Queues fed by Poisson input and hyper-mixed Erlangian service time distribution with finite waiting space

Summary Three models are considered in this paper. In the first model, the main model, the problem considered is the time-dependent solution of the queues characterised by (I) Poisson input; (II) first come first served queue discipline; and (III) Hyper-Mixed Erlangian service time distribution withn branches, it being assumed that only a finite waiting space is available. In the second model, the input is supposed to be in batches of variable size and in the third model steady state probabilities are explicitly given when no queue is allowed. The technique of generating functions due toBailey [6] is employed for the solution of the problems so formulated. TheLaplace-transform of the system-size distribution is obtained and theLaplace-transform of the mean number of units is calculated therefrom. After the discussion of steady state solution in the particular cases considered, theLaplace-Transform of the waiting time distribution in this case is also calculated.

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Zusammenfassung In dieser Arbeit werden drei Warteschlangenmodelle betrachtet. Das Hauptmodell wird charakterisiert durch (1) Poisson-Ankunftsverteilung; (2) Bedienungsreihenfolge gemäß zeitlich aufeinander folgender Ankunft; (3) hyper-gemischte Erlang'sche Bedienungszeit-verteilung bein Kanälen; außerdem wird angenommen, daß nur ein endlicher Warteraum zur Verfügung steht. Für dieses Modell wird die zeitabhängige Lösung studiert. Im zweiten Modell wird angenommen, die Ankunft erfolge in Gruppen veränderlichen Umfangs und im dritten Modell werden stationäre Wahrscheinlichkeiten explizit angegeben, wenn keine Schlangenbildung erlaubt ist. Die hier formulierten Modelle werden mit der Methode der erzeugenden Funktionen nachBailey [6] behandelt. DieLaplace-Transformierte der Verteilung des Systemumfangs wird angegeben und hieraus dieLaplace-Transformierte der mittleren Anzahl von Einheiten im System abgeleitet. Schließlich wird noch nach Diskussion der stationären Lösungen für die betrachteten Sonderfälle dieLaplace-Transformierte der Wartezeitverteilung berechnet.

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Vorgel. v.:J. Nitsche     

Operational behaviour of a complex system

Summary In this paper, dependability of a complex system having two types of components has been studied when the system is required to wait for the repair facilities. The system under consideration has been assumed to work either with normal efficiency or with reduced efficiency otherwise it is said to be in the inoperable state. Two separate probabilities of the system that it failed completely while it was working with normal efficiency or with reduced efficiency have been calculated. In the later case, the system has to undergo the failure of two components one belonging to each class. TheLaplace-transforms of the various time dependent probabilities of the system have been obtained. For a particular case, the inverse transformation has also been done. In the end, behaviour under steady state has been examined.

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Zusammenfassung In dieser Arbeit wird die Zuverlässigkeit eines komplexen Systems mit zwei verschiedenartigen Komponenten untersucht. Die Anlage arbeitet entweder normal, oder sie kann — während auf Ersatzteile gewartet wird — mit verminderter Leistungsfähigkeit weiterarbeiten bzw. ganz ausfallen. Es werden die Wahrscheinlichkeiten dafür berechnet, daß das System ausfällt während es gerade normal bzw. reduziert arbeitete. Im zweiten Fall muß jeweils eine Komponente jeder Klasse versagen. Für die verschiedenen zeitabhängigen Wahrscheinlichkeiten des Systems werden dieLaplace-Transformationen — und in einem Spezialfall auch ihre Inversen — berechnet. Schließlich wird noch das stationäre Verhalten untersucht.

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Vorgel. v.:H. Schneeweiss.     

Optimierung in der Stichprobentheorie durch Schichtung und Aufteilung

Zusammenfassung Es wird gezeigt, daß sich das Problem der optimalen Schichtung und Aufteilung für ein und mehrer Merkmale auf ein nichtlineares Programm mit nichtlinearer Zielfunktion und im allgemeinen nichtlinearen Restriktionen zurückführen läßt. Lösungsverfahren für den Fall diskreter und stetiger Merkmale mit a) verschwindendem, b) nichtverschwindendem Auswahlsatz werden angegeben. Ergebnisse für die Normalverteilung und die logarithmische Normalverteilung werden mitgeteilt. Es zeigt sich, daß die bekannte Formel vonDalenius zu falschen Ergebnissen führen kann, weil bei der Herleitung eine (nichtlineare) Restriktion nicht berücksichtigt wurde. Am Beispiel einer zweidimensionalen Normalverteilung wird die Verallgemeinerung der Problemstellung und des Verfahrens demonstriert.

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Summary It will be shown that the problem of optimum stratification and allocation for one and several variates can be reduced to a nonlinear program with a nonlinear objective function and in general nonlinear restrictions. Methods for solving these problems are given for discrete and continuous variates with a) vanishing, b) non-vanishing sampling fraction. Results are tabulated for the normal and the lognormal distribution. It will be shown that the well-known formula ofDalenius may lead to wrong results, because one of the (non-linear) restrictions may be not satisfied. The problem and the methods for solving this problem can be generalized. This will be shown with the two-dimensional normal distribution.

     

Entscheidungsregeln für das optimale Verhalten in der Kraftfahrzeugversicherung

Zusammenfassung In der Kraftfahrzeughaftpflichtversicherung werden bei schadenfreiem Fahren Schadenfreiheitsrabatte und — falls technischer Überschuß vorhanden — Beitragsrückvergütungen gewährt. Da bei Inanspruchnahme der Versicherung der Versicherte diese Vergünstigungen oder Teile davon verliert, steht er im verschuldeten Schadensfall vor der Frage, ob er die Versicherung in Anspruch nehmen soll oder nicht. Das Problem, Entscheidungsregeln für das optimale Verhalten des Versicherungsnehmers abzuleiten, läßt sich durch ein System von Rekursionsgleichungen formulieren und wird mit Hilfe der Dynamischen Programmierung gelöst. Der Ansatz ist durch ein Beispiel illustriert, und es konnte gezeigt werden, daß die Entscheidungsregeln ziemlich unempfindlich sind gegenüber Variationen eines der wichtigsten Parameter: der Wahrscheinlichkeit, in zukünftigen Jahren Unfälle zu verursachen.

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Summary The German Automobile Insurance System provides upon accident free driving discounts and rebates from the base annual premium. Reporting an accident to the company results in a reduction or the loss of these benefits. Having caused an accident the policyholder has to decide whether or not to report the accident. The problem of deriving optimal decision rules can be formulated by means of recursive relationships which in turn can be solved by dynamic programming. The formulation is illustrated by sample calculations and it is shown that the decision rules are rather insensitive to variations in one of the most important parameters: the probability of causing accidents in future years.

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Ich danke Herrn Professor Dr. HorstAlbach und Herrn GeorgeWesolowski für wertvolle Anregungen und Hinweise.Die Arbeit wurde unterstützt durch Mittel des Research Committee der Graduate School, University of Wisconsin.Vorgel. v.:H. Albach.     

Anwendung derWienerschen Filtertheorie auf Probleme der Produktion und Lagerhaltung

Zusammenfassung DieWienersche Filtertheorie wird auf einfache Probleme der Produktion und Lagerhaltung angewandt. Diese Theorie gestattet, im Gegensatz zu den sonst verwendeten regelungstechnischen Verfahren, die Berechnung der kostenoptimalen Produktionspolitik eines vorgegebenen Modells. Die Einschränkungen, die dasWiener-Verfahren der Menge der regelungstechnisch unter-suchbaren Modelle auferlegt, werden diskutiert, und es wird gezeigt. daß sich mit diesem Verfahren ein Großteil der ökonomisch relevanten Modelle erfassen läßt.

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Summary TheWiener Filtering Theory is applied to simple problems of production and inventory. In contrast to approaches using servo-mechanical methods, this theory allows the calculation of the optimal production policy of a given model. The restrictions caused by theWiener-approach on the set of models being investigable by servo-mechanical methods are discussed. It is shown that this approach may be applied to many of the economically relevant models.

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Vorgel. v.:F. Ferschl.     

Note on an integral equation occurring in stagnation point flow

Zusammenfassung Die Differentialgleichung der Staupunktströmung wird nach einer Methode vonWeyl behandelt, und es wird gezeigt, dass das Weylsche Verfahren für elektronische Rechenautomaten besonders geeignet ist.     

Zur Frage des Zuverlässigkeitgrades von Maschinen

Zusammenfassung Für die Abschätzung der Ausfallkosten von Maschinen sowie für die Beurteilung ihrer Betriebssicherheit ist der Zuverlässigkeitsgrad ein notwendiger Begriff. Es wird versucht, das Wesen der Maßzahlen, Durchlaufwahrscheinlichkeit, wahrscheinlicher Nutzungsgrad und Bereitschaftswahrscheinlichkeit zu beschreiben und ihre Bedeutung für den Zuverlässigkeitsgrad einer Anlage unter Berücksichtigung wesentlicher Einflußgrößen darzustellen.

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Summary Dependability is an important conception in order to consider the cost of breakdown and the safety in operation. This may be an attempt to define the possible measures-reliability, interval availability and pointwise availability. Furthermore their signification to dependability in regard to other quantities is shown.

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Mitteilung aus dem Institut für Bergbaukunde und Bergwirtschaftslehre der Bergakademie Clausthal-Zellerfeld (Institutsdirektor: Prof. Dr.-Ing.G.Dorstewitz).

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Vorgel. v.:G. Dorstewitz     

Berechnung der Produktionspolitik von Produktions-Lagerhaltungs-Modellen unter Verwendung derWienerschen Filtertheorie

Zusammenfassung Das Verfahren derWienerschen Filtertheorie wird auf Lagerhaltungs-Produktions-Modelle komplizierterer Kostenstruktur angewandt. So werden neben Lagerbestands- und Lagerfehlbestandskosten auch Kosten berücksichtigt, die durch Schwankungen der Produktionsrate verursacht werden. Darüber hinaus wird auch der Fall in Betracht gezogen, daß die Geschwindigkeit dieser Schwankungen kostenabhängig ist. Außer der optimalen Produktionspolitik werden in den einfacheren Modellen noch der optimale Lagerbestand und die minimalen Kosten angegeben.

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Summary TheWiener Filtering Theory is applied to inventory-production-models possessing a more complicated cost criterion. Thus not only inventory costs are taken into account, but also costs associated with fluctuations of production rate. Further more the possibility is investigated that the speed of these fluctuations depends on costs. For the more simple models not only the optimal production rate is calculated, but also minimal costs and the optimal inventory stock.

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Vorgel. v.:F. Ferschl     

Green's function for Laplace's equation in a circular ring with radiation type boundary conditions

Zusammenfassung Es wird die Greensche Funktion der Laplaceschen Gleichung für einen Kreisring hergeleitet, wobei Randbedingungen vom Strahlungstyp angenommen sind. In demjenigen Spezialfall, in dem die Randbedingungen das Verschwinden der Greenschen Funktion verlangen, wird gezeigt, dass die gefundene Darstellung der Greenschen Funktion übereinstimmt mit der Formel, wie sie im Buch vonHilbert-Courant unter Verwendung von Thetafunktionen hergeleitet ist.     

(s,S, U) Lagerpolitik im dynamischen endlichstufigen Problem

Zusammenfassung In Lagerhaltungsmodellen vomArrow-Harris-Marschak Typ wird der gesamte Bedarf über ein Lager ausgeliefert. Wir weichen von dieser Bedingung ab und unterscheiden zwischen Klein- und Großbedarfsmengen. Kleinbedarfsmengen gelangen ab Lager zur Auslieferung, während Großbedarf direkt ab Produktion geliefert wird. Die optimale Entscheidungsregel für dieses Modell ist eine (s, S, U) Politik, wobeiU den optimalen Parameter zur Trennung von Klein- und Großbedarf bezeichnet unds undS die optimalen Parameter für das Lagersystem des Kleinbedarfs darstellen.

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Summary In inventory models of theArrow-Harris-Marschak Type all the demand is delivered from stock. We deviate from this condition and make a difference between small-scale demand and large-scale demand. Small-scale demand is delivered from stock and large-scale demand is delivered directly from production. The optimal decision rule for this model is a (s, S, U) policy, whereU is the optimal parameter to separate large-scale and small-scale demand, ands andS are the optimal parameters of the inventory system for small-scale demand.

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Das zu behandelnde Problem der optimalen Trennung von Groß- und Kleinbedarf in einem dynamischen Modell der Lagerplanung wurde dem Verfasser von Herrn Dipl.-Math.Klaus Wenke bei der Badischen Anilin- und Soda-Fabrik in Ludwigshafen/Rh. gestellt, wo unter sehr allgemeinen Bedingungen eine Untersuchung mit Hilfe der Simulationstechnik auf einer elektronischen Rechenanlage IBM 704 durchgeführt wurde. Herr Professor Dr.H. P. Künzi von der Universität Zürich gab die Anregung zu einer analytischen Lösung des Problems, und dank einer Unterstützung durch den Schweizerischen Nationalfonds wurde die vorliegende Untersuchung ermöglicht, die unter verhältnismäßig milden Restriktionen einen Weg zur analytischen Bestimmung optimaler Lösungen zeigt.Herrn Professor Dr.David Blackwell von der University of Berkeley sowie den Herren Dr.Peter Kall und Dr.Dietmar Onigkeit von der Universität Zürich dankt der Verfasser sehr für wertvolle Hinweise.Fortsetzung folgt als Teil II. — Vorgel. v.:H. P. Künzi.     

Zur Wertverteilung der Quotienten von Exponentialpolynomen

Zusammenfassung. In dieser Arbeit werden die Pólyaschen Exponentialpolynome und ihre Quotienten unter dem Gesichtspunkt der Nevanlinnaschen Wertverteilungslehre untersucht. Falls eine sehr allgemeine Exponenten- und Koeffizientenbedingung erfüllt ist, dann hat man einfache geometrische Formeln für die charakteristischen Größen. Eine wesentliche Rolle spielt die Abschätzung der gemeinsamen Nullstellen zweier Exponentialpolynome. Weiter wird gezeigt, daß die Exponentialquotienten algebraischen Differentialgleichungen genügen.     

Das Problem der Diensteinteilung von Lokomotiven

Zusammenfassung Das Problem der Diensteinteilung von Lokomotiven wird mit Hilfe der Graphentheorie dargestellt. Es wird gezeigt, daß jedem Fahrplan ein Graph G zugeordnet werden kann, und daß die Symmetrie eines Fahrplans die notwendige und hinreichende Bedingung für seine periodische Realisierbarkeit ist. Ein Verfahren zur Bestimmung der optimalen Diensteinteilung wird angegeben. Mehrfach periodische Fahrpläne werden in Betracht gezogen.

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Summary The problem of engine-scheduling is presented in terms of graph-theory. It is shown that each time-table can be represented by a graph G, and that the symmetry of a time-table is the necessary and sufficient condition for its periodical realizability. A method for the determination of an optimal engine-schedule is presented. Time-tables with multiple periods are taken into consideration.

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Vorgel. v.:H. P. Künzi.     

The plastic indentation of a semi-infinite solid by a perfectly rough circular punch

Zusammenfassung In dieser Arbeit werden das plastische Spannungsfeld und ein zulässiges Geschwindigkeitsfeld für den eben begrenzten Halbraum gegeben, der unter dem Einfluss eines ideal rauhen, starren Stempels mit kreisförmigem Querschnitt steht. Das Material ist als starr-plastisch vorausgesetzt, ohne Verfestigung, und der Fliessbedingung vonTresca genügend. Es wird gezeigt, dass die Hypothese vonHaar undvon Kármán auf dieses Problem anwendbar ist, wonach zwei von den drei Hauptspannungen gleich sind. Es wird auch eine gültige Fortsetzung des plastischen Spannungsfeldes ins starre Gebiet in der Nähe des Stempels erhalten.     

The deflection and buckling of a beam-column with a one-sided constraint

Zusammenfassung Das Problem eines horizontalen, gelenkig gelagerten Stabes mit VertikalkraftQ am Mittelpunkt und mit axialer DurchlastP wird behandelt. Eine Durchbiegung infolgeQ wird jedoch durch eine Bodenebene verhindert. Die gekrümmten Formen des Stabes werden durch die lineare Stabtheorie und durch die Theorie der Elastika bestimmt. Die letztere ergibt eine Vergabelung der Gleichgewichtslagen, die in der linearen Theorie nicht erscheint. Schliesslich wird die Stabilität des geraden Stabes behandelt. Das kinetische Kriterium, das Energiekriterium und das klassische, auf nichttrivialen benachbarten Gleichgewichtslagen sich beziehende Kriterium werden alle in Betracht gezogen. Alle zeigen, dass eine beliebig kleine VertikalkraftQ die kritische DurchlastP um mehr als das Achtfache erhöht. Das heisst,P geht von der Knicklast für den gelenkig gelagerten Stab über auf die Knicklast für den halblangen, einerseits eingebauten Stab. Es wird gezeigt, dass die klassischen Kriterien in diesem Falle irreführend sind. Nicht nur die Grösse vonQ, sondern auch die der erwarteten Störung muss berücksichtigt werden.     

Untersuchungen zur Bestimmung der optimalen Organisation von Instandhaltungsarbeiten an Fertigungsmaschinen bei Werkstättenfertigung anhand eines Simulationsmodells

Zusammenfassung Im folgenden wird ein Modell der integrierten Instandhaltungsablaufplanung gezeigt, bei welchem durch sehr praxisnahe Annahmen eine analytische Lösung nicht möglich war, so daß das Problem simuliert werden mußte. Wegen der hohen Rechendauer des Modells wurden nur zwei Beispiele durchgerechnet. Anhand einer größeren Werkstätte wurde die Funktionstüchtigkeit des Algolprogrammes gezeigt. Untersuchungen an einem Modellbeispiel zeigten, daß durch vorbeugende Maßnahmen und durch die Anwendung von Prioritätsregeln die Instandhaltungsplanung wesentlich verbessert werden kann und daß eine solche Verbesserung nur bei integrierter Planung mit Sicherheit eintritt.

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Summary This essay shows a model considering both—maintenance policies and dispatching maintenance jobs. Practical assumptions prevent an analytical solution. Therefore a simulation model was developed. Because of high computer's processing time only two examples were considered, of which the first shows the effectiveness of the Algol-program at practical shop-sizes. Some researches with a model-like example show better results by use of preventive maintenance and priority rules with certainty only if an integrated planning is assumed.

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Auszug aus der von der Fakultät für Allgemeine Wissenschaften der Technischen Hochschule München zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktors der Wirtschaftswissenschaften (Dr. rer. pol.) genehmigten Dissertation.

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Vorgel. v.:J. Heinhold.     

Electromagnetic field theory solution of the infinite tapered-plane transmission line

Zusammenfassung Für den eingeschwungenen Zustand dertapered-plane transmission line wird eine neue Lösungsmethode beschrieben und gezeigt, dass die Impedanztransformation direkt vom Verhältnis der Abstände zwischen Anfang und Ende der leitenden Ebenen bestimmt wird. Die Phasendifferenz der Spannungen zwischen den Leitungsenden ist dem Öffnungswinkel der beiden Ebenen proportional. Kriterien für den Entwurf solcher Leitungen lassen sich angeben.

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This work was submitted byNoach Amitay in partial fulfillment of the Degree Doctor of Philosophy.     

Refinement of saturated-transistor theory

Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit befasst sich mit drei verschiedenen Eigenschaften des übersteuerten Transistors.In Kapitel A wird die üblicherweise verwendete Theorie vonMoll für die Berechnung der Sättigungsspannung auf den Bereich grösserer Ströme erweitert, indem zwei Effekte berücksichtigt werden, die für grössere Stromdichten typisch sind: das Feld, das sich in der Basis aufbaut sowie die (transversale) Stromverdrängung.Kapitel B behandelt den Stromfluss im übersteuerten Transistor. Es wird gezeigt, dass der Hauptteil des Basisstromes durch die Kollektor-Basis-Diode fliesst.In Kapitel C geht es um die Berechnung der Speicherzeit. Ein Sonderfall in dieser Hinsicht ist ein Transistor, der durch einen niederohmigen Generator ausgeschaltet wird, weil dann die Basisspannung, aber nicht der für die Berechnung der Speicherzeit benötigte Basisstrom bekannt ist.     

Inverse deformation results in finite elasticity

Zusammenfassung Es wird gezeigt, dass für elastisch homogenes Material die Gleichgewichtsbedingungen ohne Massenkräfte bezüglich Ausgangs- und Endkoordinaten sowie Deformationsenergie je Raumeinheit im undeformierten und im deformierten Zustand eine Dualität aufweisen. Mit Hilfe dieser Eigenschaft wird gezeigt, dass der Gleichgewichtszustand für ein gegebenes Material eine inverse Verformung definiert, welche für gewisse andere Materialien einen Gleichgewichtszustand darstellt. Die Arbeit verallgemeinert die vonAdkins für transversal isotropes inkompressibles Material in gleichförmigem Zug mit überlagerter ebener Verformung nachgewiesene Reziprozität.     

Über ein Problem der Fließbandfertigung bei stochastischer Nachfrage

Zusammenfassung Bei der Fließbandfertigung mit stochastischer Nachfrage interessiert man sich für die Anpassung der Produktion an die Marktgegebenheiten. Es wird die Produktion eines Gutes betrachtet. Der Unternehmung stehen mehrere gleichwertige Fertigungsstraßen zur Verfügung. Es wird angenommen, daß alle in Betrieb befindlichen Fertigungsstraßen den gleichen und unveränderlichen Output pro Zeiteinheit haben. Gesucht ist ein optimales Verhalten, das die diskontierte Summe der zu erwartenden Kosten minimiert. Es ist naheliegend, Verfahren der dynamischen Programmierung zu verwenden. Für das Modell wird der Fall zyklischer Kontrolle betrachtet. Die Verteilung der Nachfrage während der Kontrollperioden sei bekannt, konstant, und es gelte stochastische Unabhängigkeit für verschiedene Perioden. Überschreitet die Nachfrage den Lagerbestand, dann erfolgen für den fehlenden Output Vormerkungen. Die Belieferung findet später statt.

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Summary In assembly line production with stochastic demand one is interested in the adaption of the output to the market situation. The production of one product is considered. The company has several assembly lines of the same type. It is assumed that the assembly lines in action have the same, and a constant output rate. An optimal policy, minimizing the expected value of the total discounted costs, has to be found. It is concievable that the method of dynamic programming should be used. In the model the case of cyclic control is considered. The distribution of demand during each control period is given, constant, and there is stochastic independence for different periods. If the demand exceeds the stock the deficient output is noted and delivery takes place later.

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Vorgel. v.:W. Wittmann, Heidelberg.     

The elastic fields and interactions of point defects in isotropic and cubic media

Zusammenfassung Die Formel vonEshelby für die elastische Wechselwirkung zwischen Punktdefekten wird neu hergeleiter. Die elastischen Eigenschaften der Punktdefekte werden behandelt durch Anwendung der mathematischen Methoden der Quantenmechanik des Drehimpulses auf die Gleichungen der linearen Elastizitätslehre des Kontinuums. Für isotrope Medien werden die Multipole beliebiger Ordnung der elastischen Felder exakt berechnet, und für Medien kubischer Symmetrie wird eine Näherung für das elastische Dipolfeld gegeben. Die Wechselwirkungsenergie zweier elastischer Dipole wird für isotrope Medien exakt und für kubische Medien näherungsweise berechnet. Die Formel wird angewendet auf Paare vonO ₂ ^– Zentren und Paare vonOH ^– Zentren inKCl. Numerische Resultate sind gegeben.

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This work is part of a research program suported by the Swiss National Science Foundation under contract No. 4212.