模态系统与蕴涵系统

<正> 在本文中我们采用(?)ukasiewicz 符号,以(?)分別表示“非α或β”(实质蕴涵)“α或β”(析取)“α与β“(舍取)“C_(αβ)且C_(αβ)”(实质等价)“非α”(否定).此外,我们更引入下列符号“□α”——α是必然的,必然α;“◇α”——α是可能的,可能α;“Fαβ”表示口 C_(αβ),G_(αβ)”表示 KF_(αβ)F_(αβ)(注意,它与□E_(αβ)未必相同).但须注意,在最后一节内,F_(αβ)另有意义.我们采用公理模式而不采用合有命题变元的公理,因此在证明过程中可以用不到代入规则.     

有穷模态系统的基本系统

<正> 引论本文是继作者前文“具有有穷个模态外的模态系统”(以后省称“前文”)而作的,但同时又是自足的;为此,我们把模态数列的基本性质(见§1)以及求加强系统的方法(见§3)重述一遍,这样,读者可以不靠前文而完全很順利地阅读本文.除这两处以外,本文基本上又与前文沒有重复,这样,有好些需要详释或需与其它部门相联系的地方(例如,模     

对逻辑联结词再理解

高中数学新教材“简易逻辑”中规定 :“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词 .不含逻辑联结词的命题是简单命题 .由简单命题与逻辑联结词构成的命题是复合命题 .根据以上定义 ,如何解释“方程 (ｘ - 1 )(ｘ - 2 ) =0的根是ｘ =1或ｘ =2”是简单命题还是复合命题呢 ?如果是简单命题 ,那么又怎样对语句中的“或”作解释呢 ?如果是复合命题 ,那么由“方程 (ｘ - 1 )(ｘ - 2 ) =0的根是ｘ =1”是假命题 ,“方程(ｘ - 1 ) (ｘ - 2 ) =0的根是ｘ =2”也是假命题得 :复合命题“方程 (ｘ - 1 ) (ｘ - 2 ) =0的根是ｘ =1或ｘ =2”也是假命题 .…     

从结构化观点看数学新教材中“集合论”“数理逻辑”、“概率论”的关系

高中数学必修教材实验本添加了“简易逻辑”及“概率论”的知识 .“简易逻辑”范属“数理逻辑” .从结构化的角度看 ,“集合论”、“数理逻辑”、“概率论”三者是相似的 ,它们的概念、运算及其性质有一定的对应关系 ,现简单地从结构化角度分析“集合论”、“数理逻辑”、“概念率”间的联系 .1　三者间的相应概念对比表集合论数理逻辑概率论子集命题事件全集真命题必然事件 (样本空间 )空集假命题不可能事件A BA→B若A发生 ,则B发生A =BA B (事件 )等价A =BA∪BA∨B A +B(至少发生一个 )A∩BA∧BAB(同时发生 )A的补集cUA┐A …     

普否系统、直觉系统、共否系统及其它

<正> 现先把本文所用的符号解释如下.我们用 p,q,r,…等表示原子命题,用 N,C 分別表示联接词“非”及“蕴涵”.在本文所讨论的逻辑系统中只假定出现有这两个联接词(在引证的情形下,偶尔用及其它的联接词,K 表合取,A 表析取,E 表实质等价).联接词 C 适合分离原则如下:     

论G(O)del蕴涵算子不宜用于建立模糊逻辑系统

通过演绎定理和命题的真度理论指出基于G(O)del蕴涵算子的3值逻辑系统反映了直觉主义逻辑的特点.但如果基于G(O)del蕴涵算子建立模糊逻辑系统,则相应的语构理论与积分语义理论是不协调的.     

命题演算系统S的概率模型

概率模型P是为有效地检验命题演算系统之永真(假)函项、永真蕴涵关系;求取命题(合取、析取)范式及证明各重言式定理而特设的一种纯数学模型.其特征是,在运算中既保持概率运算的基本性质,又满足命题演算的逻辑要求,且运算关系简单(仅含算术运算+、-、×).     

矢量的倍积及其应用

<正> 一域的概念在代数学中已有下述“域”的概念。定义设F是一个非空集合,F的成员叫做元素,假定F中规定了加法和乘法两种运算,即对于F中任意两个元素a和b,可以对它们进行加法运算和乘法运算。把加法运算记作a+b,叫做它们的     

初等数学中逆命题及其制作

新编全日制十年制初中数学教材(以下简称教材)结合数学知识对定义、命题等有关逻辑基础知识作了简单的通俗的介绍,这对培养和发展学生的逻辑思维能力是十分必要的。本文将密切联系教材内容,对逆命题及其制作的有关问题做较详细的说明。一、命题的结构在形式逻辑中,把对事物有所肯定或否定的思维形态叫做判断。判断的语言表达形式是句子。教材中通俗地把命题定义为“判断一件事情的句子”。例如“含有未知数的等式叫做方程”,“两点决定一条直线”,“如果两条直线都和第三条直线垂直,那么这两     

关于有限环的分配律的一个检验方法

<正> 设R是一个非空的有限集,赋予两个二元运算(分别叫做加法“+”与乘法“·”),若满足1)(R,+)是一个加群;2)(R,·)是一个半群;3)乘法对加法的左、右分配律都成立,即对     

初基演算

<正> 命题演算的构成,通常有三步骤的说法,即从 Johanson 的“极小演算”到 Heyting的构造论命题演算再到二值演算.此外,Lewis 从模态或严格蕴涵出发,也分别了许多步骤,以达到二值演算为其极限;特别值得注意的是最后三个步骤,即从 S4 到 S5 到二值演算.这两个三步骤就某意义说乃是通常命题演算的构成中最本质的步骤.综合这两个三步骤,会带来许多便利,而本文所提出的也就是作为二者共同基础的初基演算.     

Modal Extensions of Sub-classical Logics for Recovering Classical Logic

In this paper we introduce non-normal modal extensions of the sub-classical logics CLoN, CluN and CLaN, in the same way that S0.5 ⁰ extends classical logic. The first modal system is both paraconsistent and paracomplete, while the second one is paraconsistent and the third is paracomplete. Despite being non-normal, these systems are sound and complete for a suitable Kripke semantics. We also show that these systems are appropriate for interpreting □ as “is provable in classical logic”. This allows us to recover the theorems of propositional classical logic within three sub-classical modal systems.     

开拓劳宾生和戈鲁辛的几个定理

<正> 1.设 p 次对称函数(?)在单位圆|z|<1中是正则的单叶的,此种函数的全体成一函数族 S_p.当p=1时,简讯 S_1为 S.设ω=f(z)∈S_p 映照|z|<1于 W 面上时,其像关于原点成星形,此种 f(z)成 S_p 之一子族S_p.设 f(z)∈S_p,     

一个解析不变量及其示性作用

<正> §1.引言本文主要把作者发表在“科学记录”新辑一卷二期(1957)的结果详细地证明.此外,还研究了不变量 L(D)与 U(D)在可约的典型域的性质(§4).华罗庚教授曾给作者很多有益的指导,作者特别在此表示感谢.     

单位圆上的有界单叶函数

<正> 1.引言设函数在单位圆|z|<1上是正则的,单叶的.它映照|z|<于|w|<1中.这种f_k(z)的全体形成一函数族 B_k,乃是 k 称的有界单叶函数族.对于 B_1中的函数 f_1(z),劳宝生讨论了|a|,|z_0|<1,|f_1(z_0)|和|f′(z_0)|四者之间的关系.利用关系式(?),他的许多结果可以直接推广到函数族B_k中来.但是关于f_k(z),还有些应该直接研讨的问题.例如当|a|,|z|取定值或|a|,     

关于丛属函数的几个不等式

<正> 1.引言.设(?)是单位圆中的正则函数,函数w=F(z)将|z|<1映照成黎曼面S_F.设函数(?)在单位圆中是正则的.假如w=f(z)的一切函数值都落在 S_F,上,那末说 f(z)丛属于 F(z),记此关系为 f(z)(?)F(z).我们知道 f(z)(?)F(z)的充要条件是存在|z|<1上的正则函数ω(z),适合|ω(z)|<1,ω(0)=0,和 f(z)≡F(ω(z)).     

命題演算的公理系統

<正> §1. 問題的提出 對於傳統的二值邏輯系統(以後叫做系統M)所作的公理系統,優點最多的可說是Hilbert-Bernays[1]Ⅰ册66頁上所载的(一名Munster派公理,以後即用此名).這個公理系統共有兩個模式(又名原則)及五组公理,模式即代入原則