Mathematische Spuren in der Philosophie

Zusammenfassung. Keine andere Wissenschaft hat in der Geschichte des abendl?ndischen Denkens auf die Philosophie so herausfordernd, stimulierend und innovativ gewirkt wie die Mathematik. Seit der Antike haben die ma?gebenden Philosophen vielf?ltige mathematische Spuren in ihrem philosophischen Werk hinterlassen. Diesen Spuren soll hier in dreifacher Hinsicht nachgegangen werden: Spurensuche – Spurensicherung – Spurendeutung. Exemplarisch wird an sieben Philosophen aufgezeigt, da? und wie jeweils ein subtiler Begründungszusammenhang besteht zwischen der Art und Weise des Zugriffs auf Mathematik sowie der Konzeption und Entfaltung des eigenen philosophischen Entwurfs. Eingegangen am 21.12.1998 / Angenommen am 26.02.1999     

Irren ist menschlich – oder: Der Satz über die Unimodalität stabiler Verteilungen, ein Theorem mit einer bewegten Geschichte

Zusammenfassung. Wohl wenige der bekannteren S?tze der Mathematik haben eine derart wechselvolle Geschichte hinter sich wie das Theorem über die Unimodalit?t (d.h. „Eingipfligkeit”) stabiler Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Von der ersten Behauptung durch Lévy bis zum endgültigen Beweis vergingen über 40 Jahre. Publiziert worden sind zwei falsche Beweise und ein falsches Gegenbeispiel; beteiligt waren unter anderem Leute wie Gnedenko, Kolmogorov und Ibragimov, also Mathematiker h?chster Reputation! Ziel dieses Artikels ist es, die historische Entwicklung des erw?hnten Problems nachzuzeichnen, die verschiedenen Beweisversuche zu beschreiben und insbesondere zu zeigen, wie die Fehler entstanden sind. Eingegangen am 5. Januar 1999 / Angenommen am 23. Juni 1999     

Der Stein-Chensche Ansatz zur Poisson-Approximation und zum Beweis des Zentralen Grenzwertsatzes

Zusammenfassung.   Befa?t man sich in der Didaktik mit stochastischen Fragestellungen, so ben?tigt man bei Anwendungen früher oder sp?ter den Zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitstheorie. Ein Beweis seiner allgemeinen Fassung wird dabei nirgendwo ausgeführt, denn “dieser Satz ist schwer zu beweisen” (Scheid [11], Seite 103). Siehe dazu auch Krickeberg-Ziezold [8], Seite 106: “Der Beweis dieses Satzes bedarf allerdings zu vieler analytischer Hilfsmittel, als da? er im Rahmen dieses Buches pr?sentiert werden k?nnte“. Mit Hilfe der Steinschen Methode leiten wir auf elementare Art und Weise eine Fehlerschranke her, die die klassische Form des Zentralen Grenzwertsatzes sowie einen Spezialfall des Satzes von Berry-Esséen über die dort vorliegende Konvergenzordnung impliziert. Dabei wird beim Beweis neben einfachen Umformungen nur der Satz von Fubini über die Vertauschbarkeit der Integrationsreihenfolge bei Mehrfachintegralen ben?tigt. Im Zusammenhang mit der Poisson-Approximation der Binomial-Verteilung wurde die Steinsche Methode zuerst von Chen [5] angewandt; die lange gesuchte “optimale” Fehlerschranke leiteten schlie?lich Barbour und Hall [2] her. Verwiesen sei in diesem Zusammenhang insbesondere auf das Buch von Barbour et al. [3]. Einen Gesamtüberblick über beide Themenkreise, die vielf?ltigen weiteren Anwendungen der Steinschen Methode und ausführliche Literaturhinweise findet man bei Barbour [1]. Hier wollen wir über den Begriff der Strukturfunktionen beide Ans?tze soweit wie m?glich vereinheitlichen und die faszinierende Idee sowie die elementaren Beweise einem breiteren Publikum vorstellen. Eingegangen 06.12.1996 / Angenommen 06.03.1998     

Das Anfangswertproblem für Systeme linearer Differentialgleichungen unter unzulässigen Anfangsbedingungen

Zusammenfassung Wenn bei einem System von Differentialgleichungen die Determinante aus den Koeffizienten der h?chsten Ableitungen verschwindet, so ist das Anfangswertproblem von mathematischen Standpunkt aus i. allg. unl?sbar, weil die Anfangswerte nicht beliebig vorgegeben werden k?nnen, sondern gewissen Kompatibilit?tsbedingungen genügen müssen. Wenn diese Bedingungen nicht erfüllt und die Anfangswerte also unzul?ssig sind, müssen trotzdem vom physikalischen Standpunkt aus ? L?sungen ? existieren. Es wird gezeigt, auf welche Weise sich solche sinnvoll definieren lassen. Dabei ergibt sich, dass gerade diese L?sungen durch die Methode der Laplace-Transformation geliefert werden, wenn man diese in derselben Weise wie im Fall zul?ssiger Anfangswerte anwendet. Mauro Picone zu seinem 70. Geburtstag gewidment.     

Aspekte der Stirlingschen Zahlen zweiter Art

Zusammenfassung. Die Stirlingschen Zahlen zweiter Art spielen in der Differenzenrechnung (und damit auch in der Numerischen Mathematik) sowie in der Kombinatorik eine bedeutende Rolle. Verwiesen sei hierbei auf Jordan [2], der sie in seinem Buch über Differenzenrechnung als mindestens so bedeutend wie die Bernoullischen Zahlen erachtet, sowie im zweiten Fall u.a. auf die Bücher über Kombinatorik von Aigner [1] bzw. Riordan [3]. über eine Anwendung der Stirlingschen Zahlen zweiter Art in der Wahrscheinlichkeitsrechnung sollen in der vorliegenden Arbeit neue Aspekte bezüglich der Darstellung gewisser Potenzsummen gewonnen werden. Ferner wollen wir herausarbeiten, da? diese Zahlen unter mehreren Gesichtspunkten als komplement?r zu den Binomialkoeffizienten betrachtet werden k?nnen. Dies wird an den entsprechenden Stellen durch „Argumente” hervorgehoben. Wie die folgenden Herleitungen zeigen werden, erweist sich die Einführung der Stirlingschen Zahlen zweiter Art über die Rekursionsformel als der einfachste Weg. Eingegangen am 5.5.1995 / Angenommen am 10.1.1996     

Genies, Ideen, Institutionen, mathematische Werkstätten: Formen der Mathematikgeschichte

Zusammenfassung. Der Essay diskutiert einige g?ngige Formen der Mathematikgeschichtsschreibung wie Biographie, Ideengeschichte und Institutionengeschichte. Im Anschluss daran wird die vom Autor befürwortete Form der Geschichtsschreibung skizziert. Diese orientiert sich an neueren Tendenzen der Wissenschaftsgeschichte, Wissenschaft als (Forschungs-)Praxis zu beschreiben. Zur Illustration der M?glichkeiten und Probleme der diskutierten historiographischen Formen dienen Beispiele aus der Geschichte der Knotentheorie. Eingegangen am 30. September 1999 / Angenommen am 9. Juni 2000     

An investigation into the mechanism of ice crystal nucleation by proton spin resonance spectroscopy

Zusammenfassung Unter Heranziehung der Kernresonanzspektroskopie wird versucht, den Vorgang der Keimbildung an Eiskeimbildungskernen wie AgI und CuO abzuklären. Die Ergebnisse der ersten Versuche zeigen, dass die adsorbierte Wasserschicht unterhalb einer bestimmten Temperatur, die nahe der Schwellentemperatur für die Elskeimbildungsaktivität liegt, teilweise in einem flüssigkeitsartigen und teilweise in festkörperartigem Zustand auftritt. Bei abnehmender Temperatur wächst der feste Anteil der Schicht auf Kosten des flüssigen Bestandes. Der volle Verfestigungsvorgang wickelt sich dabei in einem Temperaturbereich von ca. 20°C ab. Die Beobachtungen legen es nahe, anzunehmen, dass zwischen dem Auftreten der eisartigen Struktur in der adsorbierten Schicht und der Eisbildungswirksamkeit der Kernstoffe eine Beziehung besteht.     

The reflection of shock waves from an orifice at the end of a duct

Zusammenfassung Die Str?mungserscheinungen, die auftreten, wenn eine Stosswelle an ein mit einer Blende versehenes Rohrende gelangt, werden besprochen. üblicherweise werden sie unter der Annahme berechnet, dass man für stetige und unstetige Str?mungen die gleichen Randwertbedingungen in der Blende verwenden kann. Die reflektierte Welle ist dann entweder eine einfache Expansionswelle oder eine Stosswelle, je nach der St?rke des einfallenden Stosses und der Blenden?ffnung. Dieses Resultat stimmt nicht mit experimentellen Beobachtungen überein, die gezeigt haben, dass die reflektierte Welle immer aus einer Stossfront besteht, der eine Expansionswelle nachl?uft, bis der Druck genügend vermindert ist, um eine stetige Str?mung zu erm?glichen. Die überlagerung dieser Wellen erzeugt eine Druckspitze (?overshoot?), die den in der üblichen Weise berechneten Maximaldruck um einen erheblichen Bruchteil des Druckanstieges in der einfallenden Stosswelle übersteigen kann. Die Unzul?nglichkeit der üblichen Methode kann man qualitativ durch die Verz?gerung erkl?ren, die notwendig ist, um eine stetige Str?mung in der Blende herzustellen, nachdem die einfallende Stosswelle eine St?rung erzeugt hat. Die gegenw?rtige Untersuchung zeigt, dass man die überdruckspitze in Abh?ngigkeit von der Blendengr?sse, der Sto?st?rke und der Entfernung von der Blende auf Grund einiger einleuchtender Annahmen berechnen kann. Es ergibt sich, dass die überdruckspitze besonders dann bemerkbar wird, wenn die Druck?nderung über die gesamte reflektierte Welle verschwindet. Unter dieser Bedingung und für Stosswellen verschwindender St?rke wird sie anf?nglich genau so gross wie der Drucksprung der einfallenden Stosswelle. Mit wachsender St?rke des einfallenden Stosses verringert sich die relative Gr?sse der überdruckspitze, w?hrend ihre absolute Gr?sse bis zu einem Maximum von beinahe 40% des Druckes vor der einfallenden Stosswelle ansteigt. Dieses Maximum wird bei einem ungef?hren Druckverh?ltnis der einfallenden Stosswelle von 2,3 erreicht. Die überdruckspitze wird ziemlich unbedeutend, wenn das Druckverh?ltnis den Wert 3 überschreitet. Experimente mit einem Stosswellenrohr werden dann beschrieben, in denen die Druckver?nderungen der einfallenden und reflektierten Wellen für verschiedene Entfernungen von der Blende, Sto?st?rken und Blenden?ffnungen aufgezeichnet werden k?nnen. Die gemessenen überdruckwerte stimmen mit den gerechneten in allen F?llen gut überein. Es kann erwünscht sein, die überdruckspitze zu beseitigen, und die M?glichkeit einer speziellen Blendenkonstruktion wird gezeigt. Die Berechnung der überdruckspitze ist für eine einfallende Stosswelle abgeleitet, unter der Bedingung, dass das Gas vor der einfallenden Welle in Ruhe ist und dass sich die Blende am Ende des Rohres befindet. Erweiterungen der Methode auf beliebige Wellen, anf?ngliche Str?mungen und Blenden im Inneren des Rohres sind kurz besprochen.

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This work was sponsored by Project SQUID which is supported by the Office of Naval Research under Contract N6-ori-105 T.O.III, NR-098-038. Reproduction in full or in part is permitted for any use of the United States Government.     

Oscillating two-phase channel flows

Zusammenfassung Die in einem Kreisrohr durch pulsierende Kräfte in Bewegung gesetzte Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit mit schwebenden kugelförmigen Teilchen wird analysiert. Das Lösungsverfahren beruht auf der Zusammenfassung der Teilchen- und Flüssigkeit-Impulsgleichungen zu einer einzelnen Integrodifferentialgleichung, die durch die Laplace-Transformation gelöst wird. Die Geschwindigkeit von Teilchen und Flüssigkeit und der Reibungswiderstand werden als Polynome angegeben und durch einen Computer numerisch berechnet. Überraschenderweise ergibt sich, dass im Gleichgewichtsgrenzfall das Teilchen-Flüssigkeit-System, das durch eine stetige Massenkraft in Bewegung gesetzt wird, sich wie ein Teilchenloses verhält. Es wird auch gezeigt, dass die Wirkung der Massen- und Druckkräfte etwa gleich ist, wenn die Dichte des Teilchenmaterials viel grösser als die Dichte der Flüssigkeit ist. Die Wirkung dieser Kräfte ist verschieden, wenn diese beiden etwa gleich sind.     

Kinematisch-funktionales Denken als Ziel des höheren Mathematikunterrichts – das Scheitern der Meraner Reform

Zusammenfassung. Der Meraner Reform wird die Einführung der Funktionenlehre und der Differential- und Integralrechnung in den h?heren Mathematikunterricht zugeschrieben, und damit eine tiefgreifende Auswirkung auf die gymnasialen Curricula im 20. Jahrhundert. Von diesem Standpunkt sieht es so aus, als seien die Ideen der Reformer um Felix Klein seit Beginn des 20. Jahrhunderts inzwischen erfolgreich in die Schulpraxis eingeflossen. Der Funktionsbegriff steht im Zentrum der Sekundarstufe I, und der Analysisunterricht ist heute wesentlicher Bestandteil der Oberstufenmathematik. Mi?t man den Erfolg der Meraner Reform jedoch an deren ursprünglichem Hauptziel „Erziehung zur Gewohnheit des funktionalen Denkens”, so ergibt sich ein anderes Bild. Im folgenden soll gezeigt werden, da? vor diesem Hintergrund die Meraner Reform als gescheitert betrachtet werden kann. Um Belege und auch Ursachen für das Scheitern zu finden, ist es notwendig, zun?chst die Vielschichtigkeit des Begriffs „funktionales Denken” darzulegen. Was verstanden die Meraner Reformer unter „funktionalem Denken”? Eine Antwort soll im Rahmen didaktischer Vorbemerkungen aus dem Meraner Lehrplan und anhand zweier konkreter Beispiele aus dem damaligen Mathematikunterricht gegeben werden. Danach stellt sich aus heutiger Sicht die Frage, inwiefern die „alten” Ideen der Meraner Reformer gegenw?rtig für den schulischen Mathematikunterricht wirksam sind. Eingegangen am 07. Januar 2000 / Angenommen am 31. Januar 2000     

Populationsmodelle

Zusammenfassung  Wie werden mathematische Modelle gebildet und wie kann dieser Entstehungsprozess so dargestellt werden, dass er von Schülern im Mathematikunterricht nacherlebt und bisweilen sogar selbst?ndig durchgeführt werden kann? Der vorliegende Artikel gibt auf diese Fragen exemplarisch Antworten. Anhand einer Population unter dem Einfluss intraspezifischer Konkurrenz werden die einzelnen Stationen bei der Entwicklung eines passenden mathematischen Modells vorgestellt. Der Weg von der Motivation und Problemstellung zum Konzeptmodell, das Einbeziehen von Computersimulationen und die mathematische Analyse werden pr?sentiert und diskutiert. Für die Analyse reichen Mittel der Schulmathematik aus. Eine direkte unterrichtliche Umsetzung wird nicht angeboten, jedoch werden M?glichkeiten hierfür skizziert.     

The influence of turbulence on the transfer of heat to cylinders near the stagnation point

Zusammenfassung Es wird das problem des Einflusses der Turbulenz auf den Wärmeübergang an einem quer angeströmten Zylinder untersucht. Die Untersuchung beschränkt sich auf den Teil des Umfangs, über den sich die laminare Grenzschicht erstreckt. Einige ältere Messungen an der Vorderseite eines Zylinders werden miteinander verglichen, und es zeigt sich, dass ein wichtiger Parameter, nämlich die Intensität der Vorturbulenz bei den Untersuchungen nicht berücksichtigt worden ist. Die bekannten Messungen von Schmidt und Wenner werden kritisch untersucht und der genannte Effekt wird an ihnen aufgezeigt.Weiter werden eigene Messungen der lokalen Nusseltschen Zahl beschrieben. Die Messungen waren durchgeführt worden an der Vorderseite eines einzelnen Zylinders im Querstrom, und zwar in drei sich nicht überdeckenden Gebieten der Intensität der Vorturbulenz. Die Versuchsanordnung wird beschrieben und mögliche Einflüsse der Veränderung der Druckverteilung am Zylinder werden diskutiert. Obwohl dieser letztere Effekt nicht völlig eliminiert worden war, zeigen die Versuche doch klar, dass steigende Turbulenz ein starkes Anwachsen der lokalen Nusselt-Zahl bedingt. Dieses Anwachsen ist bei kleiner Turbulenz besonders stark. Ein Vergleich mit der theoretischen Lösung Froesslings, die für Turbulenz 0 gilt, zeigt, dass die Turbulenz den Wärmeübergang in der Staulinie bis zu 80% erhöhen kann, bei einer Turbulenzvariation von 0–3%.Diese Ergebnisse, die qualitativ interpretiert werden, stützen die Hypothese einer früheren Veröffentlichung, die annimmt, dass der Effekt durch Änderungen der laminaren Grenzschicht, die hervorgerufen werden durch Schwankungen von zunehmender Amplitude, wie sie bei zunehmenden Vorturbulenzen auftreten, bedingt ist.     

Tip-clearance and other three-dimensional effects in axial flow fans

Zusammenfassung Es wird die an einem Axialventilator durchgeführte Untersuchung der Auswirkung des Schaufelspaltes auf Laufradstr?mung und Leistung beschrieben. Das Laufrad, mit einem Durchmesser von 305 mm, war für ausgepr?gt dreidimensionale Str?mung entworfen. Die in solchen F?llen bestehenden Einschr?nkungen der Gültigkeit von zweidimensionalen Berechnungsunterlagen aus Windkanalversuchen werden besprochen. Es zeigte sich, dass die radial nach aussen gerichtete Querstr?mung durch Zentrifugalwirkung und die nach innen gerichtete Querstr?mung durch Vergr?sserung des Spaltspieles hervorgerufen wird. Vergr?sserung der Spaltweite beeinflusst die Str?mungsverh?ltnisse nicht nur in der N?he der Schaufelspitze, sondern über die ganze radiale Erstreckung der Schaufel. Dadurch wird die Druckziffer verkleinert, und die Abreissbedingungen ver?ndern sich. Unter diesen Verh?ltnissen ist es wesentlich, die ?nderung der Axialgeschwindigkeit im Laufrad korrekt in Rechnung zu setzen. Der wesentlichste Parameter scheint die Gr?ssec _2m /u zu sein. Dabei zeichnet sich bei gleichen Eintrittsverh?ltnissen, aber stark verschiedenen Querstr?mungen ein eindeutiger Zusammenhang zwischenc _2u /c _2m undc _2m /u für beliebige Schaufelgeometrien ab. Es mag daher von Vorteil sein, den aus Messungen am zweidimensionalen Windkanal erhaltenen Unterlagen in dieser Form den Vorzug vor den üblichen Einzelflügel- und Gitterparametern zu geben, die durch Querstr?mung merklich beeinflusst werden.      

Die (un-)berechenbare Angst des Mathematikers vor dem Fliegen

Zusammenfassung. Das Fliegen ist ein uralter Traum der Menschheit, der erst zu Anfang des 20. Jahrhunderts erfüllt werden konnte. In dieser Arbeit wird auf humorvolle Weise die Geschichte, die Physik und die Mathematik des Auftriebs, der Potentialstr?mungen und der viskosen Str?mungen beschrieben. Ausgehend von den klassischen Arbeiten von L. Euler, J. und D. Bernoulli, dem D'Alembertschen Paradoxon und den Potentialstr?mungen als Triumph der Reinen Mathematik gelangt man zu den Navier–Stokes-Gleichungen dreidimensionaler Str?mungen mit ihren offenen Problemen. Eingegangen am 28. Juli 1998 / Angenommen am 7. September 1998     

Herausarbeiten funktionaler und dynamischer Aspekte von Parameterdarstellungen durch die Erstellung von Computeranimationen

Zusammenfassung Die Beschr?nkung des Unterrichts in analytischer Geometrie auf die Behandlung von Geraden und Ebenen führt zu einer Formenarmut des Unterrichts. Vielfach gewinnen Schüler zudem nur „statische“ Vorstellungen von Parameterdarstellungen und erfassen insbesondere die damit verbundenen funktionalen Beziehungen zwischen Parameterwerten und Punkten nicht. Die Einbeziehung von Computervisualisierungen und einfachen Animationen kann dazu beitragen, bei der Behandlung von Parameterdarstellungen oft vernachl?ssigte Gesichtspunkte „mit Leben zu erfüllen“. Zudem lassen sich dadurch Modellbildungen anregen, die zu Parametrisierungen interessanter Kurven führen. Es werden hierfür anhand von Geraden sowie als Bahnkurven aufgefassten Kreisen, Spiralen, Schraubenlinien und Wurfparabeln Vorschl?ge unterbreitet und entsprechende Vorgehensweisen skizziert.     

Modification of convective systems by terrain with local relief of several hundred meters

Zusammenfassung Eingehende Untersuchungen über den Lebenszyklus von durch Regenschauer erzeugten Radarechos und Beobachtungen von Luftbewegungen mittels radarverfolgten Ballons geben Einsicht in einen der physikalischen Kontrollmechanismen, die der Verteilung des sommerlichen Niederschlags in den Zentralappalachen unterliegen. Beobachtungen, die sich über drei Jahre hinweg erstrecken, werden benützt, um zu erklären, wie die durch das Gelände verursachten Wellenbewegungen bevorzugte Gebiete der Schauerauflösung hervorrufen können. Als Beispiel zeigt der besonders trockene Sommer des Jahres 1962, wie grossräumige Luftströmungen, die Mangel an Niederschlag verursachen, im allgemeinen gut ausgebildete stehende Wellen an den Bergen dieser Gegend hervorrufen, und wie dies sich daraufhin auswirkt, die normalen, kleinräumigen Variationen der Niederschlagsverteilung zu vergrössern.Berechnungen ergeben, dass die durch Ausfrieren unterkühlter Teile einer Kumuluswolke freiwerdende Wärme einen positiven Auftrieb verursachen kann, der von derselben Grössenordnung ist wie der im abwärtsgerichteten Teil der Wellenbewegung induzierte negative Auftrieb. Hieraus lässt sich schliessen, dass Wolkenimpfungen dazu dienen könnten, die frühzeitige Schauerauflösung in solchen Wolkensystemen und damit die in Gebieten mit häufiger Bergwellenbildung vorkommende Trockenheit zu verhindern. Natürlich kann dies nicht durch routinemässige Betätigung von Impfstoffquellen vom Boden oder Flugzeug aus geschehen; Voraussetzungen dazu sind Beobachtungen der Wolkensysteme in allen Einzelheiten und Auslösung des Impfmaterials in grossen Mengen zu genau vorbestimmter Zeit und an der richtigen Wolkenstelle.     

Schnittstellenmodule in der Lehramtsausbildung im Fach Mathematik

Zusammenfassung  Im Zuge der Reform der Lehramtsausbildung in Hessen wurde insbesondere die Einführung von Schnittstellenmodulen in den Studienplan erm?glicht. Dabei handelt es sich um Module, die sowohl fachwissenschaftliche als auch fachdidaktische Studienanteile beinhalten. Die Autoren diskutieren Konzeption und Chancen solcher Module in der Lehramtsausbildung im Fach Mathematik für das gymnasiale Lehramt. Zur Verdeutlichung werden konkrete Beispiele aus einem Schnittstellenmodul Analysis vorgestellt, das die Autoren entwickelt und durchgeführt haben. Dieses Modul ist seither fester Bestandteil des Lehramtsstudiengangs Mathematik an der Universit?t Marburg.     

Unsteady flow through helicopter rotors

Zusammenfassung Es wird ein Beitrag geliefert zur Stützung der schon früher ge?usserten überzeugung, dass nichtstation?re Str?mungsanteile das Schwingungsverhalten und die aeroelastische Stabilit?t von Helikopter-Drehflügeln wesentlich beeinflussen k?nnen. Die Untersuchung betont besonders den D?mpfungsverlust, welcher sich aus den entlang der Spannweite eines schwebenden Drehflügels schraubenf?rmig abgehenden Wirbeln ergibt. Gem?ss dem Bedürfnis für verbesserte Mittel zur Behandlung nichtstation?rer aerodynamischer Vorg?nge werden zwei neue theoretische Entwicklungen beschrieben und zum Berechnen von Luftkr?ften auf typische schwingende Drehflügel angewendet. Die erste dieser Arbeiten erfasst auf zweidimensionaler Basis das Vorhandensein einer Bodenebene. Es wird angenommen, dass die Wirbel im Abwinde des schwebenden Drehflügels durch die Bodenebene nicht zurückgeworfen, sondern schnell zerstreut werden. Als Resultat zeigt sich, dass die einer spezifischen Schwingungsform entsprechende aerodynamische D?mpfung durch den Einfluss des Bodens, der praktisch etwa zwei Drehflügel-Durchmesser hinaufreicht, im allgemeinen vergr?ssert wird. Die zweite der vorgelegten Theorien betrifft die dreidimensionale Str?mung über ein schwingendes Flügelblatt, welches als tragende Linie und unter Vernachl?ssigung der Krümmung seines Abwindes untersucht wird. Numerische Rechnungen sind ziemlich mühsam, aber mittels Rechenmaschinen ohne weiteres durchführbar. In einem herausgegriffenen typischen Beispiele zeigte sich, dass die Luftkr?fte bedeutend kleiner sind als die von der Streifentheorie angezeigten, dass aber die Phasendifferenz zwischen Anstellwinkel und Luftkr?ften fast unver?ndert bleibt.

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This investigation was performed under USAF Contract AF33(616)-3270 sponsored jointly by the US Army and Dynamics Branch of the Aircraft Laboratory, Wright Air Development Center.     

Ein Zwischenfall, dem Heinz Hopf 1939 in Karlsruhe ausgesetzt war

Zusammenfassung  Am 9. Januar 1939 wurde Heinz Hopf, damals ordentlicher Professor für Mathematik an der ETH in Zürich, auf der Rückreise aus Berlin in Karlsruhe von der Gestapo verhaftet und in Untersuchungshaft genommen. Die dramatischen Umst?nde dieser gef?hrlichen Verwicklung lassen sich dank der heute im Archiv der Bibliothek der ETH vorhandenen Unterlagen in gro?en Zügen rekonstruieren. Darunter befinden sich auch Unterlagen, die dem Archiv erst vor kurzer Zeit von Dr. Klaus V?llm zur Verfügung gestellt worden sind. Es ergibt sich daraus ein beklemmendes Bild der Umst?nde, in denen Personen und Institutionen damals Entscheidungen haben f?llen müssen.     

Eine Ergänzung zum Bericht über Geometrie der Kommission Kahane: das Beispiel der affinen Geometrie im Collège

Zusammenfassung. Der nachfolgende Artikel ist aus der Arbeit der Kommission Kahane hervorgegangen, die in den letzten Jahren im Auftrag der franz?sischen Regierung über Ver?nderungen des Mathematikunterrichts nachgedacht hat. Sein Gegenstand ist die Mittelstufengeometrie, die in Frankreich bisher vor allem durch eine Betonung des Abbildungsgedankens sowie durch frühe Verwendung von Vektoren gepr?gt war. Gezeigt wird, wie sich wichtige S?tze derselben (Strahlensatz, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden, Ceva, Menelaos) mit Hilfe von vier fundamentalen Lemmata, die auf der affinen Semi-Invarianz des Fl?cheninhaltes beruhen, beweisen lassen. Die theoretischen Grundlagen dieser Semi-Invarianz werden im Sinne der Invariantentheorie im Anhang 1 entwickelt. Weiter wird die Theorie der Zerlegungs- und Erg?nzungsgleichheit, insbesondere der Satz von Bolyai-Gerwien, im Anhang 2 erl?utert. Eingegangen am 3. Mai 2001 / Angenommen am 10. September 2001