关于椭圆内接四边形和三角形的最大面积

(一) 椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(n>b>0)内接四边形的最大面积为2ab。 (一) 内接平行四边形的最大面积为2ab [证明一] 设ABGD是椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的内接平行四边形(图1).由于对角线AC、BD互相平分,即有共同的中点.则以椭圆内定点(非中心)为中点的弦(简称中点弦)是唯一的。(设定点为M(x_0,y_0),则中点弦方程为x_0x/a~2 y_0y/b~2=x_0~2/a~2 y_0~2/b~2).因而,AC,BD相交于椭圆的中心(即为椭圆的两     

抛物线内接三角形的一个性质

文[1]得出了双曲线的内接三角形的一个性质:即双曲线的内接三角形的重心不可能是双曲线的中心.文[2]得出了椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的内接三角形,若其重心与椭圆的中心重合,则内接三角形的面积为定值3√3/4ab.本文通过对抛物线进行探究,也发现了抛物线的内接三角形的一个性质.     

椭圆内接三角形最大面积的简易求法

余老师在文[1]中给出了椭圆内接n边形最大面积的探求.本文拟给出另一种简易求法. 问题(第九届“希望杯”高二第二试试题)椭圆x2/a2 y2/b2=1的内接三角形的最大面积是__.     

伸缩变换与椭圆性质再研究

《数学通讯》2007年第10期的文[1]用解析法证明了“椭圆a^2^-x^2＋b^2^-y^2=1（a〉b〉0）的内接三角形面积的最大值为4^-3√3ab”,     

关于椭圆内接n边形面积最大值问题的解答

文[1]数学疑难专栏提出:圆x~2+y~2=r~2的内接n边形中,具最大面积的是圆内接正n边形.那么,设a>b>0,椭圆(x~2)/(a~2)+(y~2)/(b~2)=1的内接三角形的最大面积是多少?内接四边形呢?内接n边形呢?,对于前两问,文[2]通过下面两个定理已给出解答.     

也谈椭圆的内接三角形的一个性质

文[1]证明了椭圆的内接三角形的一个性质：如果椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）的内接△ABC的重心与椭圆中心重合,那么△ABC的面积是定价3√3/4ab,但在注中指出逆命题不成立,这是错误的．其实,其逆命题是成立的,因此有下面的命题成立：     

以静窥动 动中求静

我们在解决某些几何题时,可以把某一儿何图形看成是另一图形运动的结果。从这一思想出发,常能获得较为新颖或较好的解法。例1 证明:椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的内接三角形的面积的最大值为3 3~(1/2)ab/4。证:我们把椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1看成是由圆:X~2 Y~2=a~2经均匀压缩变换 x=X y=bY/a 运动而得到的。设A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)一是椭圆内接三角形三个顶点,它们在圆X~2 Y~2=α~2上的对应点为A′     

关于椭圆中面积最大的内接多边形的一个定理

关于椭圆中面积最大的内接多边形的一个定理张学东（山东聊城三中２５２０００）我们在文山中用压缩变换证明了椭圆内接三角形和四边形的面积分别为和．读者自然会问：椭圆。的任意内接边形是否也能取到最大面积？最大面积与边数ｎ之间有什么关系？对于固定的ｎ，面积最大...     

一道2010年莫斯科大学入学试题的另解

题目在四边形ABCD中,长为9的对角线AC是锐角∠BAD的平分线,并分四边形为2个面积为6 2～(1/2)与12 2～(1/2)的三角形,这个四边形内接于一圆,求它的半径.这是一道2010年莫斯科大学计算数学与控制论系入学考试试题,《中学生数学》2012年4月上给出了一种解法,这里我们再提供一种更为简明     

椭圆内接四边形面积最大值的一种简捷求法

如图,已知椭圆的方程为x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),A、B、C、D是椭圆上四点,求四边形ABCD面积的最大值.我们的习惯思维是连结对角线AC或BD,将四边形ABCD的面积转化为两个三角形面积之和,从而建立四边形ABCD面积的目标函数,再求面积的最大值.但是,因为涉及     

椭圆内接n边形最大面积的探求

如何求内接于椭圆的n边形的最大面积? 这个求最大值问题中,没有对n边形的边或内角加以任何限制,因此无法确定取最大面积的 n边形的特征,解题难以入手.但我们知道,圆的内接三角形中,正三角形的面积最大.本文就以此结论为基础,光由圆引申到椭圆,再由三角形弓呻到多边形,求出答案. 1.圆内接三角形的最大面积 圆内接三角形中以正三角形的面积最大     

谈椭圆内接等边或等腰三角形

有两道关于椭圆对称性的应用流行甚广但以偏概全的题: 题一:作椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的内接正三角形,使其一个顶点是(0,b),求此三角形的边长。(a>b>0) 题二:椭圆4x~2 y~2=4的左顶点为A,求以A为顶点的内接等腰△ABC的最大面积。     

关于椭圆及椭球面的两个最值问题

一、椭圆内接n边形面积的最大值引理1 单位圆内接n边形的面积以正n边形的面积为最大,最大值为Smax=n/2sinnπ/2(其中n≥3)     

一道最值问题的解法探究

<正>题目已知椭圆C的方程为x²/(10)+y2/(10)+y²/9=1,F为C的右焦点,A为C的上顶点,P为C上位于第一象限内的动点,则四边形OAPF(其中O为坐标原点)的面积最大值为().(A)3/2(B)3/2(11)2/9=1,F为C的右焦点,A为C的上顶点,P为C上位于第一象限内的动点,则四边形OAPF(其中O为坐标原点)的面积最大值为().(A)3/2(B)3/2(11)^(1/2)(C)3/2(10)(1/2)(C)3/2(10)^(1/2)(D)1解法1(坐标法)因为S_(四边形OFPA)=S_(△AOF)+S_(△AFP),其中S_(△OAF)为定值.若使四边形面积最大,则需S_(△AFP)     

我为高考设计题目

<正>题390已知椭圆E:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左、右两个焦点分别为F₁、F₂,P(1,3/2)是椭圆E上一点,且|PF₁|+|PF₂|=4.(1)求椭圆E的方程;(2)设四边形ABCD是椭圆E的内接四边形,直线AB与CD的倾斜角互补,且交于点M(3,0).(i)证明:直线AC与BD交于定点N.     

椭圆内接四边形的一个性质及其推广

本文给出椭圆内接四边形的一个定值性质 ,并将性质推广到椭圆内接n边形 .一、定理及其推论定理 1 :自椭圆上任意一点到其内接四边形两双对边距离之积的比为定值 .图 1证明 :如图 1设Ai(acosai,bsinai) (i=1 ,2 ,3 ,4)为椭圆内接四边形的四个顶点 ,P(acosθ,bsinθ)为椭圆上任意一点 ,不妨设上述五点中任意两点的连线均与x轴不垂直 ,则 :KA1 A2 =bsina1 -bsina2acosa1 -acosa2=-bcosa1 +a22asina1 +a22所以 ,直线A1 A2 方程为 :y -bsina1 =-bcosa1 +a22asina1 +a22(x-acosa1 )因此 :xbcos a1 +a22 +yasin a1 +a22-abcosa1 -a22 =0又设P到…     

三角形的内接正方形

如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的三边上 ,称该正方形是该三角形的内接正方形 .根据“抽屉原理”,内接正方形的四个顶点中必有两个在三角形的同一边上 ,此时 ,称正方形为三角形的该边上的内接正方形 .文 [1]从一个实际情景出发 ,提出了 :如何作一个三角形的内接正方形 ?在对直角三角形和锐角三角形给出具体的作法后 ,文 [1]进一步提出了三个问题 .(1)同一直角 (锐角 )三角形 ,有几种内接正方形 ?哪一个的面积最大 ?(2 )如何折出钝角三角形的面积最大的正方形 ?(3)如何由一个三角形纸片折出面积最大的正方形 ?本文先给出一个作一个…     

关于椭圆的十个最值问题

本文利用初等方法讨论了与椭圆有关的若干几何最值问题 ,得到了十个有趣的结论 ,为方便读者选用 ,现用定理形式叙述如下 .定理 1　椭圆ｂ2 ｘ2 +ａ2 ｙ2 =ａ2 ｂ2 (ａ>ｂ >0 )的内接三角形的面积的最大值为3 34ａｂ .证明　设该椭圆内接三角形ＡＢＣ三顶点坐标按逆时针方向依次为Ａ(ａｃｏｓθ1 ,ｂｓｉｎθ1 ) ,Ｂ(ａｃｏｓθ2 ,ｂｓｉｎθ2 ) ,Ｃ(ａｃｏｓθ3,ｂｓｉｎθ3) ,则 △ ＡＢＣ的面积为Ｓ=121　ａｃｏｓθ1 　ｂｓｉｎθ11　ａｃｏｓθ2 　ｂｓｉｎθ21　ａｃｏｓθ3　ｂｓｉｎθ3=12 ａｂ1　ｃｏｓθ1 　ｓｉｎθ11　ｃｏｓθ2…     

椭圆顶点四边形的内切圆的若干性质及其应用

定义1我们把椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0)的四个顶点(±a,0)、(0,±b)叫做椭圆的顶点四边形.如图1.定义2与椭圆的顶点四边形各边都相切的圆叫做椭圆顶点四边形的内切圆.如图1.     

正方形的内接正三角形

如果一个三角形(正三角形)的三个顶点都落在一个正方形的边上,则称这个三角形为该正方形的内接三角形(内接正三角形).当该内接正三角形的面积最大时,称最大内接正三角形;当该内接正三角形的面积最小时,称最小内接正三角形.