几何学概论(一)

(一)几何学的起源几何学起源于四千年以前的埃及.埃及的尼罗河两岸土地非常肥沃.农产丰富,因此埃及成为西方文化的发祥地.但是尼罗河年年泛滥,水涨时两岸田地被淹,水退后,田地的界限消失,故常有争执的事件发生.田地的测量法便因此种需要产生.这就是几何学的起源.     

关于直角三角形三内角之間可否通約的問題

在中学数学敎学法(伯拉基斯著吳品三譯)第四册几何敎学法46頁的第二行提到“兩个角也可以是不可通約的,例如,在埃及三角形中的角(所謂埃及三角形,即以3,4,5为边的三角形)。”关于这一結論的証明原書只指出了参考文件,但一般也不易查到。本文目的是要說在什么情况下的直角三角形三內角之間可通約,在什么情况下的直角三角形三內角之間不可通約,而埃及三角形內角之間不可通約便当作本文的特例而解决了。为此目的,我們先作如下的一般討論。     

由2~(1/2)引起的数学风波

勾股定理在西方又称为“毕达哥拉斯定理”,是由古希腊数学家毕达哥拉斯发现的．毕达哥拉斯(约公元前580年～约公元前500年),幼年好学,青年时期离家到文明古国巴比仑、印度、埃及求学．他创建了“毕达哥拉斯学派”,这一学派是当时古希腊一个显赫的政治和数学学派．毕达哥拉斯学派有一句名     

善用数学的泰勒斯

泰勒斯是古希腊的科学家、哲学家 ,约公元前 6 40 公元前 54 6年生于小亚细亚米利都 .曾一度到埃及经商 ,学到了不少埃及的数学 ,回国后创立了米利都学校 ,历史上称其为“科学之祖” .泰勒斯还尤其善于把现实中的许多问题转化为数学问题来解决 .位于埃及开罗西南 1 5千米处 ,有一金字塔 ,被称为“第一金字塔”或“大金字塔” .其高1 46 .5米 ,底面呈正方形 ,这一金字塔是用约2 50万块 ,平均每块约 2 .5吨重的石块堆积而成的 .在当时的条件下 ,埃及人是如何堆成金字塔的 ,至今仍是个谜 !而泰勒斯能测量金字塔的高度 ,在当时算是个了不起的贡…     

“投针”史话——纪念布丰诞辰300周年

1777年的一天,一位七十岁的法国老人邀请了许多朋友来到自己家中,他们不是来赴宴的,而是为了做游戏实验.只见那位老人兴致勃勃地拿出一张画好一组等距平行线的纸铺在桌子上,接着又抓出一把事先准备好的小针递给客人们,这些小针长为平行线间距离的一半.然后,老人说:“请大家把这     

论Schinzel的一个问题

A.Schinzel和W.Sierpinski在他们的谕文里,对于Euler 函数(n)及除数和函数б(n)=∑d的性质,会利用了极其简单而初等的方法获得了一些有趣d/n的结果。华罗庚教授就Euler函数的性质,首先指出採用Brun方法,可以获得相当精密的枯果,中国科学院数季研究所王元同志,根据这一指示,对于的值的分布问题的讨论作出了很好的结论。闵嗣鹤教授指出採用Brun筛法对除数函数τ(n)=∑1,可以解决Schinzel     

闰年的由来

今年是闰年吗 ?或许你不知道什么叫闰年 .其实闰年就是这一年的二月份是 2 9天 ,而不是闰年的年份叫做平年 ,平年每年 2月份是2 8天 ,即闰年全年为 3 66天 ,平年全年为 3 65天 .为什么会这样呢 ?这是因为地球绕太阳一周所需的时间为 3 65天 5小时 48分 46秒 ,天文学上称为一个回归年 .由于回归年的时间不是天数的整数倍数 ,所以只好取 3 65天为一地球平年 .由于回归年和一平年相差 5小时 48分 46秒 ,所以过几年就得把累积起来的时间“处理”掉 ,不然的话地球上的四季就会大乱 ,可能会夏天下雪而冬天炎热 ,而且会导致历法混乱 ,所以天文学家…     

从诺贝尔经济学奖看数学的基础

诺贝尔经济学奖是当今世界上最有影响力的经济学奖,被称为当代经济学家的“王冠”1 96 8年瑞典中央银行在建行30 0周年之际,为纪念阿尔弗雷德·诺贝尔(最早诺贝尔奖基金提供者)而拨出专项基金设立的一项国际性大奖.其全称是“瑞典中央银行为纪念阿尔弗雷德·诺贝尔经济学奖”,基金数额为1 0 0万美元.该奖由瑞典皇家科学院委任组成的“经济科学委员会”评定.从1 96 9年起,在每年的1 0月中旬与其他各项诺贝尔奖同时公布.到2 0 0 3年止,已经颁发35届,共有53位经济学家获奖.他们获奖的理由,或是因为建立了一种新的分析方法,或是角度各异地为当代…     

一道试题的探究

<正>一、试题展示2014年泰州市高三第三次调研测试的第14题是:在△ABC中,BC=2(1/2),AC=1,以AB为边作等腰直角三角形ABD(B为直角顶点,C、D两点在直线AB的两侧).当∠C变化时,线段CD长的最大值为.二、背景探究本题的背景是托勒密定理:凸四边形两组对边乘积之和不小于两条对角线的乘积,等号当且仅当四边形为圆内接四边形时取得.     

勾股数问题的推广——空间勾股数

我们知道m>n,m、n都是正整数时,m2-n2、2mn、m2+n2为一组勾股数,当k为正整数时,用k乘以上各数,也可以得出另一组勾股数:k(m2-n2)、2kmn、k(m2+n2).如图1,若设过长方体一个顶点的三条棱长分别为a、b、c,长方体对角线的长为d.则a2+b2+c2=d2.下面我们就探索a、b、c、d都为正整数的构造方法,暂称这四     

图的符号星部分控制数

引入了图的符号星部分控制的概念.设G=(V,E)是一个简单连通图, M是V的一个子集.一个函数f:E→{-1,1}若满足∑e∈E(v)f(e)≥1对M中的每个顶点v都成立,则称f是图G的一个符号星部分控制函数,其中E(v)表示G中与v点相关连的边集.图G的符号星部分控制数定义为γM(85)(G)=min{∑e∈Ef(e)|f是G的符号星部分控制函数}.在本文中我们主要给出了一般图的符号星部分控制数的上界和下界,并确定了路、圈和完全图的符号星部分控制数的精确值.作为我们引入的这一新概念的一个应用,求出了完全图的符号星k控制数.     

对一个数学问题的探究

《数学通报》1997年第2期数学问题1059:设有N人站成一排,从第一名开始1至3报数,凡报到3的就退出队伍,其余的向前靠拢站成新的一排,再按此规则继续进行,直到第p次报数后只剩下三人为止,问:(1)最后剩下的三人最初在什么位置?(2)当N=1000时,求这三个人的最初位置.这是一个很典型、     

小华“没有时间上学”吗?

小华对前来家访的班主任张老师说,“我没有时间上学”.说完,他拿出一张一年的时间分配表递给张老师看.表上写着(24小时折合为1天),小华说“表中这些必须的时间已经花去361天,剩下给我生病的时间只有4天了,而且表中还没有包括五一、十一和春节这三个长假共9天在内呢!” 张老师看着这张时间表,不住地搔头,嘟     

趣味题与二进制

趣味题1 你让某些人为你工作了一周 (七天),你要用一根金链条作为报酬,当然这根金链条有七节组成,每天的酬金就是其中一节．现在的要求是:你必须在每天的活干完后交给他们一份,结清当天的报酬不准拖欠．但你只能将这根金链条切割两次(也就是分成三块),你应该如何分割?     

几何中的测量问题

几何学起源于测量.据说在很久以前,埃及的尼罗河每年都会泛滥,两岸的田地就会被淹没,水退后人们要重新划定田界,这促使人们学会了计算简单图形面积的方法,逐步形成了图形的有关知识,后来人们称这些知识为“Geometry”,原意为“测地术”,即测量土地的方法.现在,我们学习了几何知识,又可借助这些知识反过来解决各种测量问题.如:利用初中几何知识测量建筑物的高就是一例. 有关测量问题,在几何一、二、三册中都有体现.如几何第一册中明确提出了“测量问题”:怎样测出古塔的高?     

巧用数形结合解决三个“一次”的问题

一元一次方程,一元一次不等式(组)和一次函数,这三个"一次"有着紧密联系.例如一次函数y=kx+b(k≠0),当y=0时,得一元一次方程kx+b=0,即一元一次方程的解就是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标;当y>0时,得一元一次不等式kx+b>0;不等式kx+b>0在直角坐标中就是表示直线y=kx+b在x轴上方部分,kx+b<0就表示直线y=kx+b在x轴下方部分.两个一次函数图像的交点横纵坐标就是对应解析式组成的方程组的解等.上述这些联系的本质其实就是数与     

计数调整型抽样检查标准ISO2859、JISZ9015与GB2828的比较和分析(续)

本文在上期中讨论TISO2859-1974.JISZ9015-1980、GB2828-1981三个标准在适用范围、主轴表、转移规则等方面的差别.这一部分主要分析和讨论这三个标准在动态特性、OC曲线、ASN曲线等几个方面的差别. 4.动态特性 由于这三个标准的主轴表间的差异以及严格性调整规则的不同,使得它们的动态特性有所不同.我们用计算机对 AQL= 1.0(%)的一列,字码 E、 H、J、 K、 L、M、N、P的八组一次抽样方案,在不合格品率P=0.0065,0.010和0.015三种级别下对三个标准进行了同步动态模拟.每种情况模拟10次,每次控制批数为1000.在模拟过程中,当抽样批数…     

第23届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考答案

一、下图所示的是六角星跳棋盘,它是由一些小的正三角形拼出的,如果记棋盘上最小正三角形的边长为1 cm,六角星的每个角上的三角形的边长为kcm,就称这个六角星跳棋盘为“k-六角星棋盘”,下图就是“3-六角星棋盘”.跳棋盘上的每一个交叉点是旗子可以落下的地方.问:(1)把“3-六角星棋盘”看成一个网络地图,三角形的边组成这个网络的道路,这个网络地图里的道路总长度是多少?     

科克岛——分形几何

先看下面有趣的科克岛问题:一艘太空船飞向地球.第一次观测时,发现一个正三角形的岛屿(边长为1);第二次观测时,发现岛屿并非正三角形,而是每边中央的三分之一段处有向外突出的小正三角形岬角;第三次观测时,原先六角星的每一小边的中央三分之一段处仍有向外突起的更小的三角形岬角(如图).若将该过程无限继续下去,就得到著名的一个数学模型——科克岛问题.     

费一哈不等式的一组等价命题及应用

设△ABC的三边为a、b、c,面积为S,则a~2+b~2+c~2≥4(3～(2/1))(当且仅当a=b=c时取等号) 这一不等式称为费恩斯列尔——哈德维格尔不等式。笔者发现它有一组等价命题和有很多重要应用。