球面坐标系中三重积分体积微元的分析

三重积分是高等数学教学中的一个重要知识点,特别是球面坐标系下的三重积分的计算.球面坐标系下三重积分的一个教学难点是如何清晰直观的理解体积微元.不同于坐标变换这种抽象的理论分析方式,从体积增量的角度出发,并通过MATLAB绘图,直观形象地给出球面坐标系下三重积分体积微元公式的分析过程.     

用“柱壳法”求旋转体体积

对旋转体的体积，通常是取一个扁圆柱体的体积为体积微元，对于有些旋转体用这种方法计算有时比较困难，而采用“柱壳法”却较方便。定理设平面图形（如图1）绕y轴旋转所成旋转体的体积为证明在[a，b]上取小区间[x，x＋dx]以f（x）为高，dx为宽的矩形绕y轴旋转所得的圆柱形薄壳（也称柱壳）的体积的近似值2一八X）dX即为体积微元dV：推论平面图形0＜a＜x＜b，人（x）＜y＜人（x）绕y轴旋转所成旋转体的体积V为例1求y二sinx（0＜x＜。）与x轴所围图形绕y轴旋转所得立体的体积。解选X为积分变量，XE［o，d。在k，d上取小区间》，X十dX〕，…     

纵横联想拓展延伸——对一道解几题的深入探究

数学教学中的习题教学应该成为高效的思维训练 .选择典型例题 ,引导学生拓宽思维空间 ,广泛地探寻各种解法 ,通过对比鉴别 ,不断择佳选优 ,然后再进行拓展延伸 ,则是进行这种思维训练的理想途径 .本文以一道解几题为例 ,谈谈这种训练的实施过程 .题目　过抛物线 y2 =2 px( p >0 )的顶点 O作两条互相垂直的弦 OP1、OP2 ,分别以OP1、OP2 为直径作圆 ,两圆的交点为 O、Q,求Q点的轨迹方程 (如图 1 ) .1　异彩纷呈 ,逐步优化的各种解法图 1由于弦的斜率是引起交点 Q变化的根源 ,所以首先想到的是分别设出直线 OP1和OP2 的方程 ,求出 P1、…     

求楔形体体积的多种解法

以华东师范大学数学系编写的《数学分析》[1]教材中的习题作为例题,利用平行截面面积求体积及重积分的方法,讨论了求楔形体体积的多种解法     

从课堂实践谈如何进行“问题”的创设

一、教学实例呈现1.例题的设置应具有基础性和具体性对于新课教学而言,例题是课堂研究的"中心问题"所在,如何设置例题直接关系到学生的学习效果,我们应该关注到学生对刚刚学习的概念和知识还有一定的陌生感,所以在中心问题的设置上应具体、基础.例如,在和学生探究"直线与圆的位置关系"的过程中,从基础性和具体性出发,笔者设置了如下两道例题:     

判别式应用中学生思维品质的培养

在判别式应用教学中,对一些特殊情况,由于学生常常是机械地记忆判别式与根的关系,忽略判别式应用的局限性,因而解题时形成了思维定势.所以在判别应用中要精选例题,发挥良好的教学效益,培养学生的思维品质.一、在概念辨析中,培养思维的严密性在教学中,在容易混淆的概念、容易遗漏的讨论上设计辨析问题,提高学生思维的严密性.例1当实数a为何值时,方程1x+x-a4=1只有一个实根.解:原方程化为x2-(5+a)x+4=0①,由Δ=a2+10a+9=0,解得a=-1或a=-9.至此,学生往往认为解答结束,其实,学生将一元二次方程相等实根与分式方程只有一个实根的概念等同,如果方…     

三圆柱体垂直相交体积的计算

针对三个直径相同的圆柱体垂直相交所构成的区域,给出求解其体积的积分表达式和积分值,比较不同坐标系下的积分表达式,进一步给出直径不同的三个圆柱体垂直相交所构成的立体体积的积分表达式.     

课例点评:多面体的体积

目的要求 :1通过复习 ,使学生进一步熟悉求多面体体积的常用思路与方法 ,培养学生分析问题和解决问题的能力 .2进行辨证唯物主义思想教育和数学审美教育 ,提高学生良好情感 .重点 :多面体体积的计算 .难点 :底面及高的确定 .图 1教学方法 :学生主动探索与教师启发相结合 .教学过程 :1　例题分析例题　已知正四面体 ABCD的棱长为 a,求其体积 .分析　由于 V三棱锥 =13Sh,S为底面积 ,h为底面上的高 ,如何确定底面和高 ?(学生思考 )思路 1　 (直接法 )如图 1,选 BCD为底面 ,A到底面 BCD的垂线 AO为高 (从学生熟悉的简单的多面体入手 ,和…     

纸盒的体积是不是尽可能大——从定向求解到开放探究教学一例

本课是高三复习均值不等式应用的一个探究性教学案例 .全课从学生司空见惯的纸盒提出问题 ,自始至终地围绕着“纸盒的体积最值问题”进行分析、比较、探求、创新 ,采用师生互动的方式 ,引导学生自主分析、自主探索、自主决策、合作纠正 ,逐步完善问题的解决途径 ,充分体现学生的主体地位 .通过对“纸盒的体积是不是尽可能大”的层层探索 ,激发学生创新的欲望 ,让学生的思维得以充分的暴露 ,在对思维的过程和结果不断反思中使学生的思维空间在逐步扩大的过程中得到发展 .1　教学过程1 1　提出问题教师　在日常生活中 ,我们经常与纸盒打交道 …     

一道解析几何最值题的多视角研究

解析几何中的最值问题是学生解题中经常遇到的一类问题,它牵涉到很多代数与几何的方法,本文拟从课本上一道例题出发,多角度研究一类最值问题.问题1设P(x,y)是圆x~2+y~2=4上的动点,F(1,0),研究|PF|的最值.分析该问题是课本上一道例题,研究定曲线(圆)上的动点到一个定点的距离的最值问题.     

浅淡课本例题的延伸和拓展

新课程标准要求教师树立以学生发展为本的教育观 ,改革教学方法 ,激发学生学习兴趣 ,培养学生创新精神 ,提高学生素质 .现行初中数学课本中有不少例题内涵丰富 ,对发展学生思维能力有不同寻常的作用和丰富的教学价值 .长期的教学实践使我体会到 :如能对一些例题加以延伸和拓展 ,则能使学生以少胜多地巩固基础知识 ,提高分析问题和解决问题的能力 ,对沟通知识的联系、开拓思路、优化思维品质都是十分有益的 .1.改变题设 ,变封闭性问题为开放性问题 .1 .1　改变已知条件 ,结论不变课本例题中已知条件含有非实质性限制条件 ,使数学问题呈现单一…     

透过现象看本质——“隐圆”问题探究

<正>圆是高中数学一种重要的曲线,在一些与圆有关的题目中,条件没有直接给出圆方面的信息,而是隐藏在题设中.通过题意的分析发现圆(或圆的方程),从而可以利用圆的相关知识求解问题,我们称这类问题为"隐圆"问题.这类题目构思巧妙,综合性强,充分考查了数形结合、转化和化归等数学思想,处理这类题目关键在于能否把"隐圆"找出来.下面我们结合以下例题探讨几类常见类型的"隐圆".     

Maple在重积分教学中的应用

传统的重积分教学问题是学生空间思维的不足 .为改变这一现状 ,利用 Maple 6制作重积分教学课件 ,本文重点讨论了制作空间图形的技巧     

利用等圆证题

在平面几何课本第二册圆一章,有许多性质是在“同圆和等圆”中都成立的,但就如何在等圆中运用性质证题问题课本并未给出例题(习题),在现在的一些参考书中也很少出现利用等圆证题的实例.学生对定理只是会背而不知在什么时候应用.针对这一问题,在指导初三毕业班的同学复习平几时,我为开拓学生的思路、提高他们的解题能力,搞了一次专题讲座,向学生讲授了关于证等圆的方法及其应用,收到了较好的效果.     

浅谈Dirichlet积分的教学

在高等数学的教学中 ,有一些很重要的结论对不同专业的学生来说 ,由于数学知识水准不一 ,在推导它的结果时 ,需要用不同的处理方法 ,以便不同层次的学生接受 .本文所讨论的 Dirichlet积分即积分 I=∫+∞0sinxx dx.它的结果无论是在数学领域 ,还是在其它自然科学中均被广泛应用 .下面介绍几种在不同知识水平上对此结果的推导方法 ,仅供教学中参考 .首先证明积分 I收敛 .事实上 ,如果在 x=0处 ,我们定义 sinxx =1 ,则 sinxx 便是 [0 ,+∞ )上的连续函数 .因此 ,对于任给的 u>0 ,函数 sinxx 便都在 [0 ,u]上可积 .注意函数 g( x) =1x,则 g′(…     

浅谈例题类型设计

在当前的素质教育中 ,要努力减轻学生过重的负担 ,避免“题海战术”困扰的重要一环就是科学设计、精心安排例题的教学 .经过多年的例题教学实践和探索 ,笔者认为实际教学中 ,设计不同类型的例题组织教学 ,有利于学生深化知识、突破难点、发展思维 ,培养创新能力 .下面就 5种类型例题的设计谈一点体会 .1　设计边讲边练的小例题这一类例题主要是针对新授课的单一知识点而设计 .它不但能把课堂导、学、练有机结合 ,使课堂内容充实 ,气氛活跃 ,学生信息反馈快 ,而且还能促使学生感性认识向理性认识的升华 ,从而使学生掌握的知识不断深化 .这种类型的小例题的最大特点是 :内容单一 ,针对性强 ,题目方式灵活多样 .例如 ,在“复数乘法的几何意义的应用”教学中 ,可设计如下边讲边练的小例题组 ,收到的教学效果颇佳 .例 1　 1已知向量 OZ1→ 所表示的复数Z1=2 ( cos 60&;#176;+sin 60&;#176;) ,将向量 OZ1→ 按逆时针方向旋转 10 5&;#176;,并将长度变为原来的 32 倍 ,得到向量 OZ→ ,求 OZ→ 所表示的复数的一个辐角和模 .并用三角形式表示该复数 .2在上述条件下 ,向量 OZ→ 所表示的复数 Z与Z1...     

三重积分计算浅析

本文首先讨论了不同坐标系中一例三重积分的计算,然后研究了变量置换在三重积分计算中的应用,指出它是三重积分在柱(球)坐标系中计算的本质,最后讨论了例题若干变形的处理,这些都有助于丰富和完善相关的教学内容与细节.     

高等数学中的逆向思维

逆向思维的基本特点是 :从已有思路的相反方向去思考问题 .如 ,考虑使用间接方法 ,考虑逆推 ,考虑研究逆命题 ,考虑问题的不可能性 ,等 .它有利于克服思维定势的保守性 ,常常可帮助人们寻求新的思路、新的方法 ,开拓新的知识领域 ,在高等数学教学中 ,不少内容都可以用来培养学生的逆向思维能力 ,作者在工科高等数学教学实践中曾对这一问题作过探讨 ,以下我们将从几个主要方面来说明这一问题 .1　利用定义的可逆性(1 )利用定积分的定义求极限例 1　设 ｆ(ｘ)在 [0 ,1 ]上连续 ,且 ｆ(ｘ) >0 ,求极限ｌ=ｌｉｍｎ→∞ ｆ(1ｎ) ｆ(2ｎ)…ｆ(ｎ -…     

圆的一个性质的探求

一、问题的提出在高级中学课本《平面解析几何》(必修 )第 68页上有这样一道例题 :已知一曲线是与两个定点Ｏ(0 ,0 )、Ａ(3 ,0 )距离的比为12 的点的轨迹 ,求这个曲线的方程 ,并画出曲线 .课本中给出本题的答案是 :所求的轨迹方程为 (ｘ+ 1) 2 +ｙ2 =4,它是以Ｃ(-1,0 )为圆心 ,ｒ =2为半径的圆 (如图 ) .一般地 ,我们还可以证明 :与两个定点Ｍ1 、Ｍ2 距离的比是一个常数ｍ(ｍ >0 ,ｍ≠ 1)的动点轨迹是一个圆 (证明从略 ) .现在我们要思考的问题是 ,这两个定点及定比与所得的圆是什么关系 ?对于一个圆 ,是否一定存在一对点 (唯一还是无穷多…     

解题教学中的目标意识

波利亚说过 :“掌握数学意味着什么呢 ?就是要善于解题 ,……”从广义上讲 ,学习数学在于解题 ,数学教学是以解题为中心的教学 .解题教学值得探讨的问题很多 ,其中最重要的是培养学生解题中的“目标意识”(特别对于比较复杂的问题 ) .众所周知 ,解题就是解决问题 ,它是思维活动的过程 ,而思维的目的性是思维的第一特征 ,没有目标 (问题 ) ,就没有思维 ,为了避免学生思维的盲目性 ,进一步强化对思维活动调控、优化 ,解题教学必须培养学生强烈的目标意识 .本文通过两道例题加以剖析 .例 1　设函数 f(x) =logax - 2ax + 2a(a >0 ,a≠ 1) ,若x∈…