例谈三角形“相似分割”问题

<正>一、问题背景苏科版八年级数学(下册)第123页有这样一道探索研究问题:"如图1,有两个分别涂有黄色和蓝色的△ABC和△A′B′C′,其中∠C=∠C′=90°,且两个三角形不相似.问:能否分别用一条直线分割这两个三角形,使△ABC所分割成的两个黄色三角形与△A′B′C′所分割成的两个蓝色三角形分别对应相似?如果能,请设计出分割方案;如果不能,请说明理由."图1学生初次接触这种相似分割问题时无从下手,笔者立足此题设计有层次的四个问题,帮助学生初步掌握三角形相似分割的一些基本方法,学会有目的、有条理地分析问题.     

对一道课本“探索研究题”的再回首——基于“三角函数的图象”的课例研析

温故而知新,中考复习中,我们教师如果能够充分挖掘教材,整合资源,尤其是关注习题中蕴含的思想方法和内在价值,并进行拓展创新,那么对学生知识的巩固,数学思维品质及学习能力的培养都有着及为重要的意义.苏科版教材八年级数学下册第9章《中心对称图形——平行四边形》复习题"探索研究"     

一道课本习题与费马点

<正>一、问题提出:苏科版实验教科书九年级上册第一章第39页《图形与证明二·复习题》第14题如下(图1):三个城市A、B、C分别位于一个等边三角形ABC的三个顶点处,要在这三个城市之间铺设通信电缆,现设计了三种方案:(1)连接AB、BC;(2)连接BC,连接点A与BC的中点D;(3)找出到△ABC三个顶点距离相等的点     

一道课本例题的引伸与探究

1问题提出国标苏科版教材九年级上册24页例6[1]:图1已知:如图1,E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点,AF、BG、CH、DE分别相交于点A′、B′、C′、D′.求证:四边形A′B′C′D′是正方形.2方法探究课本给出的证法经历了三次全等证明:①△ABF≌△BCG,②△AB′B≌△BC′C,③△AA′E≌△BB′F.接下来,要思考的是能否减少证明全等的次数,使得证明更简单、自然?不妨把上述的三次证明全等,定义为三个模块.不难发现,模块①是证明过程必不可少的,通过模块①证∠A′B′C′=90°,同理可证四边形A′B′C′D′其它的各内角也都为90°,从而可证四边形A′B′C′D′是矩形.在此基础上,模块②、③中只需证明其中的一个即可.方法1证明模块②,可得AB′=BC′,BB′=CC′,同理有CC′=DD′=AA′,则AB′-AA′=BC′-BB′,即A′B′=B′C′,从四边形A′B′C′D′的一组邻边相等.因此,四边形A′B′C′D′是正方形.方法2证明模块③,可得AA′=BB′,B′F=A′E,同理有A′E=D′H=C′G,则AF-B′F-AA′=BG-C′G-BB′,即A′B′=B′C′,从...     

不经历探究怎么见彩虹

苏科版《义务教育课程标准实验教科书·数学》在每一章节之后所设置的"复习题"共分为"复习巩固"、"灵活应用"、"探索研究"三个层面,以供教师在本章复习教学时选用.在教学实践中,我们发现:不少教师尤其是一些年轻的教师对"探索研究"层面的复习题往往没有主动探究的意识,从不知道如何探究到无可奈何放弃探究,教师在课堂里怎么能引导学生进行探究性学习呢?本文将结合八年级上册第一章复习题中的第15题谈谈自已的一些做法.     

高中数学新旧教材习题难度比较--以人教A版“数列”为例

以人教版新、旧教材数列习题为研究对象,从“探究”、“背景”、“运算”、“推理”、“知识含量”五个方面对两版教材习题进行比较分析,发现:数列对于“运算”的要求高于其他因素,“背景”因素难度最低,其他三个因素难度差异不大.在“运算”因素上,新、旧教材差异不大,新教材的难度稍高于旧教材,在“探究”和“推理”因素上,新教材的复习题难度高于旧教材,但是在练习题上差异不大,甚至新教材难度有所降低;在“知识含量”因素上,无论练习题与复习题,新教材难度都高于旧教材;在“背景”因素上,旧教材的难度虽高于新教材,但是以“数学文化”为背景的题有所增加.     

例析一类“取值与自变量无关”的中考题

<正>课本习题是我们学习的重要素材,需要我们多去研读,不就题论题,以进一步提升解题的质量.本文以义务教育教科书七年级《数学》下册(上海科学技术出版社)一道课本习题为例,浅谈解题的思考角度,并展开应用.1.题目呈现及解法(课本86页B组复习题)如果x~2+ax-6     

由一道立体几何习题引发的思考

全日制普通高级中学数学教科书(人教版·必修)第二册(下B),习题9.8第4题:已知正方体ABCD-A′B′C′D′棱长为1,求直线DA′与AC的距离.(图1)图1该题的一般思路便是找到它们的公垂线段,在如何寻找这两条异面直线的公垂线段过程中引发笔者一些思考.我们先来看正方体中经常用到一个     

例谈反思课本习题的几条途径

教材中的数学题一般以例题、练习、习题和复习参考题四种形式出现.一方面,这些题目都是典型的、精选的,具有一定的代表性;另一方面,与旧教材中的习题和复习参考题相比,现行数学教材中的习题和复习参考题培养学生能力的目的更为明确,难度也有所增加.所以对于每一个同学而言,要重视教材中的题目,学习后还要反思、研究这些题目,如果仅是做过了事,不去挖掘题目固有的内涵,就不可能达到教材要求的目标.这里我们通过对现行教材中的一个三角证明题的反思,给出五条反思课本习题的途径,以供大家教学参考.     

高中数学教材“阅读题”教学地位的研究

苏教版高中数学教材"探究·拓展"栏目配置了一些"阅读题",文章从三个层次阐述了提升"阅读题"教学地位的必要性:关注阅读题,有利于培养学生的思维品质;选题新颖,有利于激发学生的数学热情;最后链接高考,有利于凸显"阅读题"的教学地位.苏教版普通高中课程标准实验教科书《数学》在课后习题和复习题部分设置了"探究·拓展"栏     

重视基本图形 理解几何直观

几何直观是新课程标准的十个核心关键词之一,也是贯穿学生数学学习始终的重要思想方法,其中几何上的一些基本图形是理解几何直观的有效载体.苏科版初中数学教材上有很多典型的基本图形,深刻理解其中条件和结论之间的联系后,可以直接将与之相关的问题转化为熟悉的基本图形,从而从几何直观的角度迅速解题.1试题呈现新苏科版数学教材七年级下册P42第20题.(1)如图1,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平     

认清习题本质 寻求正确答案

<正>在教学人教A版普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3第一章计数原理的时候,有些同学在解答教材中的两个习题时,对每个习题分别给出了不同的解法,但却产生了不同的答案.对此,笔者经过深入的思考,分析其中错误原因,同时给出正确解答,供同学们参考.     

一个习题的推广及其应用

已知 ABCD是正方形,∠OAD=∠ODA=15°求证△OBC是正三角形。这是十年制几何第二册总复习题第12题,有多种证法,数学刊物上做过一些汇集,传统上多用同一法证明。此题的证明实际上可得到一个比原命题更强的结果,归纳为正方形的一个性质: 性质I 正方形中分别以相对两边为底边,具有公共顶点的两个等腰三角形,其中一个等腰三角形底     

椭圆中的一个定值

<正>在做完《高中数学教材(B版)选择性必修第一册》^([1])136页习题2-5C第2题后,通过老师层层引导以及同学间相互交流讨论,发现原来一道看似非常简单的数学问题,可以一般化拓展演化出许多相关的结论,甚至高考试题背后的知识载体也可以源于此,因此希望通过本文引发同学们思考和对数学问题的探索欲望.     

一道源于课本习题的中考试题——孝感市2011年中考数学第23题评析

1 课本习题义务教育课程标准实验教科书人教版九年级数学上册P95习题24.1中第11题是:例1 如图1,A,P,B,C是⊙O上的四点,∠APC=∠CPB=60°,判断△ABC的形状并证明你的结论.在上述问题中,易知△ABC为等边三角形.利用这一结论,并过点C作BP的平行线与PA的延长线相交,就得到2011年孝感市中考数学试卷中的第23题.     

如何寻找《线性规划问题》的整点最优解

试验教材高二数学 (上 )增加了《简单的线性规划》的内容 ,利用图解法解答线性规划的两类问题 .对此 ,大纲要求“会简单的应用”.学生对线性规划的基本概念、基本方法在两类实际问题中的应用 ,基本可以达纲 ,但对寻找《线性规划问题》的整点最优解的问题 ,感到不好入手 ,完成作业困难较大 .在这个问题上 ,试验教材安排了一个例题 ( P76页例 4) ,两个习题 ( P79页第 3、4题 ) ,一个复习题 ( P10 7页第 17题 ) .针对学生从认知到应用这一过程存在的问题 ,笔者在教学实践中归纳整理了三种基本方法 ,现举例说明如下 :例 1　 ( P79页习题第 4题…     

“同底等高的三角形面积相等”的应用

教版八年级下册100页习题8题:如图1直线l1∥l2,△ABC与△DBC的面积相等吗?你还能画出一些与△ABC面积相等的三角形吗?显然S△ABC=S△DBC,因为这两个三角形同底等高.再画当然可以画出很多,只需在l1任取一点与B、C相连结即可.运用这一结论可以解决一类求面积问题.     

对一道数学趣题解答的剖析与思考

1 一道数学趣题及其常见解答 有一道数学趣题,流传着许多种版本,大量出现在小学数学教材和课外读物里[1-4].现以上海版六年级<数学>课本中的一道习题[5]为例展开讨论.     

一道课本习题解答与反思的心路历程

题目 (人教A版<数学4>P137习题3.1A组第8题): 在△ABC中,sinA=5/13,cosB=3/5,求cosC的值.     

新证勾股定理逆定理

若三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.这便是著名的勾股定理逆定理.北师大版初中义务教育数学教科书第九册第17页介绍对此定理的经典证明:已知:如图1,在△ABC中,AB2 AC2=BC2.求证:△ABC是直角三角形.图1证明:作△A′B′C′使∠A′=90°,A′B′=AB