由一道常见题想到的

<正>常见这道习题:已知f(x+(1/x))=x~2+(1/x~2),求f(x).对其往往采用先配方再换元来求f(x).f(x+(1/x))=x~2+(1/x~2)=(x+(1/x))~2-2.令u=x+(1/x),则f(u)=u~2-2,|u|=|x+(1/x)|=|x|+(1/|x|)≥2.     

一个不等式与一组希望杯最值问题

我们在高考复习中遇到了这样一个不等式:设x1,x2∈R,y1,y2∈R ,则有x21/y1 x22/y2≥(x1 x2)2/y1 y2 (*),当且仅当x1/y1=x2/y2时,等号成立．它的证明较为简单: (x21/y1 x22/y2)(y1 y2)=(x1 x2)2     

1、究竟是哪一个解

题:已知f(1/x)=x (1 x~2)~(1/2),求解方程f(x)=2x。解法一:由已知变换得f(x)=1/x (1 x~2)~(1/2)/|x|,又f(x)=2x ∴1/x (1 x~2)/|x|=2x     

一个竞赛不等式的多方位推广

文[1]中给出了下列结果:已知x1,x2,…,xn∈R ,则x12/x2 x22/x3 … xn2/x1≥x1 x2 … xn (4(x1-x2)2)/(x1 x2 … xn)(1)文[2]给出了不等式(1)的进一步推广结果:已知x1,x2,…,xn∈R ,n,m,s∈N ,m>s,则x1m/x2s x2m/x3s … xnm/x1s≥x1m-s x2m-s … xnm-s (4(x1-x2)2)/((m-s)(x1s 2     

求函数解析式的几种方法

已知一个函数适合某种性质或某种关系,求这个函数的解析式,对这个问题学生感到困难。现就这个问题介绍几种求函数解析式的方法: 一、定义法例1 已知f(1+x/x)=1+x~2/x+1/x,求f(x)。解:∵f(1+x/x)=1+x~2/x~2+1/x=(x~2+2x+1)-2x/x~2+1/x=(x+1/x)~2-x+1/x+1     

一个竞赛不等式的多方位推广

文[1]中给出了下列结果： 已知x1，x2，…，xn∈R^＋则 x1^2/x2＋x2^2/x3＋…＋xn^2/x1 ≥x1＋x2＋…＋xn＋4（x1-x2）^2/x1＋x2＋…＋xn （1）[编者按]     

谁是准非

题:求函数y=(sinx+1/sin~2x)+(cos~2x+1/cos~2x)的极值。下面给出两个解答: 解一■解二∵sin~2x+cos~2x=1 ∴1/sin~2x+1/cos~2x=1/sin~2xcos~2x =4/sin~22x≥4 ∴y_(min)=5. 显然,两个答案不可能都正确。那么,究竟谁是谁非呢? 注意:式子sin~2x+1/sin~2x≥2,当且仅当x=kπ+n/2时等号才成立,而此时1/cos~2x不存在;式子cos~2x+1/cos~2≥2当且仅当x=kπ时     

y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)是奇函数吗

题目:判断函数y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)的奇偶性。解:y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)=(2sin~2(x/2)+2sin(x/2)cos(x/2))/(2sin~2(x/2)+2sin(x/2)-cos(x/2))=2sin(x/2)(sin(x/2)+cos(x/2))/2cos(x/2)(cos(x/2)+sin(x/2))=tg(x/2)。∵ y=tg(x/2)是奇函数。∴ y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)是奇函数。表面看来,以上解法无懈可击。但如果注意到当     

巧用不等解相等两例

例1 已知2x2 y/2x 1/xy=3且xy>0,求 x,y的值．解析本题中一个方程两个未知数似乎缺少条件,但由于xy>0,因而2x2,y/2x,1/xy均为正．再由基本不等式可得2x2 y/2x 1/xy≥3．由题设条件2x2 y/2x 1/xy=3可知等号成     

构造“零件不等式”证明一类条件不等式

文[1]用初等方法证明了不等式：若xi〉0，i=1，2，3，且x1＋x2＋x3—1，则1/（1＋x1^2）＋1/（1＋x2^2）＋1/（1＋x3^2）≤27/10     

巧解一则

例题求函数y=x2 5/(x2 4)~(1/2)的最小值．解 y=(x2 4)~(1/2) 1/(x2 4)~(1/2) =(4(x2 4)~(1/2)-1/4(x2 4)~(1/2))2 2     

妙求值域一例

题目求函数y=x (x~2 x 1)~(1/2)的值域.解y-x=(x~2 x 1)~(1/2) =((x 1/2)~2 3/4)~(1/2)≥3~(1/2)/2.又(y-x)~2=x~2 x 1(?)x=(y~2-1)/(2y 1),     

一个征解轮换对称不等式的初等证明

用初等方法证明了不等式:设xi>0,i=1,2,…,n(n≥3),则x2/x1(x3 x4 … xn) x3/x2(x4 x5 … x1) … x1/xn(x2 x3 … xn-1)≥(n-2)(x1 x2 … xn)     

一道自主招生试题的加强及推广的统一

（2010年浙江大学自主招生试题）有小于1的正数：x1,x2,…,xn且x1＋x2＋…＋xn=1．求证：1/x1-x2^3＋1/x2-x2^3＋…＋1/xn-xn^3〉4．     

有关Gamma函数的一个双不等式

本文将文献[1]中的双边不等式从自然数推广至实数,证明了下面不等式成立:(x/e)~x(2πx)~(1/2)(1 1/(12x))<Γ(x 1)<(x/e)~x(2πx)~(1/2)(1 1/(12x-0.5)),其中x≥1.     

新题征展(95)

A 题组新编 　　1.(孙金兰)(1)若f(x)=x/x+2,则f-1(x+2)=___; 　　(2)若f(x+2)=x/x+2,则f-1(x+2)=__; 　　(3)若f-1(x+2)=x/x+2,则f(x+2)=__.……     

巧用等比性质证不等式

题目 已知xi,yi∈R^＋（i=1,2,…,n）,且x1/y1〈x2/y2〈…〈xn/yn,求证：x1/y1〈x1＋x2＋…＋xn/y1＋y2＋…＋yn〈xn/yn.     

一个非等价转化问题的探究

某资料上有这样一个问题:问题|2x-a|+2/x≥1对任意x>0都成立,求a的取值范围.给出的解法是:原不等式等价于a≤2x+2/x-1或a≥2x-2/x+1,令f(x)=2x+2/x-1,g(x)=2x-2/x+1,则原不等式对任意的x>0都成立,等价于:对任意的x>0都有a≤f(x)或a≥g(x).由f′(x)=2-2/x~2,g′(x)=2+2/x~2可得:在(0,+∞)上,[f(x)]_(min)=f(1)=3,g(x)是增函数,值域为R,所以a≤f(x)对任意x>0都成立     

希望杯一试题的拓展

<正>2011年第二十二届"希望杯"全国邀请赛高一第一试第21题:(x2-2x+5)(1/2)+(x2-8x+25)(1/2)的最小值为,此时x=.解(x2-2x+5)(1/2)+(x2-8x+25)(1/2)=((x-1)2+22)(1/2)+((x-4)2+32)(1/2),此式的几何意义为点P(x,0)到点A(1,2)和B(4,3)的距离之和的最小值.设点B(4,3)关于x轴的对称点     

一道西班牙数学竞赛题的探究

<正>第31届西班牙数学奥林匹克第2题为命题1如果(x+（x²+1）^1/2)(y+（y²+1）^1/2) =1,那么x+y=0.文[1]、[2]给出了命题1的三种证法,文[2]还给出了命题1的类似命题2如果x,y∈[1,+∞),或x,y∈(—∞,—1],且(x+（x²—1）^1/2)(y+（y²—1）^1/2)=1,那么x=y.