动态規划概論

动态規划是运筹学中規划論的一个分支。这个数學方法的奠基人是数学家R.貝尔曼,十多年来,由于他的努力,动态規划发展成为一門具有完整体系和独創性的数学。对于我国人民,运筹学已經是一个熟悉的名子;但是,目前我們經常考虑的还只是綫性規划,用它来处理具有某些綫性特征的过程.然而,在經济活动和技术領域中存在着大量的复杂的多級决策过程問題;这种过程的数学模型具有独特的結构,往往不能直接求解。其中某些問題,虽然在理論上可以用微积分学或綫性規划方法来解决,但是,实际上,解一个簡单的問題也需要大量的演算,并且,遇到技巧上的困难。在許多情     

关于数理邏輯的一些研究

<正> 在本文中我們对算法論及递归函数論中若干項目作了一些研究,共分五节.第一节是算法簡化,我們指出的正規算法不够簡单原始,建議用“首尾算法”来代替它,后者是使用不可兼的首尾規則表且采用自然結束的約定的. 第二节引入一种換中演算,它是結合演算的推广,我們指出关于結合演算所得的結論几乎全可以推广到換中演算来,并对一些未曾解决的問題給以解决.     

一类非线性微分方程的近似方法的討論

<正> 在应用上往往会碰到非綫性微分方程,求解它的最一般的方法乃是差分方法.应用这一方法預先必須解决的問題是:所作的非綫性差分方程的解的存在性、唯一性和收斂性,以及如何求解等.本文指出,这些問題通常可以归結为一个綫性差分方程的“适定性”問題,而后者已有一些解决的办法,亦郎非綫性的問題可以化为綫性的問題而得到解决.     

最佳控制的数学問題(Ⅱ)

本文第一部分已經引用动态規划方法討論离散和連續最佳控制的数学問題。这一部分的目的在于,闡明解决連續最佳控制数学問題的另一重要方法,即包特約金等人建立的最佳过渡过程理論,現时称为“最大原則”。这个原則給出广泛的一类最佳控制应該滿足的必要条件,此条件是以若干微分方程和一函数取极值的形式表示的。已經証明,对于綫性系统它是这类最佳控制的充分条件。最大原則在討論离散的最佳控制方面,至今只获得初步結果,在此不作說明。 (五)一类最佳控制問題的变換 我們考虑一个二阶系統,其运动方程是其中x_0,x_1是系統的状态参量;(?)_0≡dx_0/dt,(?)_1≡dx_1/dt(不同于以前的定义x_1≡dx/dt);v是控制参量,其限制条件是φ(v)≤0。系統的控制准則是     

中学中解线性規划問題的图解方法

綫性規划是数学中最近10-15年来新的方向之一,在綫性規划中所应用的方法可以解决許多在国民經济(工业、农业、运輸业和其他行业)中有重大意义的問題。綫性規划的方法是那样的簡单,以致使每个中学生都能理解。我們觉得,线性規划的某些方法应該向七年級和高年級的学生們介紹。我們这篇文章的目的是交流一下中学中讲授线性規划在教学方法方面的一些經驗。     

在数学教学中結合生产联系实际的几点做法和体会

近年来个人在数学教学工作中結合生产、联系实际方面作过一些尝試,本文中預备談談我的点滴体会。一、在教学过程中結合生产、联系实际 1.用生产和生活中的实际事例闡明数學理論:如在高三讲“排列”时,先让同学考虑这样的問題:“兗、济支綫上有三个車站(济宁,孙氐店,兗州).若仅就这三个車站而言,应有几种不同的     

奇偶点图上作业法

<正> 在邮局搞綫性規划时,发現了下述問題:“一个投递員每次上班,要走遍他負責送信的段,然后回到邮局.問应該怎样走才能使所走的路程最短.” 这个問題可以归結为 “在平面土給出一个連通的綫性图,要求将这个綫性图从某一点开始一笔画出(允許重复),并且最后仍回到起点,問怎样画才能使重复路线最短.”     

綫性齐次微分方程內e~(kx)型解的探求

在高等数学中,綫性微分方程的解的結构理論是比較完善的,只是对于一般变系数的齐次綫性微分方程沒有一个探求特解的有效方法。本文給出一个找出e~(kx)型解的一般方法。定理.設u_1,u_2,…,u_m,为一組綫性无关的函数組,則方程有e~(kx)型解的充要条件是k为方程組     

非线性偏微分方程

<正> 在科学技术向高速与精密发展的今天,在各种科学向精确学科发展的今天,生产实践对于偏微分方程理論,尤其是对于非綫性偏微分方程理論的要求就愈来愈多了.自然界大量事物的运动規律是可以用非綫性偏微分方程或非綫性偏微分方程組来描写的.一般把非綫性問題变成餡性問題的线性化方法在处理問題时常是很有效的.但是生产实践对于高速与精密的要求,使运用线性化方法的范围受到了相当的限制.因此生产实践对于     

双曲型方程組的一个边界問題和它的应用

<正> 本文分两部分,第一部分討論某种三个未知函数,两个自变量的拟綫性双曲型方程組的一个非綫性边界問題.我們把它化成一个积分函数方程組,然后选取一个恰当的逐次迫近方案并进行了一系列的估計而証明了局部解的存在性.第二部分討論在气体力学中有广泛应用的活塞問題,它的本身应該为一个边界問題,但解具有強間断,而間断曲綫为不定的,沿着它成立一些非綫性的“激波条件”.我們把它化成第一部分中所討論的     

线性規划中康-西問題对偶算法的最大迭代步数

<正> 由对偶理論知道这两个問題或者皆无最优解,或者同时有最优解,且取相同的最优值.因此,解这两个問題是等价的. 解問題1是在K的极点上进行迭代的,解問題2是在K′的极軸(定义見后文)上进行迭代的,它們迭代一步的計算量大体相近.M.A.Simonnad和G.F.Hadley給出     

数学綜合題

一、引言什么叫做綜合題?怎样解綜合題? 綜合題的本身也是一个題,实貭上就是牵涉面較广,內容較复杂的題目。但拆开来看看,也无非是几个互相关联的較簡单的习題。一切题目,包括綜合題在內,总是从已知求未知的过程。我們只要在已知量和未知量之間根据它們的相互制約关系,理出一个头緒来,那就会得到正确的解題路綫的。怎样理出头緒来呢?也不外乎从两个方面着手:一方面是从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,另一方面是从“未知”看“需知”,逐步追索到“已知”。两个方面汇合了,解題的路綫也就明确了,綜合題也就分散成     

排队論中一个巴尔姆断言的証明

<正> 在排队論中的巴尔姆問題中(即带消失的系統的有序束情形),有这样一个問題:如果来到各綫路的呼喚流有同样的強度,那么各綫路上的消失概率依什么規律而变化?在一切情况下进行的計算都表明这个概率随着线路的号碼增长,而且巴尔姆在他的文献中也曾断言这可由計算各綫路上的消失概率的公式直接推出,然而,迄今为止只証明了簡略得多的命題:如果来到各綫路的流有同样的強度,則在后面各綫路上的消失概率总是大于第     

矩陣代数在最小二乘法中的应用

前言自从高斯发明最小二乘法以来,它的历史已有一百余年。迄今,当求算观測值之最或然值时,高斯約化法仍广泛应用在各个生产部門中。因此,有关的高等院校在讲授这门課程时,必須介紹此法。但高斯約化法所形成的規律,按古典的方法推导非常复杂。本文借助于矩陣代数这一工具,应用概率論的原理,詳細地討論了此法。使得推导过程非常簡单。我們不准备介紹很多矩陣代数的理論,只局限在閱讀本文所必須的那些結果。一、矩陣的微分理論及其他     

最佳控制的数学問题(Ⅲ)

本文前两部分已用动态規划和最大原則方法討論了最佳控制的数学問題;这两种方法以及变分学方法是現時解决这类問題的基本工具。然而,近年来有些作者又提出另一些办法;文献是其中之一。n阶线性系統的离散最佳控制問題可以变換为一个非线性規划问題,因此,非线性規划方法为这类問題的数值解提供一个算法;同时他引出利用解-空間来分析最佳控制問題的观点。以下的討論引用了这位作者的一部分工作。     

非线性微分方程组差分方法中的一些問題的討論

<正> 当我們对已給的非綫性微分方程組使用差分方法时,要遇到这样一些問題,即所作的非緝性差分方程組的解的存在性、一意性和收斂性等.本文指出,这些問題可以归結为一个綫性差分方程組的“一致性”和“稳定性”問題. 本文是作者前一文[10]的发展.     

周期羣的伯恩賽德問题

1902年英国数学家W.伯恩賽德提出了关于周期羣理論的一个問題。随后,这个問題在代数学家們中間获得了广泛的声名,因为羣論的許多問題看来都是与这个問題有关的(参閱[1],[2])。尽管有过許多尝試,这个問題只对几种特殊情况才获得了正面的解答。只是到1959年由諾維柯夫院士发展了早先他在解决一系列羣論算法問題(恆等問題,共軛問題和同构問題)中所采用的方法,才获得了这个問題的反面解答(参閱[3])。为了論述这个問题和所得到的結果,我們来复习有关羣論的若干定义。所謂羣是指由任意性貭的元素所組成的一个非空集合G,其中定义了一种运算,叫做“乘法”,它滿足以下的要求:     

解綫代数方程组的迭代法及其迭代过程的收斂条件

前言本文的目的,在簡要介紹解綫代数方程組的迭代法之后,主要是对于这种迭代过程的收斂条件問題,从級数收斂方面作了一些考虑,避开了通常方法所涉及到的有关矩陣的特征值和特征向量、向量和矩陣的范数以及矩陣的相似变換等一系列的綫代数理論,而仅仅用到較少的数学分析知識,同样給出了通常的两个收斂性定理及收斂速度估計式。它在教学上提供了一个可以采用的处理教材的方法,也为具有初等分析知識的数学工作者全面掌握这一方法探索到了一个簡便途径。§1.解綫代数方程組的迭代法 設給定n阶綫代数方程組为     

拟线性双曲型方程组的不連續初始值問題(Ⅰ)

<正> 在另一篇論文中,我們研究了典型的拟綫性双曲型方程組,郎空气动力学中一維等熵流方程组的不連續初始值問題,研究了解在初始条件的間断点附近的构造,指出可能发生的各种情况并在大多数情况下給出决定激波的方法.因为所研究的是可化約的方程組,我們采用了速度图的方法来进行討論.所得的結果对于平底无阻情况下柱形河床中的不稳定流动同样适用.为了深入研究河渠中不稳定流动的状态,我們必須考察一般     

线性方程组的解法

在各种解方程的問題中,应用范围最广、解法最簡单的要算是一次方程組了。一次方程組通常称为綫性方程組。在許多实际問題中都有着大量的应用。例如,在大地測量問題中要解綫性方程組;計算水坝的应力分布的問題要解偏微分方程,而解这样的偏微分方程时往往要归結为解綫性方程組。随着我国社会主义建设的飞跃发展,在生产实际中提出了大量的问題需要通过解线性方程組来进行计算。在这一篇文章里,首先介紹一下一般的綫性方程组的解法,这种解法就是中学代数中的消元法,但比起中学代数的讲法更为簡单清楚,并且具有一般性。可以作为教师讲課的参考。然后再介紹綫性方程組的两种数值解法。本文不要求任何較高深的数学知識,一般具有中学水平的同志都能掌握。