A solution to boundary value problems with over-specified boundary conditions

Summary The problem of determining the unknown terms of a differential equation from over-specified boundary conditions is solved by means of the potential theory. The boundary values of compatibility functions adapting the differential equations to the prescribed boundary conditions are introduced as explicit unknowns in the system of linear equations. Two applications to fluid mechanics are presented, which demonstrate the efficiency of the method.

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Résumé Le problème de déterminer les termes inconnus d'une équation différentielle, à partir de conditions aux limites surdéterminées, est résolu au moyen de la théorie des potentiels. Les valeurs aux limites de fonctions de compatibilité adaptant les équations différentielles aux conditions aux limites prescrites sont introduites, comme inconnues explicites, dans le système des équations intégrales linéaires. Deux applications à la mécanique des fluides sont présentées, qui démontrent l'efficacité de la méthode.

     

A kinematical study of Kirchhoff-Rayleigh flow

Summary A method of calculating the separated flow of a viscous fluid is proposed, which allows to split up properly the boundary condition problem from the viscous phenomena. The theory is developed for the flow past a plate and yields wakes of finite extension having an underpressure which depends directly on the amount of vorticity diffusion and dissipation occurring in the fluid. Application of the method to real flows shows good agreement between the calculated and the measured velocity distributions in front of the plate and in the wake.

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Résumé Une méthode de calcul de l'écoulement décollé d'un fluide visqueux est proposée qui permet de séparer clairement le problème aux limites des phénomènes visqueux. La théorie est développée pour l'écoulement autour d'une plaque et donne des sillages de longueur finie ayant une dépression de culot directement dépendante de l'intensité de la diffusion et dissipation de la vorticité se produisant dans le fluide. L'application de la méthode à des écoulements réels montre une bonne concordance entre les répartitions de vitesse calculées et mesurées sur le devant de la plaque et dans le sillage.

     

On free boundary problems with arbitrary initial and flux conditions

The paper is concerned with the free boundary problem of a semi-infinite body with an arbitrarily prescribed initial condition and an arbitrarily prescribed flux at its face. An analytically exact solution to the problem is found and established, which is expressed in terms of some functions and polynomials of the error integral family and timet. Convergence of the series solution is considered and proved. For illustration, the solution is applied to a special problem, which is discussed in detail. Some remarks about the solution are also included.

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Résumé Cet article traite du problème à limites variables pour un corps semi-infini, les conditions initiales et un flux arbitraire sur la face étant donnés. On obtient une solution analytique exacte de ce problème. Elle est formulée à l'aide de fonctions et de polynomes de la famille des intégrales d'erreur et en fonction du tempst. La convergence des séries apparaissant dans la solution est étudiée et vérifiée. Comme illustration, les résultats sont appliqués à un problème particulier qui est étudié en détail. Quelques remarques complètent le travail.

     

A numerical conformal transformation method for harmonic mixed boundary value problems in polygonal domains

Summary A method is described for the numerical solution of harmonic mixed boundary value problems in simply-connected domains. The method consists of three successive conformal transformations of which the first is performed numerically.In particular the method is applied to problems, defined in polygonal regions, containing re-entrant cornes at which boundary singularities occur.

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Résumé Une méthode est décrite ici pour la solution numérique d'une classe de problèmes mixtes harmoniques aux valeurs aux limites dans des domaines simplement connexes. La méthode consiste en trois transformations conformes consécutives dont la première doit être accomplie numériauement.La méthode est plus particulièrement appliquée aux problèmes définis dans des domaines polygonaux possédant des angles rentrants où apparaissent des singularités.

     

Application of the Cauchy theorem to the location of zeros of sectionally analytic functions

Summary A new method for the derivation of closed-form formulae for the zeros of sectionally analytic functions in the complex plane is proposed. This method is based on the Cauchy theorem in complex analysis (in a generalized form) and it does not require the solution of any boundary value problem along the discontinuity interval. As an application, the classical transcendental equationw=tanh (p w+q), appearing in a physical problem, is solved in closed form. Numerical results are also presented.

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Résumé Une nouvelle méthode pour la dérivation de formules analytiques pour les zéros des fonctions analytiques par morceaux dans le plan complexe est proposée. Cette méthode se base sur le théorème de Cauchy dans l'analyse complexe (sous une forme généralisée) et elle n'a besoin de la solution d'aucun problème à valeurs aux limites le long de l'intervalle de discontinuité. Comme une application, l'équation transcendentale classiquew=tanh (p w+q), apparaissante dans un problème physique, est résolue analytiquement. Des résultats numériques sont présentées aussi.

     

A method of parameter differentiation applied to flow in porous annuli

A general noniterative method of solution of nonlinear boundary value problems involving a parameter is presented. Through a parametric differentiation of the original system, the boundary value problem is converted into an initial value problem with the parameter as the independent variable and differentiation with respect to the original variable is completely eliminated. A step by step integration with respect to the parameter of the newly obtained initial value system yields a large family of solutions which may be of practical interest when the parameter chosen is of physical significance.The method is applied to study the effect of uniform wall suction and injection on the laminar flow in an annulus. The integration is carried out with respect to the transpiration Reynolds number and the deviation from the Poiseuille flow can be seen at each step of integration.

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Résumé Une méthode générale non itérative est développée pour résoudre des problèmes aux limites non linéaires contenant un paramètre. La dérivation du système différentiel par rapport au paramètre transforme le problème en un problème aux valeurs initiales, où la variable indépendante est le paramètre et où la dérivation par rapport à la variable d'origine est complètement éliminée. L'intégration du nouveau système par rapport au paramètre est menée pas à pas et conduit à une famille de solutions qui peuvent être d'intérêt pratique si le paramètre a une signification physique.La méthode est appliquée à l'étude de l'écoulement laminaire d'un fluide dans un tube annulaire à parois uniformément perméables. La variable d'intégration est le nombre de Reynolds de transpiration et la déviation par rapport à l'écoulement de Poiseuille peut être déterminée à chaque pas d'intégration.

     

On the eigenvalue problem for fluid sloshing in a half-space

Summary The boundary-value problem for free oscillations of a liquid in a half-space, which is bounded above by a rigid plane that contains a circular aperture, is transformed to a homogeneous, Fredholm integral equation for the velocity distribution in the aperture. Rayleigh-Ritz approximations to the eigenvalues are obtained by expanding the velocity distribution in appropriately weighted Jacobi polynomials. Numerical results demonstrate that the convergence of the approximations is much stronger than that of the approximations developed by Henrici, Troesch and Wuytack; for example, retaining twelve terms in the Rayleigh-Ritz expansion yields the dominant eigenvalue within one part in 10^–8. A corresponding development is given for the two-dimensional problem, in which the aperture is an infinite strip.

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Résumé Le problème aux conditions limites pour les oscillations libres d'un liquide dans l'espace semi-infini sous un plan rigide contenant une ouverture circulaire est transformé en une équation intégrale homogène de Fredholm pour la distribution de vitesse dans l'ouverture. On obtient des approximations de Rayleigh-Ritz pour les valeurs propres en développant le champ de vitesse en série pondérée de polynômes de Jacobi. Les résultats numériques démontrent que la convergence des approximations est bien plus rapide que celle des approximations développées par Henrici, Troesch and Wuytack; par exemple, en retenant douze termes dans le développement de Rayleigh-Ritz on obtient la valeur propre dominante avec une erreur relative moindre que 10^–8. Un développement correspondant est donné pour le problème bidimensionnel, pour lequel l'ouverture est une bande infinie.

     

Fully-developed forced convection in rectangular ducts and illustrations of some general inequalities

New exact laminar convective temperature solutions for rectangular ducts with constant heat flux per unit length have been derived in uniform fashion for a variety of Dirichlet and Neumann boundary conditions. Those with null Dirichlet boundary conditions satisfy the hypothesis of a general inequality theorem. Consequences of the theorem are shown for the velocity and thermal fields of rectangular and elliptical ducts, which provide rigorous bounds for intermediate contours.

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Résumé Quelques solutions nouvelles exactes du problème de la convection laminaire de la chaleur dans les tuyaux de section rectangulaire ont été déduites d'une façon uniforme pour différentes conditions aux limites selon Dirichlet et Neumann. L'hypothèse d'un théorème général d'inégalité est satisfaite lorsque les conditions aux limites sont homogènes selon Dirichlet. Les conséquences de ce théorème sont montrées pour les champs de vitesse et de température dans les tuyaux rectangulaires et elliptiques, ce qui fournit des bornes précises pour des domaines intermédiaires.

     

Un Algorithme de Calcul en Thermoélasticité Dynamique

Résumé Les auteurs considèrent le problème aux limites mixte de la thermoélasticité dynamique couplée linéaire à une dimension. L'algorithme proposé calcule dans l'espace-temps réel les deux composantes thermique—et élastique—modifiée de la solution. Une application est donnée au problème de Danilovskaïa.

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Summary The authors consider the mixed boundary-value problem of one-dimensional coupled linear thermoelasto-dynamics. The algorithm proposed rests on the direct calculation in the real space-time of the modified elastic and thermal components of the solution. An application is given to the problem of Danilovskaïa.

     

Inverse problem for a vibrating beam

Summary The problem of inferring the flexural rigidity and density of a beam from its eigenfrequencies is considered for the particular case in which one end is clamped. It is shown that three spectra associated with three sets of boundary conditions at the other end are required in order to insure a unique solution of the inverse problem. Furthermore, it is shown that this data set is equivalent to the information contained in the time history of the displacement and slope of the free end of the beam set in motion by a concentrated impulse.

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Résumé Cet article traite le problème relatif à la déduction des caractéristiques d'une barre à partir de ses fréquences propres. Bien que nos résultats soient généraux, nous considererons seulement le cas où la barre est encastrée à une extrémité. Nous montrerons que trois spèctres associés à trois types de conditions aux limites pour la seconde extrémité sont nécéssaires pour garantir l'unicité de la solution du problème inverse. De plus, nous montrerons que ces trois spèctres sont équivalents à l'information contenue dans les fonctions représentant le déplacement et la pente de l'extrémité libre de la barre mise en mouvement par un choc donné à cette extrémité.

     

The inverse scattering problem for semi-infinite crystals

The inverse problem for the scattering by semi-infinite crystals, is studied in the one- and three-dimensional cases. The three-dimensional problem is reduced to a system of one-dimensional coupled ones. The inversion procedure is applied to one-dimensional differential equations to obtain the Fourier components of the potential describing the crystal, in terms of the scattering amplitudes and surface states information. The analytic properties of the scattering amplitudes are analyzed by using matching conditions.

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Sommaire Le problème inverse de la diffusion par cristaux semi-infinis est étudié dans les cas à une et trois dimensions. Le problème à trois dimensions est réduit à celui de systèmes couplés à une dimension. Le procédé d'inversion est appliqué aux équations différentialles à une dimension pour obtenir les composés de Fourier du potentiel décrivant le crystal, en fonctión des amplitudes de diffusion et des états de surface donnés. Les propriétés analytiques des amplitudes de diffusión sont analysées en utilisant des conditions de continuité.

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The financial support has been provided by Junta de Energia Nuclear (Madrid).     

On the theories used for the wave propagation in laminated composite thin elastic shells

In this paper, the problem of propagation of free harmonic waves in cross-ply laminated thin elastic shells is considered. For this problem, a theoretical unification of the most commonly used, in physical and engineering applications, thin shell theories which take into consideration transverse shear deformation effects is presented. In more detail, the problem is formulated in such a way that by using some tracers, which have the form of Kronecker's deltas, the obtained stress-strain relations, constitutive equations and equations of motion produce, as special cases, the corresponding relations and equations of the transverse shear deformable analogs of Donnell's, Love's and Sanders' theories. Using an eigenvalue form solution of the equations of motion, a comparison of corresponding numerical results obtained on the basis of all of the afore-mentioned theories is made. Comparisons with corresponding results obtained on the basis of the classical thin shell theories of Donnell, Love, Sanders and Flugge are also made.

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Resumé On étudie un problème de propagation d'ondes harmoniques libres dans une fine coque cylindrique, élastique, composée de lamelles croisées. On présente une unification des théories les plus courantes que les ingénieurs et physiciens appliquent aux problèmes de coques minces sous considération de la déformation due au cisaillement transverse. En détails, le problème est formulé de telle façon qu'en utilisant des opérateurs de trace (sous forme du symbole de Kronecker) les relations obtenues: contrainte-déformation, équations constitutives et équations de mouvement donnent comme cas spéciaux les relations correspondantes et les équations des problèmes analogues (déformation de coques minces par cisaillement transverse) des théories de Donnell, Love et Sanders. En utilisant une solution aux valeurs propres des équations de mouvement, on compare les résultats numériques obtenus grâce aux théories mentionées ci-dessus aux résultats correspondants sur la base des théories classiques de Donnell, Love, Sander et Flugge.

     

The reduction of boundary value problems to Fredholm integral equations of the second kind

Résumé Une méthode générale est obtenue pour réduire une classe de problèmes aux limites à la résolution d'une équation deFredholm de seconde espèce. La méthode et un secteur d'une sphère évidé situé (a) entre deux plans parallèles et (b) dans un cylindre circulaire. Le problème hydrodynamique du flux dans un cylindre contenant un disque et le problème électrostatique pour un secteur d'un sphéroïde allongé sont aussi examinés.     

Bounds on eigenvalues of Sturm-Liouville problems with discontinuous coefficients

This paper is concerned with obtaining upper and lower bounds for the eigenvalues of Sturm-Liouville problems with discontinuous coefficients. Such problems occur naturally in many areas of composite material mechanics.The problem is first transformed by using an analog of the classical Liouville transformation. Upper bounds are obtained by application of a Rayleigh-Ritz technique to the transformed problem. Explicit lower bounds in terms of the coefficients are established. Numerical examples illustrate the accuracy of the results.

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Résumé Dans cet article les bornes supérieures et inférieures sont détermineés pour les valeurs caractéristiques des problèmes de Sturm-Liouville avec des coefficients discontinus. De tels problèmes se trouvent naturellement dans la mécanique des materiaux composites.Après avoir transformé ce problème en utilisant un analogue de la transformation classique de Liouville, les bornes supérieures sont obtenues par l'application d'une technique de Rayleigh-Ritz au problème transformé. Les bornes inférieurs sont determinées en fonction des coefficients sous une forme explicite. Quelques exemples numériques montrent l'exactitude des résultats.

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This work was supported by the U.S. Army Research Office under Grants DAH C04-75-G-0059, DAAG 29-76-G-0063 and DAAG 29-77-G-0034.     

General theory of wavemaker,I. theoretical results

A general theory of the wavemaker is presented based on a recent formulation of the water wave equations by Hui and Tenti. It exploits the fact that the free surface is a surface of constant pressure in order to make the surface boundary conditions linear and to be evaluated at a fixed boundary. The main features of the present theory are as follows: First, it applies to any weakly nonlinear wavemaker. Second, the full initial-boundary value problem is solved, thus including the transient effects in contrast to the classical approaches. Third, the finite amplitude (weakly nonlinear) effects are explicitly calculated. Finally, it is notable from a mathematical standpoint that the complicated second-order problem can be transformed to the form of the linear problem, and can therefore be solved by identical techniques.

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Résumé Nous présentons une étude théorique générale des batteurs à houle fondée sur une formulation récente des équations d'un fluide parfait, pesant et incompressible, par Hui and Tenti, dans laquelle la pression est une variable indépendante et la condition aux limites à la surface libre devient une condition linéaire portant sur une frontière fixe. Cette théorie est applicable à un batteur quelconque, et nous résolvons le problème de Cauchy en incorporant les effets transitoires, contrairement aux travaux classiques. En particulier nous calculons explicitement les corrections nonlinéaires du second ordre, ce qui est notable du point de vue mathématique parce que nous pouvons ramener la forme du problème du second ordre à celle du premier ordre.

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This work was supported in part by the Natural Sciences and Engineering Research Council of Canada through grants to G. Tenti and W. H. Hui.     

On higher eigenvalues of the extended Graetz problem

Summary We consider the problem of heat transfer in laminar flow between two parallel walls. Turning-point approximations to the eigenfunctions and approximations to the characteristic equation are derived. Finally, the higher eigenvalues are obtained for all values of a type of Nusselt number.

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Résumé On considère le problème du transfert de la chaleur dans un fluide qui s'écoule laminairement entre deux plans parallèles. Il y a une dérivation des approximations aux fonctions caractéristiques valide dans la région d'un point de transition et aussi une dérivation de l'équation caractéristique. Enfin on obtient les valeurs caractéristique plus grand pour tous valeurs d'une espèce de nombre de Nusselt.

     

Equation de Schmoluchowski généralisée

Summary Nous considérons un problème d'évolution avec un terme de mémoire. Ce problème est trasformé en un système de caractère hyperbolique pour lequel nous obtenons un théorème d'existence et d'unicité (dans des espaces de Sobolev à poids) ainsi que la propagation à vitesse finie des solutions. Nous montrons également que ce problème peut apparaitre comme une perturbation singulière de l'équation parabolique standard avec terme de transport.

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We consider an evolution problem with a memory term. After transforming this problem to a hyperbolic one, we derive results on existence, uniqueness (in weighted Sobolev spaces) and finite speed propagation of the solution. We also prove that this problem can be seen as a singular perturbation of the classical parabolic problem with convection.

     

Reihendarstellung axialsymmetrischer Geschwindigkeitskorrekturen und Strahldeformationen bei Windkanälen für den kompressiblen Unterschallbereich

Résumé Dans les souffleries à veine fermée ou libre, il faut tenir compte des corrections de vitesse et des déformations de la ligne extérieure de courant, dues aux conditions aux limites.Pour l'écoulement compressible subsonique, ces corrections et déformations sont représentées aux limites, dans le cas d'une symétrie de révolution, par des développements en série.Certains dé ces résultats, après traitement numérique sur une calculatrice électronique, sont représentés graphiquement.     

Spectral element discretization of the Maxwell equations

We consider a variational problem which is equivalent to the electromagnetism system with absorbing conditions on a part of the boundary, and we prove that it is well-posed. Next we propose a discretization relying on a finite difference scheme for the time variable and on spectral elements for the space variables, and we derive error estimates between the exact and discrete solutions. RESUME. On considère un problème variationnel équivalent aux équations de l'électromagnétisme avec conditions aux limites absorbantes sur une partie de la frontière, qu'on prouve être bien posé. Puis on propose une discrétisation de ce problème par schéma aux différences finies en temps et éléments spectraux en espace, et on établit des estimations d'erreur entre solutions exacte et approchée.

     

Application of the generalized Siewert-Burniston method to locating zeros and poles of meromorphic functions

Summary The generalized Siewert-Burniston method for the determination of the zeros of an analytic function inside a simple closed contourC in the complex plane is modified to be applicable to the determination of both the zeros and the poles of a meromorphic function insideC. The method is based again on the solution of a homogeneous Riemann-Hilbert boundary value problem onC and the values of the meromorphic function onC are sufficient for the application of the method.

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Résumé La méthode de Siewert et Burniston généralisée pour la détermination des zéros d'une fonction analytique à l'intérieur d'un contourC simple fermé dans le plan complexe est modifiée pour être applicable à la détermination des zéros ainsi que des pôles d'une fonction méromorphe à l'intérieur deC. La méthode se base encore une fois à la résolution d'un problème de valeurs aux limites de Riemann-Hilbert surC; les valeurs de la fonction méromorphe surC étant suffisantes pour l'application de la méthode.