一个代数恒等式与一类不等式的证明

文[1]的第218—219页上讨论了如下代数恒等式： （a＋b＋c）（ab＋bc＋ca）-abc =（a＋b）（b＋c）（c＋a）     

一类恒等式的“拆项法”证明

证明形如:a_1+a_2+…+a_n=U_n的恒等式,一般采用数学归纳法或“拆项法”。所谓“拆项法”、是指下例证明中所使用的方法:     

一类三角恒等式的证明

贵刊八四年第六期上有一篇文章《一个有用的三角等式》,其中有这么一道例题: 证明:tg3°tg17°tg28°tg37°tg43°tg57°. ·tg63°tg77°tg88°=tg27°(1) 文章对这道题做了很巧妙的解答,但类似的还有恒等式:     

构造“零件不等式”证明一类条件不等式

文[1]用初等方法证明了不等式：若xi〉0，i=1，2，3，且x1＋x2＋x3—1，则1/（1＋x1^2）＋1/（1＋x2^2）＋1/（1＋x3^2）≤27/10     

用琴生不等式证明一类含“abc=1”条件的不等式

在诸多证明不等式的问题中,笔者发现一些含abc=1条件的不等式用琴生不等式来证明很简     

一类不等式的证明

本文介绍一类不等式的简捷证法。它可作为数学教学的辅导材料。 设a、b、c为△ABC的三边长,则存在三个正数x、y、z,使     

用“零件不等式”证明一类积式不等式

文[1]介绍了用“零件不等式”证明一类含和式的分式不等式，本文通过构造“零件不等式”来证明一类积式不等式。     

一类组合恒等式的定义证明

对于组合数的两个性质：Cn^m=Cn^n-m和Cn 1^m=Cn^m Cn^m-1，教材采用了两种方法证明．     

一类不等式的证明与应用

本文所给出的这组不等式都是来自<数学通报>数学问题与解答栏目的,这些问题的题型与解答,反映了出题者的构思精巧,读者获益匪浅.本文试图从另外一个角度给出这组数学问题的证明,问题的证明也简化了原来的证明.     

一类不等式的解法与证明

形如a相似文献   

一类三角形不等式的证明

在三角形不等式的证明中,代换a=x＋y,b=y＋z,c=z＋x经常用到．其中x,y,z是正数．这一代换具有明显的几何意义：△ABC的内切圆把a,b,c三边都分为两部分,即y＋z,z＋x,x＋y．用这种代换方法可以证明一类三角形不等式．     

一类不等式的统一证明

利用多元函数求条件极值的方法证明一类不等式     

一类三角不等式的证明

三角不等式的证明方法是多种多样的。有一类有关角与三角函数的不等式同学们往往无从下手,觉得角与三角函数之间的关系很难发现。下面就介绍一种这类题目的常用的证法——单位圆证法。这种证法的主要步骤是:在单位圆中将角与三角函数用它们对应的弧、线段表示出来,然后依靠图形直观地加以比较。这种方法简洁,易于掌握。     

用“零件不等式”证明一类带界的分式不等式

“庞大的肌体由微小的细胞组成 ,复杂的机器由简单的零件构成” ,这给我们一个启示 :对于那些纷繁杂难的分式不等式 ,能否觅求一些简单的不等式 ,以便应用它们去巧妙简捷地达到证题的目的 ?答案是肯定的 ,本文就一类带界的分式不等式加以讨论 .对于形如∑f(a ,a2 ,… ,an)g(a ,a2 ,… ,an) ≥A(或≤A)的不等式 ,常常可以根据题中的界A及不等式左边的特征 ,构造出如下的不等式hi(a ,a2 ,… ,an)≥A aαiaα1+aα2 +… +aαn(1)或hi(a ,a2 ,… ,an)≤A aαiaα1+a2α+… +αn(2 )其中hi(a1,a2 ,… ,an)为不等式左边中的第i个加项 .将这些不…     

一类分式不等式的证明

若ａｉ∈Ｒ,ｂｉ∈Ｒ＋（ｉ＝１,２,…,ｎ）,由柯西不等式得ｎｉ＝１ａ２ｉｂｉｎｉ＝１ｂｉ≥ｎｉ＝１ａｉｂｉ·ｂｉ２＝（ｎｉ＝１ａｉ）２．所以ｎｉ＝１ａ２ｉｂｉ≥（ｎｉ＝１ａｉ）２ｎｉ＝１ｂｉ①当且仅当ａ１ｂ１＝ａ２ｂ２＝…＝ａｎｂｎ时...     

不等式sum from k=1 to n(1/(a_k))≥(n~2/(sum from k=1 to n))(a_k∈R~+)的应用

近年来 ,在国内外数学竞赛及《数学通报》数学问题中 ,常出现一些高难度的分式不等式的证明问题 .这些问题若用柯西不等式的一个推论 nk =11ak ≥ n2 nk =1ak(ak ∈R+) ,(注 )可巧妙地得以证明 ,而且方法通俗易懂 .注 :( 1 )文中英文字母都是小写的( 2 )字母右下角的数字为下标( 3)字母右上角的数字都是幂指数题 1　设正数a1 ,a2 ,… ,an 之和为S .求证 nk =1akS-ak ≥ nn- 1 (n≥ 2 )( 1 976年英国竞赛题 )证明　 nk=1akS -ak = nk=1( akS -ak + 1 ) -n = nk=1SS -ak-n=S nk=11S -ak-n≥S· n2nS- (a1 +a2 +… +an) -n= n2n- 1 -n…     

由tan(A/2)=r/(p-a)导出的三角恒等式

1·引理记△ABC的三边分别为a,b,c,其内切圆、外接圆半径分别为r,R,p=12(a b c),则tanA2=rp-a,tanB2=rp-b,tanC2=rp-c.2·推证关于tanA2,tanB2,tanC2的等式.由tanA2=rp-a=rp-2RsinA=rp-2R·2tanA21 tan2A2,得ptan3A2-(4R r)tan2A2 ptanA2-r=0,记f(x)=px3-(4R r)x2 px-r,则tanA2为f(x)=0的根.同样tanB2,tanC2亦为f(x)=0的根.∴tanA2 tanB2 tanC2=4R rp,tanA2tanB2 tanB2tanC2 tanC2tanA2=1,tanA2tanB2tanC2=rp,简记为∑tanA2=4R rp,∑tanA2tanB2=1,∏tanA2=rp.3·推证有关cotA2,cotB2,cotC2的恒等式.由1cotA2=rp-2RsinA…     

三个三角恒等式与若干三角不等式的证明

本文给出三角形中的三个恒等式,并应用它证明若干三角不等式．     

一类数列不等式证明的新思路

数列不等式如果一边是和或者积的形式,常用放缩法或者数学归纳法来证明．但是放缩法技巧性较强,学生难于把握;而数学归纳法操作上比较机械,学生熟悉方法后对优化思维无太大好处．这里介绍另外一种证明此类不等式的思路．