程中还要进行第二次分类,很容易造成逻辑上的混乱和表达上的困难,常给人"会而不对,对而不全,全而不美"的解题感受.向量是解决直线问题的一把利剑,若将点差法与向量联手,则可达到一种新的解题效果和解题体验.     

妙用点差法——解决有关斜率中点或直线对称问题

点差法在解决与弦的中点和斜率有关问题或圆锥曲线上的两点关于某条直线对称的问题上有独特的优势．它不但可以简化运算,达到“设而不求”的目的,还可以优化解题过程,达到事半功倍的效果．本文试图通过具体例子说明其独特魅力．     

双曲线中点弦存在性问题

在我们高中复习书中有这样一道题：已知双曲线C：x^2-y^2/2=1过点B（1,2）能否作直线m,使得直线m被双曲线C截得的弦Q1Q2以B为中点？     

“张冠李戴”又如何——点差法失效的成因与结果分析

1前言点差法在解析几何中的重要地位与"神奇"效果,是每一位高中数学教师所熟知的.所以在圆锥曲线的教学过程中,教师对点差法的高度重视是绝对有理由,也是符合教学实际的.但由于大部分教师(包括笔者)对点差法的理解又是"局限"的,或者说有盲点所以在实际教学过程中还是多少存在着一     

别把“增根”不当根

解分式方程去分母时,方程两边同乘最简公分母,得到整式方程.如果所乘的最简公分母不为0,所得到的整式方程与分式方程同解;如果所乘的最简公分母为0,所得到的整式方程的解就不一定是原来分式方程的解,其中使最简公分母为0的解,就不是原方程的解,称为原方程的"增根".分式方程的"增根"有两个特征:一是原分式方程去分母后所得到的整式方程的根,因此在解决分式方程有关问题时千万别把"增根"不当根;二是"增根"必使原方程中的最简公分     

关注圆锥曲线中的三类弦问题

圆锥曲线的弦是考查直线与圆锥曲线的位置关系的重要知识背景,因此抓住圆锥曲线的有关特征弦,是解决这类问题的关键,圆锥曲线中主要以焦点弦、原点弦、中点弦等进行考查,下面采撷六例予以分类解析,旨在探索题型规律,揭示解题方法.     

用对称作差法处理弦的中点问题

记f（x，y）=Ax^2＋Bxy＋Cy^2＋Dx＋Ey＋F． 设点P（m,n）是圆锥曲线C：f（x，y）=0的一条弦AB的中点，C′是C关于点P对称的曲线（如图1），则曲线C上点A（B）关于点P（m，n）的对称点，B（A）在曲线C′上，故A，B是两曲线C，C′的交点。     

由一道中考题想到的翻折问题

我们先看一道中考题例1如图1,在△ABC中,点P为BC边中点,直线a绕顶点A旋转,若B、P在直线a的异侧,BM⊥直线a于点M,CN⊥直线a于点N,连接PM、PN;(1)延长MP交CN于点E(如图2).①求证:△BPM≌△CPE;②求证:PM=PN;)若直线绕点     

圆锥曲线的对称问题例析

圆锥曲线上存在两点,关于某条直线对称,求参数的取值范围,这类问题的常见解法是:设P(x1,y1)、Q(x2,y2)是圆锥曲线上关于直线y=kx+b对称的两点,则PQ的方程为y=-1/kx+m,将之代入圆锥曲线方程,得到关于x(或y)的一元二次方程,其中P、Q的坐标即为方程的根,故△＞0,从而求得k(或b)的取值范围.例1 已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y=1交于A、B两点.     

三角求解中“增根”问题的对策

三角函数具有周期性，这一特点决定了多个角可能会对应同一个函数值，这就造成了三角求解中经常会出现“增根”现象，如何杜绝这一现象呢？下面就教你几招，你看能否奏效．     

一题多解 妙探『中点弦』问题

一、“中点弦”问题 “中点弦”问题是指圆锥曲线上两点的中点(已知或待求)一类问题的统称,在平面解析几何中与“中点弦”有关的类型是典型且重要的.     

分式方程无解与增根之间的奥秘

分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念.同学们在学习分式方程后,常常会对这两个概念混淆不清,认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事,事实上并非如此. 分式方程有增根,指的是解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程的变形过程中,方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式,从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值.因此增根具有两个特征:其一,它是分式方程化为整式方程后的整式方程的解;其二,它使最简公分母等于0.而分式方程无解则是指不论未知数取何值,都不能使方程两边的值相等.它包含两种情形:其一,原方程化去分母后的整式方程无解;其二,原方程化去分母后的整式方程有解,但这个解却使原方程的分母为0,它是原方程的增根,从而使原方程无解.现举例说明如下.     

对双曲线中定长焦点弦的条数问题的探究

本题是一道常规的解析几何问题．利用点斜式方程、一元二次方程根与系数的关系以及弦长公式,     

一元二次方程根的判别式的应用

<正>一元二次方程根的判别式是初中数学的重要内容,本文以近年中考中所考查的题型为例,归纳整理如下,供同仁们参考.一、求待定字母的取值范围(1)已知方程根的情况,求待定字母的取值范围例1若关于x的方程(k-1)x2+2(k)^(1/2)x+1=0有两个不相等的实数根.求k的獉獉取值范围.析解由题意"方程有两个不相等的实数獉獉根"可知:该方程是一元二次方程,且Δ>0,即