“直角走廊”问题的探源及拓展

文[1]改变了苏教版高中数学必修4第49页的“探究·拓展”题17可能被闲置的尴尬局面．这种“用活教材、用足教材”的做法很是值得学习和称道．对于“等宽直角走廊”问题，文[1]利用三角函数建立数学模型，然后通过换元将目标函数转化为函数在某一区间上的最值问题，接着借助多种求解策略（如：函数单调性的定义、复合函数的单调规律、函数与方程的思想以及导数）解决了水平通过直角走廊的最长铁棒问题．     

多元函数最值的求解策略

在近几年的高考及各种测试试题中,多元函数的最值及其衍生问题频频出现,因为变量多、解析式复杂、方法技巧性强、题目灵活多变而具有较强的挑战性,成为最值问题中的一个难点,也是考查学生的数学素养和能力的一个热点.根据课程标准的要求,求多元函数的最值,总的策略是转化为一元函数或二元函数最值问题,转化的具体策略多种多样,本文对此进行了归纳和梳理.     

非光滑函数的凸性

本文借助于一元函数左、右导数的定义及其性质 ,将多元函数的方向导数转化为一元函数的左、右导数 ,并利用一元函数的凸性判别准则给出并证明了判别多元函数凸性的充分必要条件 .     

巧用Lagrange乘数法求一类多元对称函数的条件最值

巧用Lagrange乘数法,将一类多元对称函数的条件最值转化为一元函数的无条件最值,避免了具体求复杂而困难的驻点方程组的解,使问题化难为易.     

函数背景下双变量问题的解决策略

函数与不等式、导数知识的综合交汇,一直是高考重点考查的内容．笔者在本届高三备考中发现,近几年高考压轴题和各地模拟题中频频出现在函数背景下处理含两个变量的等式与不等式问题．这类问题由于变量多,导致学生们拿到试题后无从下手,笔者在教学中发现如果以函数思想为引领,把双变量问题转化为一元函数,再以导数为工具就能有效地加以解决．下面就此类问题的处理技巧加以归纳总结,以期抛砖引玉．     

加权平均值不等式的应用

加权平均值不等式足最基本的不等式,是解决不等式问题的有力工具．笔者首先介绍加权平均值函数,接着由一道引例出发,引出7个变式,以此说明加权平均不等式应用的广泛性．     

构造法研究函数f（X）=√x^2＋p＋tx（pt≠0）的最值

最近，重读文[1]，笔者深受启发．这一类函数f（X）=√x^2＋p＋tx（pt≠0）的最值问题，对于高中学生来讲难度较大，教师很难找到适当的方法帮助学生解决．为此笔者想从另一角度来研究本题．     

一道课本例题的探究

人民教育出版社出版的高中数学第三册(选修Ⅱ)《函数的极限》一节有这样一道例题：lin(x→1)x^2-1/x-1=2．此例很好地说明了函数f(x)在点x=x0处的极限是a，仅与函数f(x)在点x0附近的函数值的变化有关而与函数f(x)在点x0的值无关．笔者认为，它不仅对此类不连续函数求极限问题的求解起到了很好的示范作用，而且还是“研究性学习”的好素材．笔者对此作了以下探索。     

抽象函数问题的探求策略

所谓抽象函数是指没有给出具体的函数解析式（对应法则）,只给出一些特殊条件（如函数方程、函数不等式、递推式、函数的性质等）的函数．正因为“抽象”,使得不少学生在面对此类问题时感到茫然,找不到思维的突破口．实际上,解决此类问题还是有规律可循的．那么,如何化“抽象”为“具体”,使得抽象函数不再“抽象”呢？本文拟就抽象函数问题的求解策略作一探讨,供同学们参考．     

一道函数关系建立习题的复习课教学设计及反思

函数是中学数学的核心内容，函数关系的建立是函数的“灵魂”，具有实际背景的函数关系的建立是一个难点，如何破解这个难点是一个无法回避的问题．在今年的高三复习中，笔者试从必修1教材一道习题出发，通过该题的横向变式和纵向类比来突破，是否妥当，求教于各位专家和同行．     

一例二元函数极限不同证法之问题研究

对二元函数极限存在性证法中出现的问题进行深入研究,对视一元函数为二元函数时极限存在性之间的关系深入探讨并给出相关结论,详细剖析并强调极限形式化定义的内涵严密性.     

函数单调性问题的转化策略

“函数在给定区间上单调”问题是中学数学中学习导数后的一类常见问题,它涉及导数与函数单调性的关系及转化与化归等数学思想的应用,因而在高考中屡见不鲜．本文从一道典型题出发,总结这一类问题及其变式题的转化思路．     

浅谈采用聚点的概念定义多元函数极限的利弊

极限的概念是微积分学的基础，如何合理引入和定义这一概念对于《高等数学》的教学显得较为重要．对于一元函数的极限而言，通常可通过数列的极限问题引入直观的极限的概念，并抽象出数列极限的。“ε-N”语言，进而通过空心邻域的概念导出一元函数的极限的一般概念（ε-δ语言），     

求函数值域的若干方法

函数值域是高中数学的难点．这是因为它没有固定的方法和模式，大部分值域问题与函数的最值问题密切相关，解决这类问题既涉及刭一些具体的解题方法．又涉及一些抽象的逻辑方法．所以难以找到最佳的思维定势。这里仅就求以解析式给出的函数y=f（x）的值域的几种常用方法概述如下．     

怎样求二元函数的极限

本文将系统介绍求二元函数极限或者判断二元函数极限不存在的方法。一、利用连续函数的定义及初等函数的连续性．如果是的连续点,则有解是初等函数,是它的连续点,所以二、利用极限的性质,如四则运算及央通准则等．夹逼准则,设在的邻域上有,三、转化为含参变量的一元函数极限问题,利用一元函数求极限的方法,有些情况下可以借助于极坐标化为一元函数．四、利用无穷小量与有界量的乘积仍是无穷小量．五、利用基本极限,一元函数中的两个重要极限可以推广为如下的形式：六、消委林子公开中概明＊O的田于七、利用等价无穷小代换．一元函…     

巧构平面解析几何模型求无理函数的最值

求无理函数的最值常见的方法有代数换元法、三角换元法、导数法等．但是有一些无理函数因其解析式结构的特殊性．用以上常规的方法不易求其最值，若能仔细分析无理函数解析式的结构特点，数形结合。构造出相应的平面解析几何模型，利用其“形”的特征，可转化为求平面解析几何模型（曲线）上的一动点到模型外两定点的距离和（差）的最值．或动点与定点连线的斜率最值，或动点到定点的距离与该动点到定直线的距离之和的最值，从而暴露了问题的本质，使复杂抽象的函数问题具体化、简单化．本文根据动点所属不同的平面解析几何模型。分类举例说明．     

构造法研究函数f（X）=√x^2＋p＋tx（pt≠0）的最值

最近,重读文[1],笔者深受启发．这一类函数f（X）=√x^2＋p＋tx（pt≠0）的最值问题,对于高中学生来讲难度较大,教师很难找到适当的方法帮助学生解决．为此笔者想从另一角度来研究本题．     

一道德国数学奥林匹克试题的简解

文[1]给出了一道德国奥林匹克试题的解法,本人觉得其解法不常规,下面给出此题的另一种简解,同时阐明多元函数最值的一般求法,与读者共勉．     

一道难题的两个简解

问题设m＋n=3,求m·3m＋n·3n的最小值.这是《数学通讯》2013年第11、12期P65张乃贵老师提到的一道条件最值问题.由于条件和目标函数都成对称性,容易猜测最值为9槡3,但不易证明.通过探究,下面给出两种新颖简洁的解法,     

抽象函数问题中的赋值思想从哪来？

抽象函数是一种重要的函数模型,问题表现为某函数满足若干性质表达式,在此基础之上探讨与此函数相关的问题．这类问题没有具体的解析式可用,解决起来思维跨度大,对抽象思维能力要求很高．“赋值法”是解决抽象函数问题的重要途径．它可以是给变量赋以符合已知条件的一个或几个值,亦可以是赋以符合条件的一个函数、一个方程、一个不等式、一个几何图形、一个函数图象,等等．赋值法能够变“抽象”为“具体”,对解决“抽象函数”问题起到事半功倍的效果．