三角形“四心”问题的向量解法探析

在平面向量的复习中。很多学生对向量与三角形的“四心”这类问题不知从何人手．究其原因在于学生对三角形的“四心”定义的理解不深刻·对向量条件转化不娴熟，下面就通常出现的几类问题例析如下．     

用共边定理探讨三角形五心的一个相似性质

平面几何问题是高中联赛的一个重难点，而三角形又在平面几何中占据着最重要的作用，因此解决三角形的问题是解决平面几何问题的基础．三角形的五心（垂心、重心、内心、外心、旁心）是三角形问题的核心，三角形的很多性质都是在五心的基础上推导出来的．三角形的五心有很多很好的性质，本文运用共边定理探讨了三角形五心中的一个较为相似的性质，这对于理解和掌握三角形及一些平面问题的证明能够起到很好的帮助作用．     

三角形四心的向量形式

近几年全国各地高考试卷中有不少题与三角形的“四心”有关,学生在解决这些问题时错误率较高,甚至是无从下手．笔者搜集了部分资料,结合本人积累的教学经验,利用向量的相关知识对有关三角形的“四心”的相关知识进行总结,重点体现出它们之间的结合,供读者参考．     

三角形的心

我们知道,人只有一个心．做事要认真,讲究一心一意；学习要专心,一心不可二用．图形呢?圆和球都只有一个心,正方形也是；可是三角形不然,它有很多很多的心。在小学我们就认识了三角形,由于交情不深,它没有向我们“交心”．到中学,与三角形交往日深,感情日笃,我们才逐渐知其心．     

四“心”归一 百变寻踪

三角形的"四心"(重心、内心、外心、垂心)具有很多优美的性质,是命制试题的重要载体,与之有关的试题往往难度较大.笔者对三角形的"四心"的向量性质进行了统一共性研究、描述和论证,发现它们有着很和谐的统一关联,应用起来非常方便.本文先推导一个定理(俗称奔驰定理,由于图形很像奔驰图标而得名),作为本文的灵魂,其余"四心"有关性质是该定理的推论,然后再通过几个例题给出它们的应用.     

一道高三检测题的解法探究

近几年,由于教材中向量的加入,高考中经常用平面向量结合三角形知识在三角形的“四心”方面做文章．常考查三角形本身的性质、“四心”的定义及性质、平面向量的运算性质及几何意义的灵活运用,三角形的“心”贯穿高考的始终．尤其是“外心”,由于它是三边中垂线的交点,体现了“中”和“垂”两个特点,又是三角形外接圆的圆心,故涉及到三角形外心的试题格外精彩．下面以一道高考模拟测试题为例来领略它的精彩．     

不等边三角形若干"心"的一个性质

笔者发现三角形“心”有如下性质:定理不等边三角形的内心I、垂心H、界心K及其旁心三角形的外心M是平行四边形的四个顶点.为了证明该定理,先给出如下几个引理:引理1△ABC中AD、BE、CF为三边上的高,垂心为H,则该三角形三边之中点,三个垂足D、E、F,三线段H A、H B、H C之中点九点     

关于三角形五心的类正弦定理

关于三角形五心的类正弦定理周才凯（湖南省炎陵县五中４１２５００）众所周知，正弦定理是揭示三角形边、角及外接圆半径之间数量关系的一个重要定理，求解三角形中的许多问题无不与之结缘．最近笔者在研究三角形五心（内心、外心、重心、垂心和傍心）的性质时发现了与五...     

三角形界心的一组性质

文［1」证明了sit设AD、AM、AP分别是bAfN的角平分线、中线和周界中线，则（1）IM／／AP，（2）J．G、I共线且JG＝ZGI．定同1三角形内心即为其中位三角形的界心．江阴设A尸为西川究周界中线，西人MN为中位三角形，J为bABC内心（如图），由引理知，U斤AP，延长LI交NM于L’，WIJ。。。。。＋。＝t。，。。。。bLMN的周界中线；连NI延长交LM于N，同理可证NN是bLMN的周界中线，即I是bLMN的界心．定理1可视为“三角形外心是中位三角形的垂心”的对偶定理．又由于“三角形垂心是它垂足三角形的内心”，于是有定理2设bADC…     

怎样判别三角形的外心

怎样判别三角形的外心６１７０６２四川攀枝花十九冶二中方廷刚什么样的点才是已知三角形的外心？除了根据定义可知到三顶点距离相等的点是三角形外心，以及两边中垂线的交点是三角形的外心外，还可由圆周角定理的一种逆命题形式得到三角形外心的另一种判别法．定理１设点...     

向量为载体 “四心”更璀璨

三角形有重心、内心、外心、垂心,称之为三角形的“四心”,它们是三角形所特有的几何特征,有着许多重要的性质,这些性质吸引着许多数学爱好者去研究,它们同时也是高考中常考的知识点.与三角形“四心”有关的问题,不少同学们还是感到有些棘手.本文通过一些典型实例,一方面,帮助同学们初步掌握以平面向量为载体的三角形“四心”问题的求解的基本技巧和方法,积累解决这类问题的基本经验;     

三角形“四心”的向量性质

三角形的外心、重心、垂心、内心是与三角形性质有密切关系的四个点.为了考查三角形的有关性质,向量与三角形四心的结合在各地考题中屡见不鲜.以下给出三角形四心的常用向量结论,并加以证明.     

三角形“四心”的向量式充要条件及其应用

2006年数学高考大纲中明确指出：要加强平面向量在平面几何中的应用。纵观近几年的高考题，我们已经体会到这种命题思想的变化。在平面向量在平面几何中的应用问题中，又以涉及三角形“四心”的试题为热点。由于三角形的“四心”与向量之间有着紧密的联系，这就为运用向量解决这类“心”题提供了可能性，预计2006年的高考还要加大对向量与三角形“心”的交汇问题的考查力度。对此，笔者给出三角形“四心”的向量式充要条件，并结合部分高考题，说明这些充要条件的应用，供复习参考。     

三角形的余切定理及其应用

上述定理简洁工整，优美别致，与三角形的正弦定理极为类似，不妨称作三角形的余切定理． 该定理揭示了三角形中的角、面积及由边构成的向量之间的独特的数量关系，为我们编拟或解答当前中学数学的热点内容之一“向量”的试题，提供了更新的背景，带来了很大的方便．下面仅举几例，供大家参考．     

平面向量三点共线定理的一个推论及其应用

中对三角形“四心”的向量统一形式从坐标法的角度给出了证明，笔者读后深受启发．经过探究，笔者发现还可以从面积法的角度证明三角形重心和内心的向量形式．     

四面体的一个体积定理的证明和应用

四面体的一个体积定理的证明和应用徐连清（内蒙赤峰巴林右旗大板三中０２５１５０）从所周知，平面几何中最简单的几何图形三角形有面积定理：“三角形的面积等于它任意两边和夹角正弦乘积的一半”，那么立体几何中最简单的几何体四面体是否也有类似的体积定理呢？下面就...     

三角形"四心"的向量视角及其应用

在《平面向量》这一章里面,用向量知识研究平面图形性质是本章的一个重要方面,充分体现了向量知识与平面几何知识的联系.例如,以向量为视角研究三角形的“四心”(即外心、内心、重心、垂心),可以得到三角形“四心”性质的向量表示.而且,从向量角度考查三角形“四心”的问题在最     

欧拉线

欧拉(公元1707～1783)1765年出版的《三角形的几何学》一书中,篇首介绍了一个著名定理:“三角形的外心、垂心和重心都在一条直线上,而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离之半”.后人称三角形的外心、垂心和重心所在直线为欧拉线.下面我们通过对这个定理的证明来认识欧拉线.     

三角形“四心”性质的讨论

三角形的“四心”即重心、垂心、内心和外心.通过查阅文献发现,已有的关于 三角形“四心”的研究主要包括“四心”的判定方法、“四心”的向量形式等方面.本文在已有研究的基础上,探讨三角形“四心”的其他性质限于篇幅,只就重心和内心作讨论,其余“两心”的性质可依此探讨. 一、“两心”的坐标表示 (1)设G为△ABC的重心,其中A(x1,y1),B(x2y2),C(x3,y3),则重心G的坐标G(x1+x2+x3/3,y1+y2+y3/3). 该结论显然成立,无须证明.     

三角形内心的性质和心距公式

三角形内心的性质和心距公式４４８２０１湖北省荆门市长林中学刘黎明４４８０００荆门市教研室甘家炎三角形的“四心”（内心、外心、垂心、重心）及其性质是《初中数学竞赛大纲》中明确规定的重点内容之一．因此，研究心距公式及心距之间的关系有其重要的意义．本文中，...