一道最值题的四种新解

题目设x,y,z∈R^＋且√x^2＋y^2＋z=1,求xy＋2xz的最大值．     

AI+BI+CI的一个上界

命题设I为△ABC的内心,则有不等式:AI BI CI≤3～(1/3)/3(AB BC CA).证明设内切圆I切BC,CA,AB于D,E,F.记AE=AF=x,BF=BD=y,CD=CE=z,则BC=y z,CA=z x,AB=x y.由余弦定理得cos2A=1 2cosA=1 AB22 ABAC·2A-CBC22=(xx( xy )(yx z)z),故IA=sin∠AEAIE=cosx2A=x(xx y)y( xz z).同理I     

某些循环不等式的直接证法

合肥工业大学苏化明先生在文[1]中应用一类三角形不等式来证明某些循环不等式，其实这些循环不等式就是由三角形不等式生成的（参考文献[2]）．本文意在借助均值不等式给出这些循环不等式的直接证法．例1设x、y、z＞0，求证：9（X y）（y＋z）（z＋x）≥8（x＋y＋z）（xy十yz＋zx）①证明左=18xyz十9x2y干9xy2＋9y2z 9yxz2十9x2x＋9xx2，右=8x2y 8x2z 8xyz 8xy2 8y2z 8xyz＋8yz2＋8xz2 8xyz，原不等式等价于x’y＋xv‘＋y’z十批十z‘x－zx’＞6ng．这用六元均值不等式易证．故原不等式成立．例2设Z、＊、Z＞0，求证：则原不等式等价于（…     

三元三次对称多项式取值非负的充要条件

1预备知识设u=x y z,v=xy xz yz,w=xyz,则u,v,w称为关于x,y,z的基本对称多项式.从线性代数中知道,每一个三元n次齐次的对称多项式f(x,y,z)均可唯一地表示成关于u,v,w的多项式.例如:∑x2=u2-2v,∑x3=u3-3uv,∑(x2y xy2)=uv-3w.其中∑表示循环求和,下同.2引理(Schur不等式)若x,y,     

Cantor集上双Lipschitz自同构的最佳Lipschitz常数

设Cr=（rCr）U（rCr＋1-r）为自相似集,其中r∈（0,1/2）,设Aut（Cr）为Cr上的所有双Lipschitz自同构组成的集合.证明了存在.f^＊∈Aut（Cr）,使得blip（f^＊）=inf{blip（f）〉1：f∈Aut（Cr）}=min[1/r,（1-2r^3-r^4）/（（1-2r）（1＋r＋r^2））],其中lip（g）=sup x,y∈Crx≠y（｜g（x）-g（y）｜）/（｜x-y｜）,且blip（g）=max（lip（g）,lip（g^-1））.     

最值问题的六种解法

<正>题目(2014年浙江省高中数学竞赛试题)设实数x,y满足方程(x+2)²+y2+y²=1,则y/x的最大值为.解法1令x=-2+cosθ,y=sinθ,θ∈[0,2π),y/x=k.则y/x=sinθ/-2+cosθ=k,即kcosθ-sinθ=2k,     

与一道USAMO试题有关的不等式链

第 2 6届美国数学奥林匹克有一道试题 :对 a、b、c∈ R ,有( a3 b3 abc) -1 ( b3 c3 abc) -1 　 ( c3 a3 abc) -1 ≤ ( abc) -1 . ( 1)本文将通过以下定理证得与 ( 1)有关的不等式链 .定理　设 x、y、z∈ R ,且 xyz =1,则3x y z≤ ∑ 1x y 1≤ ∑ 1x 2≤ 1, ( 2 )其中 ∑ 表示对 x、y、z的轮换求和 .证明　设 x y z =a,xy yz xz =b,由xyz =1,易知 a≥ 3,b≥ 3,a2 ≥ 3b.且x2 y2 z2 =a2 - 2 b,x2 y xy2 y2 z yz2 z2 x zx2 =ab - 3.经运算可得　 ∑ 1x 2= ( y 2 ) ( z 2 ) ( x 2 )…     

一道全国联赛最值问题的两种解法

<正>例题(2016年全国初中数学联赛(初三年级)试题)设实数x,y,z满足x+y+z=1,则M=xy+2yz+3xz的最大值为().(A)1/2(B)2/3(C)3/4(D)1思路1判别式法依据已知条件x+y+z=1,M=xy+2yz+3xz,通过消去x或y或z构造一元二次方程,利用一元二次方程有实数根的条件"判別式大于或等于零"建立不等式求M的最大值.     

一道试题的背景研究及其推广

定理如果一个虚数的三次方是实数,那么,这个虚数必有形式Aw或Aw2,其中,w是1的立方虚根,A∈R且A≠0.证法1设z=r(cosθ isinθ),r∈R且r≠0,sinθ≠0,ω=-12 32i=cos23π i sin2π3,则z3=r3(cos3θ i sin3θ)∈R,∴sin3θ=0.3θ=kπ,θ=kπ3,k∈Z.1)当k=6n(n∈Z,下同)时,θ=2nπ,     

一道竞赛培训题的正解

第十九届“希望杯”高一培训题第29题为： 已知实数x，y适合：2x^2＋4xy＋2y^2＋3x^2y^2=9，又设z=√2（x＋y）＋3√3xy，则z的取值范围是（ ）     

三角形中Σ1/a~2的改进形式

文 [1]给出了关于三角形三边的不等式 :设△ABC的三边长分别为a、b、c ,外接圆半径为R ,内切圆半径为r,半周长为s,面积为△ ,则1a2 1b2 1c2 ≤ 3 3R8rΔ ( 1)本文将证明上述不等式的一个改进为 (符号意义同上 ) :1a2 1b2 1c2 ≤ 14r2 ( 2 )1a2 1b2 1c2 ≥ 12Rr ( 3 )证明 :在△ABC中 ,可设a =y z,b =x z,c =x y ,则 1a2 1b2 1c2 =1(y z) 2 1(x z) 2 1(x y) 2 =1(y-z) 2 4yz 1(x-z) 2 4xz 1(x -y) 2 4xy≤ 14 ( 1yz 1xz 1xy) (当且仅当(转封三 )(接 48页 )x =y=z时取“ =”号 ) =14 ·x y zxyz将三角形中的恒等式 :x y z=…     

一道希望杯培训题的错因探究

题目呈现 已知实数x，y适合2x^2＋4xy＋2y^2＋3x^2y^2=9，又设z=√2（z＋y）＋3√3zy，则z的取值范围是（ ）     

一道习题的启示

题目椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)与直线x+y=1交于M、N两点,且OM⊥ON,则必有1/a2+1/b2=2.下面给出一种比较简单的证法.证明不妨设M(r1cosθ.r1sinθ),N(r2cos(θ+π/2),r2sin(θ+π/2)),则由M、N在椭     

江西预赛题另证

2008年全国高中数学联赛江西预赛题第10题：设x、y、z为非负实数，且满足yz＋xz＋xy=1,     

一道高考题的另一种解法

2013年是湖北省实行新课标考试的第二年,命题方式基本稳定,如填空题中的第13题与2012年湖北卷第6题,本质相同,且是由课本选修4-5第三讲第二部分例3原题改编.试题设x、y、z∈R,且满足：x2＋y2＋z2=1、x＋2y＋3z=14（1/2）,则x＋y＋z=.本题意在考察柯西不等式的性质,以考察考生的运算求解能力和逻辑推理能力.     

2007年普通高等学校招生全国统一考试 山东数学(理科)

一、选择题:本大题共12小题,共60分1.若z=cosθ isinθ(i为虚数单位),则使z2=-1的θ值可能是A.6πB.4πC.3πD.2π2.已知集合M={-1,1},N={x|21<2x 1<4,x∈Z},则M∩N=A.{-1,1}B.{-1}C.{0}D.{-1,0}3.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个A视.图①相②同的是B.①③C.①④D.②④4.设α∈-1,1,21,3,则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,35.函数y=sin2x π6 cos2x 3π的最小正周期和最大值分别为A.π,1B.π,2C.2π,1D.2π,26.给出下列三个等式:f(xy)=f(x) f(y),f(x y)=f(x)f(y),f(x y)=f(x) f(y)…     

“求复平面上点的轨迹”初探

我们将处理复平面上的点轨迹问题,归纳其解法如下,供参考。一、定义法。所谓定义法就是应用实数、复数相等等概念处理点的轨迹问题。例1 已知复数z_1=cosθ isinθ(0≤θ<π),z_2=1 4cos2θ i4sin2θ,若复数z=z_2·z_1~(-1),试求复数z所对应的动点轨迹的普通方程。解:∵z=z_2·z_1~(-1)=(1 4cos2θ i4sin2θ)·(cosθ isinθ)~(-1)=(1 4cos2θ i4sin2θ)[cos(-θ) isin(-θ)]=5cosθ i·3sinθ, 设复数z=x yi(x,y∈R),根据复数相等的     

数学中的对称方法

例1求函数z=xy,x>0,y>0在满足条件x y=1的最大值.解根据x与y的对称性令x=21-k,y=21 k于是z=xy=21-k.21 k=41-k2故当k=0即x=y=21时,z=xy取得最大值此题也可用代数方程和求导方法解之,但相比之下,上述利用对称性的特点的解法较为简便.例2求函数z=xy,x>0,y>0在满足条件x2 y2=r2,r>     

2011年安徽高考理科数学第19题的思考

一、考题展现2011年安徽高考理科数学第19题为：问题1（I）设x≥1,y≥1,证明：z＋y＋1/xy≤1/x＋1/y＋xy     

一道2021年中国科技大学少年创新班考试数学试题解法与思考

<正>题目(2021年中国科技大学少年创新班考试数学试题)若x²+y2+y²=x2=x²+z2+z²+■xz=z2+■xz=z²+y2+y²+yz=16,则2xy+xz+■yz=_.1解法分析本题已知条件是三元二次方程组,若按照常规思路去解方程组求未知数,然后再求值,是很难办到的,需要寻找其它解法.分析已知等式的结构特点,发现三个表达式酷似余弦定理(含勾股定理),于是有了构造三角形求解的方向,并看出涉及的三个角分别是90°,120°,