Application of the method of initial functions for the analysis of composite laminated plates

Summary The method of initial functions has been applied for deriving higher order theories for cross-ply laminated composite thick rectangular plates. The equations of three-dimensional elasticity have been used. No a priori assumptions regarding the distribution of stresses or displacements are needed. Numerical solutions of the governing equations have been presented for simply supported edges and the results are compared with available ones.

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Anwendung der Methode der Anfangsfunktionen auf die Analyse von Verbundschichtplatten

Übersicht Die Methode der Anfangsfunktionen wird angewendet, um Theorien höherer Ordnung für dicke, rechteckige, kreuzweise geschichtete Verbundplatten abzuleiten. Dabei werden die dreidimensionalen Elastizitätsgleichungen verwendet. Keine àpriori-Annahmen sind nötig bezüglich der Verteilung der Spannungen und Verschiebungen. Numerische Lösungen der bestimmenden Gleichungen werden vorgestellt für einfach unterstützte Kanten, und die Ergebnisse werden mit den in der Literatur vorhandenen Daten verglichen.

     

On consistent first approximations in the general linear theory of thin elastic shells

Summary This paper, as a number of earlier ones, is concerned with the rational establishment of twodimensional differential equations for the approximate analysis of stress and strain in elastic layers with spacecurved middle surface. It has been known for some time that the principal difficulty of this problem is to establish rational two-dimensional constitutive equations which correspond to a given system of constitutive equations for the layer treated as a three-dimensional continuum. — In an earlier publication [18] the point had been made that since two-dimensional shell theory was concerned with stress resultants and stress couples, it ought to be advantageous to derive such a theory from a three-dimensional theory in which force stresses as well as moment stresses were incorporated, even for media which, actually, were incapable of supporting moment stresses. — The earlier work [18] had indicated that, mathematically, the advantages of approaching the derivation of two-dimensional shell theory from three-dimensional moment stress elastically theory had to do with the form of the compatibility equations for strain in such a three-dimensional theory. Briefly, with these three-dimensional compatibility equations it becomes possible to concentrate all three-dimensional aspects of the shell problem in a three-dimensional system of integro-differential constitutive equations, and the task of deriving rational two-dimensional constitutive equations becomes nothing but the task of establishing suitable asymptotic expansions for the solutions of these three-dimensional integro-differential equations. In the work in [18] this task had not actually been carried out. The present paper establishes a significant rearrangement of the system of integro-differential equations, in such a way that the nature of the necessary asymptotic expansions is made evident. — With this, explicit results are obtained which include the system of two-dimensional constitutive equations of Koiter and Sanders for an iotropic homogeneous medium, as well as a system of constitutive equations for a class of shells for which the normals to the middle surface are not directions of elastic symmetry, as well as a system of constitutive equations for shells which are sufficiently soft in transverse shear to make transverse shear deformation a first-order effect.

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Übersicht In dieser Veröffentlichung wird die rationelle Aufstellung der zweidimensionalen Differentialgleichungen für die näherungsweise Bestimmung von Spannungen und Verformungen in elastischen Schichten mit räumlich gekrümmter Mittelfläche behandelt. Es ist bekannt, daß die Hauptschwierigkeit dabei im Aufstellen von zweidimensionalen Stoffgleichungen besteht, die einem gegebenen System von Stoffgleichungen für eine als dreidimensionales Kontinuum behandelten Schicht entsprechen. In einer früheren Veröffentlichung [18] wurde darauf hingewiesen, daß es vorteilhaft sein könnte, eine solche Theorie aus einer dreidimensionalen Theorie abzuleiten, in der sowohl Momentspannungen als auch Kraftspannungen berücksichtigt werden. Das gilt auch für solche Stoffe, die in Wirklichkeit nicht in der Lage sind, Momentenspannungen aufzunehmen. — Es wurde seinerzeit gezeigt, daß die Vorteile einer Ableitung der genäherten zweidimensionalen Schalentheorie aus der dreidimensionalen Elastizitätstheorie mit der Form der Verträglichkeitsbedingungen für die Verformungen in dieser dreidimensionalen Theorie zusammenhängen. Mit Hilfe dieser dreidimensionalen Verträglichkeitsbedingungen wird es möglich, alle dreidimensionalen Aspekte des Schalenproblems in einem dreidimensionalen System von Integro-Differentialgleichungen für das Stoffverhalten zu konzentrieren, so daß die Ableitung zweidimensionaler Stoffgleichungen nichts anderes ist, als das Aufstellen geeigneter asymptotischer Reihenentwicklungen für die Lösungen dieser dreidimensionalen Integro-Differentialgleichungen. Das wurde jedoch in [18] noch nicht ausgeführt. In der vorliegenden Veröffentlichung wird das System der Integro-Diffe-rentialgleichungen so umgeformt, daß die Art der notwendigen asymptotischen Entwicklungen deutlich wird. Auf diese Weise werden explizite Ergebnisse erhalten, die das System der zweidimensionalen Stoffgleichungen von Koiter und Sanders für ein isotropes homogenes Medium einschließen. Desgleichen sind darin enthalten die Stoffgleichungen für eine Klasse von Schalen, für die die Normalen zur Mittelfläche nicht mit den Richtungen der elastischen Symmetrie übereinstimmen, sowie auch die Stoffgleichungen für Schalen, die hinreichend weich gegenüber Querschub sind, so daß Querschubdeformationen als Effekte erster Ordnung auftreten.

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A report on work supported by the Office of Naval Research, Washington, D.C.     

On the derivation and comparative analysis of large rotation shell theories

Summary For the geometrically nonlinear first approximation theory of elastic shells three energy-consistent large rotation shell variants are constructed. The governing shell equations are derived as Euler-Lagrange equations of an associated variational principle of stationary total potential energy. The numerical applicability is considered for a highly nonlinear shell problem. To incorporate the presented theories into the frame of shell models published in the literature a comparative analysis is carried out for a large number of shell equations.

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Zur Herleitung und vergleichenden Untersuchung von Schalentheorien für große Rotationen

Übersicht Im Rahmen der geometrisch-nichtlinearen ersten Schalenapproximation werden drei energiekonsistente Schalentheorien für große Rotationen hergeleitet. Die Schalengleichungen werden als Euler-Lagrange Gleichungen eines zugehörigen Variationsprinzips vom stationären Wert der potentiellen Gesamtenergie hergeleitet. Die numerische Anwendbarkeit wird anhand eines stark-nichtlinearen Schalenbeispiels nachgewiesen. Um die in dieser Arbeit hergeleiteten Theorien entsprechend einordnen zu können, wird für eine größere Zahl von in der Literatur angegebenen Schalengleichungen eine vergleichende Untersuchung mit numerischer Auswertung durchgeführt.

     

On the propagation of flexural waves in anisotropic bars

Summary Propagation of flexural waves in circularly cylindrical bars of anisotropic material on the basis of the exact three-dimensional theory of elasticity of small deformations is considered, the rigor of the analysis being the same as the one of the Pochhammer-Chree theory. A system of the governing equations of motion for the cylindrical orthotropy (its axis coinciding with the axis of the bar) is derived and expressed in terms of radial, tangential and axial displacement components. For a steady-state sinusoidal flexural wave the system reduces to coupled ordinary second order differential equations with a regular singular point. Solution for a transversely isotropic is obtained by means of Frobenius series method. Upon using two or three terms of the series approximate dispersion relations for isotropic material as well as for the pyrolytic graphite type material and two other types of anisotropic materials are obtained and illustrated by graphs. Higher order modes than those already known are found.

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Übersicht Die Fortpflanzung von Biegewellen in kreiszylindrischen Balken aus anisotropem Material wird auf der Grundlage der exakten dreidimensionalen Elastizitätstheorie kleiner Verformungen betrachtet. Die Strenge der hier gegebenen Untersuchungen entspricht der in der Theorie von Pochhammer-Chree. Das System der Bewegungsgleichungen wird für zylindrische Orthotropie, deren Achse mit der Balkenachse zusammenfällt, abgeleitet und durch die radialen, atngentialen und axialen Verschiebungskomponenten ausgedrückt. Das System reduziert sich im Fall einer stationären sinusförmigen Biegewelle auf gekoppelte, gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Ordnung mit einem singulären Punkt. Lösungen für transversale Isotropie werden mit Hilfe der Reihenmethode von Frobenius abgeleitet. Unter Verwendung von zwei oder drei Gliedern dieser Reihen werden angenäherte Dispersionsbeziehungen sowohl für isotropes Material als auch für Material vom Typ pyrolytischen Graphits und für zwei andere Typen anisotropischer Materialien erhalten und graphisch dargestellt. Es werden Schwingungsformen gefunden, die von höherer Ordnung als die bisher bekannten sind.

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Research supported by a grant of the National Science Foundation.     

Biegetheorie der Rotationsschale mit flacher,kreisförmiger Erzeugender

Zusammenfassung Bei der Auflösung der Gleichungssysteme von doppelt gekrümmten Schalen treten im allgemeinen so große mathematische Schwierigkeiten auf, daß eine Berechnung der Schnittkräfte nicht möglich ist. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, daß bei Einführung einiger Näherungen der Spannungszustand einer Rotationsschale mit flacher, kreisförmiger Erzeugender ermittelt werden kann. Sowohl bei der Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen als auch beim Elastizitätsgesetz werden in allen Gleichungen diejenigen Glieder, die die Schalenstärke enthalten, vernachlässigt, soweit sie neben anderen Gliedern vorkommen. Diese Näherung ist nicht gröber als die schon seit jeher bei Schalenberechnungen eingeführten Vereinfachungen des Elastizitätsgesetzes. Bei flachen Schalen können in den Gleichungen weitere Glieder vernachlässigt werden, und es gelingt, das Problem auf zwei homogene partielle Differentialgleichungen vierter Ordnung mit konstanten Koeffizienten für eine Spannungsfunktion und die Normalenverschiebung w zurückzuführen. Die charakteristische Gleichung wird für eine beliebige anisotrope Schale angegeben. Für die Sonderfälle der isotropen Schale und der in der Rotationsrichtung durch Rippen verstärkten Schale können die Wurzeln der charakteristischen Gleichung als einfache Ausdrücke geschrieben werden. Die Schnittkräfte und Verschiebungen der Schale werden aus einer Spannungsfunktion und der Normalenverschiebung berechnet.     

Eine Erweiterung der klassischen Schalentheorie; der Einfluß von Dickenverzerrungen und Querschnittsverwölbungen

Übersicht Ausgehend von den Grundgleichungen der linearen dreidimensionalen Elastizitätstheorie werden Verformungen und Verzerrungen in eine Potenzreihe bezüglich der Dickenkoordinate entwickelt. Während die Kinematik und das Elastizitätsgesetz lokal erfüllt werden, werden die Gleichgewichtsbedingungen durch Anwendung eines Integrationsmechanismus global erfüllt. Es wird gezeigt, daß eine konsequente quadratische Approximation zu konsistenten Schalengleichungen führt. Zusätzliche Annahmen oder Vernachlässigungen sind nicht erforderlich. Als Beispiel wird die Kreiszylinderschale behandelt.

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An extension of the classical shell theory; the influence of thickness strains and of warping of the cross-sections

Summary Starting from the basic equations of the linear three-dimensional elasticity theory, displacements and strains are expanded in power series in terms of the thickness coordinate. While the kinematic equations and Hooke's law are satisfied locally, the equilibrium equations are satisfied globally by application of an integration procedure. It can be shown, that a consequent quadratic approximation leads to consistent shell equations without requiring any additional assumption. The circular cylindrical shell is treated as a typical example.

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Auszug aus der vom Fachbereich für Mechanik der TH Darmstadt genehmigten Dissertation (Referenten: Prof. Dr. W. Schnell, Prof. Dr.-Ing. D. Groß)     

Der zylindrische Schalenstreifen oberhalb der Beulgrenze

Zusammenfassung Oberhalb der Beulgrenze versagt die linearisierte Elastizitätstheorie. Man erhält eine erste Näherung für das elastische Verhalten ausgebeulter Bauteile, wenn man von den Potenzentwicklungen der Deformationen bei der Ausbiegung die Glieder zweiter Ordnung hinzunimmt, während man sich bei den Verschiebungen senkrecht zur Ausbeulrichtung weiterhin auf die linearen Glieder beschränken darf. Ferner darf man schwach gekrümmte Schalen als vorgekrümmte Platten behandeln.Unter diesen Voraussetzungen wurde mit Hilfe der energetischen Methode in der von Marguerre angegebenen Form ein sehr langer, schwach gekrümmter Schalenstreifen unter Schubund axialer Druckbelastung untersucht. Für ein bestimmtes Krümmungsmaß wurden Diagramme angegeben, aus denen die berechneten elastischen Größen für die beiden Grenzfälle vollkommen nachgiebiger und vollkommen steifer Querstützen entnommen werden können.     

Einige ähnliche Lösungen der instationären,kompressiblen laminaren Grenzschichtgleichungen

Übersicht Für die instationären, kompressiblen, ebenen und dreidimensionalen rotationssymmetrischen laminaren Grenzschichtgleichungen werden mit Hilfe einer zweiparametrigen Transformationsgruppe drei ähnliche Lösungen angegeben. Die Differentialgleichungen eines Falles werden für einige charakteristische Werte numerisch integriert und die Ergebnisse graphisch dargestellt. Es folgen Angaben über den lokalen Reibungskoeffizienten und den lokalen Wärmestrom an der Wand.

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Summary Three similarity solutions of unsteady compressible, plane and axial symmetrical three-dimensional laminar boundary layer equations are obtained by means of the two parameter group theory. The differential equations will be integrated for one case numerically for some special values and the results are plotted graphically. Skinfriction and heat transfer are calculated.

     

Zur Wölbkrafttorsion von Stäben mit dünnwandigem Querschnitt

Übersicht Mit einem erweiterten Balkenmodell, einem eindimensionalen Kontinuum mit sieben funktionalen Freiheitsgraden, kann man außer Dehnung und Biegung noch die Wölbkrafttorsion erfassen. Nur bei der Bestimmung der Beträge der Elastizitätskonstanten muß man auf die dreidimensionale (Punkt-)Elastizitätstheorie zurückgreifen. Durch die getrennte Darstellung von eindimensionaler und dreidimensionaler Theorie wird deutlich, weshalb das Bimoment als zusätzliche Kraftgröße eingeführt werden muß.

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Summary A somewhat extended model, which considers a beam as a one-dimensional continuum with seven functional degrees of freedom, is used to describe tension, bending and torsion with restrained warping. The three-dimensional theory of (point) elasticity is referred to only obtain the values of the elastic coefficients. By presenting the one- und three-dimensional theories separately the reason for introducing the bimoment as an additional force becomes clear.

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Der Verfasser dankt Herrn Prof. Dr.-Ing. K. Marguerre für die Durchsicht der Arbeit.     

Lyapunov exponents and a strange attractor for the damped nonlinear mathieu equation

Summary A single-degree-of-freedom nonlinear parametrically excited oscillator is considered. Such oscillators provide models for mechanical systems such as shells and plates under periodical load. Chaotic motions and a strange attractor are found to exist applying the theory of Lyapunov exponents. Some difficulties in practical application of the computational procedure for Lyapunov exponents are discussed. Three particular zones for different values of the excitation coefficient are shown to exist, with different type of long-term behavior.

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Lyapunovsche Exponenten und ein seltsamer Attraktor für die nichtlineare Mathieusche Gleichung mit Dämpfung

Übersicht Ein parametererregter nichtlinearer Schwinger mit einem Freiheitsgrad wird untersucht. Solche Schwinger dienen als Modelle für verschiedene mechanische Systeme, z. B. für Platten und Schalen unter periodischer Belastung. Mit Hilfe der Theorie der Lyapunovschen Exponenten ist die Existenz chaotischer Bewegungen und eines seltsamen Attraktors festgestellt worden. Einige Schwierigkeiten bei der Anwendung des numerischen Verfahrens für die Lyapunovschen Exponenten werden diskutiert. Für verschiedene Werte des Erregungskoeffizienten wurden drei wichtige Zonen gefunden, in denen verschiedenes Langzeitverhalten des Systems stattfindet.

     

On reductions of the differential equations for circular cylindrical shells

Summary The paper begins with a statement of the differential equations of equilibrium and compatibility for circular cylindrical shells in the form first given in a pioneering work by Schaefer, and with constitutive equations incorporating transverse shear deformations and moment components normal to the shell surface as stated earlier by the present author. It is then shown that this system of equations may be reduced, for a rather general class of orthotropic shells, to four simultaneous third-order equations for two stress functions and two displacement variables. Subsequent to this it is shown that for the case that transverse shear deformations and shell surface normal moment components are absent the four simultaneous equations degenerate in such a manner that a further reduction to two simultaneous fourth order equations, for one stress function and one displacement variable, becomes possible. For the case of the isotropic shell these are equivalent to results by Morley, Simmonds, and Wan which were obtained by somewhat different reduction procedures.

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Übersicht Es werden die Differentialgleichungen für Gleichgewicht und Verträglichkeit von kreiszylindrischen Schalen in der von Schaefer angegebenen Form besprochen, zusammen mit den vom Verfasser früher bereits aufgestellten Stoffgleichungen, bei denen Querschubdeformationen sowie Momentenkomponenten normal zur Schalenoberfläche berücksichtigt sind. Dieses System von Gleichungen kann für eine ziemlich allgemeine Klasse von orthotropen Schalen auf ein System von vier Gleichungen dritter Ordnung für zwei Spannungsfunktionen und zwei Verschiebungsvariable zurückgeführt werden. Bei Abwesenheit von Querschubdeformationen und von Momentenkomponenten normal zur Schalenoberfläche ist eine weitere Reduktion auf ein System von zwei Gleichungen vierter Ordnung für eine Spannungsfunktion und eine Verschiebungsvariable möglich. Für isotrope Schalen sind diese Gleichungen äquivalent zu den auf anderem Wege abgeleiteten Ergebnissen von Morley, Simmonds und Wan.

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Dedicated to Professor Dr. U. Wegner on the occasion of his 70th birthday.

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Supported by the Office of Naval Research and by the National Science Foundation, Washington, D.C.     

Application of the extended Newton method to the creep analysis of shells of revolution

Summary The extended Newton method combined with the method of finite-differences is shown to be a powerful means to the steady-state creep analysis of shells of revolution. The creep theory of von Mises type and the power creep law are assumed. As numerical examples, a simply-supported circular cylindrical shell with open ends and a clamped spherical shell, subjected to internal pressure respectively, are analysed. The results of calculation of the cylindrical shell, in particular, are compared with those of semi-infinite sandwich shell obtained by Rabotnov.

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Übersicht Das erweiterte Newton-Verfahren bildet zusammen mit der Methode der finiten Differenzen ein wirksames Werkzeug zur Berechnung der Kriecheigenschaften von rotationssymmetrischen Schalen. Dabei wird eine Kriechtheorie nach v. Mises sowie ein Potenzgesetz für das Kriechen zugrunde gelegt. Als Beispiele werden eine einfach gelagerte kreiszylindrische Schale mit freien Rändern sowie eine eingespannte Kugelschale berechnet, die beide durch Innendruck belastet sind. Die Ergebnisse für die Zylinderschale werden mit den von Rabotnov erhaltenen Ergebnissen für eine halb-unendliche Sandwich-Schale verglichen.

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The present authors wish to express their gratitude to Professor Y. Ohashi of Nagoya University for his invaluable guidance and stimulating discussions.     

Der Spannungszustand in einem geschichteten Körper bei axialsymmetrischer Belastung

Zusammenfassung Es wird der Spannungszustand eines geschichteten Körpers bei axialsymmetrischer Belastung für die Grenzfälle vollkommener Haftung und verschwindender Reibung mit Hilfe der Hankel-Transformation allgemein bestimmt. Als Schichten dienen dabei unendlich ausgedehnte, homogene und isotrop-elastische Platten mit beliebigen Dicken und beliebigen Elastizitätskonstanten. Für den homogen-geschichteten Halbraum und den Halbraum mit anschließender Schicht werden geschlossene Formeln hergeleitet und numerische Ergebnisse mitgeteilt.Beim Vorhandensein lauter voneinander verschiedener Schichten wird die Rechnung naturgemäß sehr umfangreich; in diesem Fall läßt sich das Problem mittels Übertragungsmatrizen in übersichtlicher Weise behandeln, wie an anderer Stelle noch gezeigt werden soll.     

Bestmögliche innere Schalengleichungen für schubweiche Werkstoffe unter Berücksichtigung von Dickenänderungen

Übersicht Konsistente Schalentheorien lassen sich in einer besonders anschaulichen Weise durch lineare Approximation der Erhaltungssätze eines als Multi-Direktor-Körper beschriebenen, dreidimensionalen Kontinuums herleiten. Im vorliegenden Beitrag entstchen auf diesem Wege bestmögliche, in Geschwindigkeiten formulierte innere Schalengleichungen für beliebig große Deformationen und willkürliche, in eine Leistungsaussage einpaßbare Materialgesetze. Dabei finden Schub- und Querdeformationen Berücksichtigung. Der optimale Charakter der Schalentheorie mit gleichen Unschärfen in allen Einzelbeziehungen wird durch den Herleitungsgang sichergestellt und durch Einschrankungen mittels lokaler Tensornormen bewiesen.

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Best interior shell equations including transverse shear deformations and thickness changes

Summary Consistent shell theories can be derived in a particular correct manner by linear approximation of conservation laws of a three-dimensional continuum, described as a multi-director-body. In the present paper best interior shell equations-formulated in velocities—are developed, valid for arbitrarily large deformations and rather optional material laws, incorporating shear distorsions and thickness changes. The optimal character of the theory is guaranteed by the derivation process and proven by bounding techniques using tensor norms.

     

On the axially symmetric vibration of thick circular plates

Summary The method of initial functions is developed in cylindrical coordinates for axially symmetric elastodynamic deformation of the circular plate. The governing equations are derived from the three dimensional elastodynamic equations. Using a suitable transformation the difficulty in the application of the method of initial functions is removed. The method is used to obtain the free vibration frequencies of thick circular plates. Numerical results are given for the circular plate with clamped edges and compared with those of the known solutions.

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Übersicht Die Methode der Anfangsfunktionen wird in Zylinderkoordinaten für axial symmetrische und elastodynamische Deformationen der Kreisplatte entwickelt. Die Gleichungen der Aufgabe werden aus den Gleichungen der dreidimensionalen dynamischen Elastizitätstheorie hergeleitet. Die Anwendung der Methode der Anfangsfunktionen folgt durch Gebrauch einer geeigneten Transformation. Die Methode wird zur Ermittlung der Eigenfrequenzen der dicken Kreisplatte angewendet. Die numerischen Ergebnisse für die eingespannte Kreisplatte werden mit den bekannten Näherungslösungen verglichen.

     

Über die Stabilität der Biegeschwingungen von in Längsrichtung periodisch hin- und herbewegten Stäben

Übersicht Es werden die freien Biegeschwingungen von geführten und in Längsrichtung periodisch hin- und herbewegten Stäben untersucht. Mit den Annahmen der technischen Biegelehre wird die Bewegungsgleichung hergeleitet. Mit Hilfe der Methode von Kantorowitsch wird sie auf ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit periodischen Koeffizienten reduziert. Anhand dieses Systems werden Instabilitätsbereiche bestimmt.

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Summary The free bending vibrations of elastic beams moving periodically in longitudinal direction through clampings are investigated. The differential equation for these vibrations is established by assumptions of the technical theory of bending. It is reduced to a system of ordinary differential equations of second order with periodic coefficients by means of Kantorowitsch's Method. The instability regions are determined.

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Dank eines Stipendiums der Alexander-von-Humboldt-Stiftung ist diese Arbeit während meiner Tätigkeit am Institut für Getriebelehre und Maschinendynamik der Technischen Universität Braunschweig und am Institut für Technische Mechanik der Universität Karlsruhe entstanden.     

Biegetheorie der allgemeinen Rotationsschalen mit schwacher Veränderlichkeit der Schalenkrümmungen

Zusammenfassung Es wird eine Biegetheorie erster Näherung für die abklingenden Randstörungen von Rotationsschalen gegeben, deren Ränder mit Breitenkreisen zusammenfallen. Die erzeugende Meridiankurve kann bis auf geringe Einschränkungen beliebig sein. Es werden nur solche extremen Krümmungsänderungen ausgeschlossen, die bei üblichen bautechnischen Schalen praktisch nicht vorkommen. Die formale Behandlung der gegebenen Gleichungen gibt ganz von selbst eine Übersicht über die vorhandenen nicht abklingenden Lösungen. Diese dehnungslosen Verformungen und homogenen Membranlösungen ergänzen die abklingenden Randstörungen zu dem vollständigen Lösungssatz der Biegetheorie. Die vorliegende Biegetheorie überträgt ungefähr die Donnell-Jenkinssche Näherungstheorie für Zylinderschalen auf beliebige Rotationsschalen. Sie kann als Erweiterung der Geckelerschen Näherung angeschen werden, die hier jedoch auch für Schalen negativer Gauscher Krümmung gilt. Die Differentialgleichung bleibt von achter Ordnung. Sie schließt daher die bekannten Gleichungen für Kugelschalen, für flache Schalen und für Torsen als Sonderfälle ein, bei denen sämtliche Integrale, auch die nicht abklingenden, auf dem hier gezeigten Lösungsweg gefunden werden.Auszug der Habilitationsschrift des Verfassers: Asymptotische Biegetheorie der allgemeinen Rotationsschalen ..., Hannover 1963, eingereicht 1961. Die Arbeit entstand z. T. unter dem Visiting Research Scientists Program der National Academy of Sciences, USA.     

Die räumliche Staupunktströmung für ein viskoelastisches Fluid

Zusammenfassung In dieser Arbeit wird die räumliche Staupunktströmung für ein Rivlin-Ericksen-Fluid berechnet. Mit Hilfe einer Ähnlichkeitstransformation erhält man für die dimensionslose Stromfunktion eine Differentialgleichung vierter Ordnung. Es wird gezeigt, daß man dennoch mit den bekannten drei Randbedingungen auskommt. In Beispielen werden für bestimmte Parameterkombinationen Geschwindigkeitsprofile dargestellt und diskutiert. Ebenso werden Aussagen über die Wandschubspannung gemacht.

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In this paper the flow of a Rivlin-Ericksen fluid near an axisymmetric stagnation point is investigated. Using a similarity transformation one gets a fourth-order differential equation for the dimensionless stream function. It is shown that nevertheless the usual three boundary conditions are sufficient. Velocity profiles are calculated for various combinations of the interesting parameters. Finally the wall shear stress is calculated.

Vortrag auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologischen Gesellschaft 1985 in Berlin     

Stress concentration factors due to the bending of a thick plate with circular hole

Summary Solutions of a biharmonic equation together with four Helmholtz equations governing a twelfthorder thick plate theory in cylindrical coordinates are derived in a form suitable for finding corrections to previous lower-order thick plate results. As an example, for an infinite plate with a circular hole subjected to bending moments at two parallel outside edges, detailed comparisons of values of a stress couple concentration factor and a stress concentration factor are made between the present theory and previous results due to Alblas, Reissner, and Cheng.

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Spannungskonzentrationsfaktoren für die Biegung dicker Platten mit Kreisloch

Übersicht Für die Grundgleichungen einer Theorie 12. Ordnung für dicke Platten, bestehend aus einer biharmonischen Gleichung und vier Helmholtz-Gleichungen, werden in Polarkoordinaten Lösungen bestimmt, um Korrekturen zu früheren Ergebnissen nach Theorien geringerer Ordnung angeben zu können. Als Beispiel werden für eine unendliche, an zwei parallelen Seiten durch ein Biegemoment belastete Platte mit Kreisloch die Konzentrationsfaktoren für Biegemoment und Randspannung verglichen, die sich nach der hier benutzten Theorie und aus früheren Arbeiten von Alblas, Reissner und Cheng ergeben.

     

Transient displacement and stress in non-homogeneous elastic shells

Summary Transient displacement and stress in thick inhomogeneous cylindrical and spherical shells is investigated for situations when the surfaces are subjected to dynamic loads consistent with the production of radial vibrations. In the first instance, transformation of the governing equations is sought to a form amenable to solution via a finite Hankel transform technique. Such reduction is available for a broad class of radial variations in the material density and elastic parameters. However, the solutions generated by this method are rather involved and two other approaches are indicated. Thus, reduction of the system to the conventional wave equation is obtained under certain restrictions on the nature of the inhomogeneities and a simple correspondence principle is presented for the imposed boundary stress boundary value problem. Finally an asymptotic wave front analysis is presented which has a wide generality of application.

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Zusammenfassung Es werden die zeitlich vorübergehenden Verrückungen und Spannungsänderungen in dicken inhomgenen zylinder-und kugelförmigen Schalen für den Fall untersucht, dass die Oberfläche dynamischen Belastungen ausgesetzt ist, die strahlenförmige Schwingungen produzieren. Zunächst werden Tranformationen der auftretended Gleichungen gesucht, die eine Lösung mit Hilfe von endlichen Hankeltransformations-Techniken zulassen. Eine solche Reduzierung ist für eine grosse Klasse von abstandsabhängigen Veränderungen der Dichte-und Elastizitätsparameter \:moglich.Die so erhaltenen Lösungen sind jedoch recht kompliziert, und zwei weitere Lösungsmöglichkeiten werden angedeutet. Einmal erhält man unter gewissen Beschränkungen bezüglich der Art der Inhomogenitäten eine Reduzierung des Gleichungssystems auf die gewögnliche Wellengleichung, zum anderen wird ein einfaches Korrespondensprinzip für das betrachtete Randwertproblem aufgestellt. Schliesslich wird eine asymptotische Wellenfrontanalyse entwickelt, die vielseitig verwendbar ist.