三角形各心与界心间的关系

定理1设P为AABC所在平面内任一点，则美中P、R和rfi别为半固长，外接回和内团圆半径．证明则留4，因BD—p—C，DC—P一b，在西PBC中用Stewart定理：在西ABD中，有再由Menelaus＆理，淆；，AJa、。、一、。。。。从而无一“；在西PAD申用Stewart定’””“JDpa”““—”“一””“一”一一理，得指PD’、AD‘表达式代入此式，利用即得欲证．由此可以推知：（l）JO＝RZr．（2）JH—ZIO—2JRnMF＝．（P弓H重台，吕PA’一4R’一a’等代人，巨用allffiP’一百a‘一r’＋4R”租OI’一R’一ZRr，即得欲证）由（3）和（4）…     

三角形界心的若干性质

性质1过三角形任一顶，＊’的周界中线平行于内·C与对边中点的连线．这是已有性质，略证如下．设AK为西ABC周界中线，则＊K一户一C，KC一户一b，M为BC中点，AI延长交对边BC于E，则BE一MM，于是”“hMc性质2三角形一顶点到界心的距离，等于内心到对边中点距离的二倍．证明设M、N分别为西＊BC的边＊C和AC中点，I为内。c，J为界·G（如图2），则IN／／BJ（性质1），连CI延长到F，使IF—CI，连AF，FB，则IN／／AF，于是BJ／／AF，同理AJ／／BF，AFBJ为平行四边形，性质3在同一三角形中，人G、J共线且JG—ZGI．事…     

关于离散代数Riccati方程的扰动分析

1．引言若不特别说明,以下记号都是常规的,可参见山．在最优控制中占有核心地位的代数Xiccati方程（ARE）有两种基本形式：连续型的ARE（CARE）：离散型的＊＊E（＊＊RE）：其中只兄见NE贮””,GIE皿””m,GZE＊m”m,in＜2,＊T二K＞风＊T二N＞几＊2二＊2＞凡从应用角度看,主要关心＊＊E的对称半正定解．对于＊＊RE,已有大量的研究工作．特别,陈春晖门、徐树方问、Ghwimi－Laub同等研究了扰动理论．对于DARE,它与＊＊＊E的一个明显区别是：＊＊M是二次矩阵方程而＊＊＊E具有高度非线性．这种区别使得DARE远为复杂…     

由一道课本习题派生出来的的一类题

现行九年义务教育教科书《几何》第二册Pll5第13题：已知，如图1，点C为线段AB上一点，凸＊＊M、凸＊＊N是等边三角形．求证：＊N一BM．这是三角形金等中的一道基本题，由等边三角形的性质易知AIACNgAIMCB（SAS）故AN--BM，且／互一／2．（。）由这道题派生出来的各类题常见于各地中考试题及各类资料之中，今略举几例如后．在证明过程中。（。）式的结论我们直接应用，题设也不变．派生题1如图互，设＊N、＊M交于点D，求证：上＊＊B一120"（或／＊＊N一60"）．简证／BDN一／卫十／3一／2Mf3一／ACM-60"．派生题2"如图工，设…     

一类内接三角形的面积的统一公式

设P是△ABC所在平面内任意一点，AP，BP，CP交直线BC，CA，AB分别于D，E，F，则称△DEF为点P关联△ABC的内接三角形．本文得到了此类内接△DEF与△ABC面积关系的统一公式．即定理设P是△ABC所在平面内的一点，△DEF是P关联△ABC的内接三角形，若有向线段的比，则有Ceva定理知2lA人一1．先证P在凸ABC内的情形．如图1，由于次证P在凸ABC外的情形．如图2，因凸ABC三边所在直线以及过凸ABC三顶点与三边的平行线，六条直线将凸ABC外面的部分划分为15个不同的区域U中一1．2，…，15）．这些区域可归结为四类：UI－U3为…     

一道高考几何概型问题的推广

2008年江苏卷第6题为：在平面直角坐标系：xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投点在E中的概率是——．     

确定部分分式中待定系数的另两种方法

利用部分分式求有理函数的积分时，确定部分分式中的待定系数是关键。一般教材中提到两种方法：比较系数法和赋值法，本文通过下面的例题介绍另两种方法：逐次约简法和求导法。由（1）式确定系数A、B、C、D、E的方法为：1．逐次约简法第一步令X一1，得＊一1。第二步令C一1代入（l）式右端后，将以C为系数的项移到等式的左边，再于两边约去因式（X－1）得：一3X‘－3X＋1一卜（X－1）十利（X’＋ZX＋2）＋（DX＋U（X－I）’（2）在（2）式中令X一1，得B—－1。第三步以＊—－l代人（2）式后，将以B为系数的项移到等式左边，两边再…     

四边形中的一个不等式

定理设E、F、C、H分别是四边形ABCD的边BC、CH、DA、AB上的内点，且AH、BE、CF、HG、＿、。子兰一AI．兰拉一人．子头一入，美子一人，四边HB‘”‘’EC‘”‘’FD””‘’GA’”’”—”～形＊＊CD、＊＊＊11、＊＊11E、＊＊＊F、凸＊＊G的面积分别记为西、AI、凸2、凸3、A’．则当且仅当四边形＊＊＊D为平行四边形，且人一1（i—1，2，3，4）时，等号成立．根据平均值不等式，并注意到死十JZ十S。十S．一2凸，得当且仅当四边形＊＊CD为平行四边形，且入一1（i—1，2，3，4）时，等号成立．故定理得证．四边形中的一个…     

一道立几例题的应用价值

一道立几例题的应用价值甘大旺（武汉东西湖吴一中４３００４０）高中课本《立体几何》第一章倒数第二个例题用浓黑字体排：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．这个例题的结论既是两个平面垂直的一个性质命题，也...     

似是而非的两例概率问题

2008年江苏卷第6题为：在平面直角坐标系zOy中。设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域。向D中随机投一点，则所投点在E中的概率是____．     

椭圆的直径三角形的一个新性质

称内接于椭圆且一边为椭圆直径的三角形为椭圆的直径三角形．又若已知椭圆厂一直径为AB，RIJP的平行于AB的弦族的中点轨迹称为直径AB的共轭直径．本文给出并证明了椭圆的直径三角形的一个新性质，结论是定理设面ABC内接于椭圆厂且AB为的直径，l为AB的共轭直径所在直线，分别交直线＊C、＊C于E和F，又D为Z上一点，则CD与P相切的先要条件是D为EF中，k．．先引述定理证明中将用到的一个熟知结论引理一1的一对共轭直径的斜率（如果都存在的话）之积等于一》·定理证明当C在l上时，结论显然成立，故以下恒设C不在Z上，并设椭圆厂的…     

对三棱锥的一个截面的探讨

现行高级中学课本《立体几何》（必修本）P62，有这样一道题求证：平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形．这是一道看似平淡无奇、实则回味无穷的好题．如图I，利用线面平行的性质不准证明．本文拟对截面EFGH作点探讨，得到一些饶有趣味的命题，并例析此截面的广泛应用．IM面特殊化由截面＊＊CH平行移动而得命gi（l）当E为AB中点，且SA一BC时，截面EFGH是菱形；（2）当SA上BC时，截面EFGH是矩形；（3）当E为AB中点，SA—BC，SA上BC时，截面EFGH是正方形．对棱SA、BC的长H相对位置已定，则有命…     

运用向量知识解释平面解析几何问题

推证分两步进行：1)平面直角坐标系内任一直线，其方程都可写成Ax By C=0(A^2 B^2≠0)的形式；2)任一方程Ax By C=0(A^2 B^2≠0)在平面直角坐标系内都表示一条直线．其中要用到结论：“平面内过一点与一已知直线(法向量为非零常向量)垂直的直线有且只有一条．”     

线性流形上矩阵方程AX=B的一类反问题及数值解法

1．引言本文用＊-"m表示全体nX。实矩阵的集合，人表示n阶单位矩阵，汉"m一《ME＊""叫rank（川一r），＊＊"""＝HE＊"""卜"A＝v，＊＊"""一仰E＊"""卜"一M｝，SR；""（SR7""）表示全体7。阶实对称半正定（正定）阵集合．N（A）表示矩阵A的零空间，即N（A）＝（xlAx＝0），ID叫D表示Frobenius范数，A"表示矩阵A的Moors－Penrose广义逆，［EI十表示在Frobenius范数意义下n阶方阵E在SR；""中唯一的最佳k逼近解，即口一［E］＋11-inf。。、。。x，IllE-All．（［E］十求法见文［7］）．还用A三0（A三0）表示A（的k阶顺序主子矩…     

数学问题解答

数学问题解答１９９６年１月号问题解答（解答由问题提供人给出）９９１在ＡＢＣ中，ｓ是半周长，是面积，求证：证明…ＺＺ干沙＞ＺＺｙ；ｙＺ＋ＺＺ＞２邯；ｚ２＋ｚＺ＞ＺＸＸ．假作法如右图．（１）在ＡＣ上取一点Ｍ使力Ｍ：Ｍｃ＝ｍ：９；在＊ｃ上取一点Ｎ，使＊Ｎ：...     

平面一点到三角形某些心的距离公式

定理P为西ABC所在平面任一点，D、．．＿＿－＿．＿AD、AEE分别在直线AC、AB上，HM一人，品一”p，BD与CE交于M（不在边上），则证明仅证M在西ABC的情形．如图BFAAM，，7，由已知S一：，五千一又十p，从而，’。—一FCU”MP分别在西PBC和西ABC中，应用Stewart定理：在西APF中再用Stewart定理：将叩’、”’表达式代入整理即得欲证．若点M与J重合，则代入（。）式，即得平面一点到三角形某些心的距离公式@吴勤文$新疆昌吉州第一中学!831100     

异步并行非线性对称Gauss-Seidel迭代算法

1．引言考虑非线性方程组其中A＝（a。。）EL（＊”）为＊一矩阵，B＝（衬。）EL（＊”）为非负矩阵，呐X）一（p。（X。》，4（二）＝（吵k（kk》：＊一＊一为连续的对角映射，而6＝（6k）E＊一为已知向量．这里，什小：”一”均可微，但二者的导函数并不一定连续．这类方程组具有丰富的实际背景．例如，描述冰体溶解过程的著名的Stefan问题，就可归结为问题（1·1）的数值求解（见［l］）．为在多处理机系统上有效地求解问题（1．1），文山利用这类非线性方程组的特殊结构，建立了一类并行非线性Gauss—Seidel型迭代算法．为避免该算…     

直线与平面垂直的判定和性质

直线与平面垂直的判定和性质李迪淼（湖南洞口一中４２２３００）【基本概念】１．直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面．２．过一点有且只有一条直线和一...     

一道课本习题的引伸与改编

一道课本习题的引伸与改编８３９００３新疆哈密矿务局二中李久忠在处理课本中的典型例题时，既要重视一题多解，更要注重引伸改编．下面的题目是《平面解析几何）课本Ｐｌｌ。第１０题．在椭圆天十余一１上求一点，使它与两个焦点的连线互相垂直．赐设点Ｐ（Ｘ；，＊ｌ）...     

一道高考题思考过程的真实记录

翻阅2008年浙江省高考数学（理）试卷，发现最后一道选择题题目新颖，背景简洁，不免引起了我们的注意，题目如下： 如图1，AB是平面a的斜线段，A为斜足．若点P在平面a内运动，使得ΔABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（ ）