对一道数学题的质疑

前不久,某地区高中毕业班统考数学试题(理科)第七题为已知数列{a_n},其前n项和为S_n(n∈N), (1)若S_n=1+pa_n(-1相似文献   

浅谈等差数列的几何意义及其应用

在等差数列{a_2}中,a_n=a_1+(n-1)d和S_n=na_1+1/2n(n-1)d即a_2=dn+(a_1-d)……(1)和S_n=1/2dn~2+(a_1-1/2d)n……(2)分别是特殊的一次函数和二次函数。(1)式的图象是直线y=dx+(a_1-d)上一系列的点(1,a_1),(2,a_2),…,(n,a_n),…,的集合,(2)式的图象是抛物线y=1/2dx~2+(a_1-1/2d)x上的一系列的点(1,S_1),(2,S_2),…,(n,S_n),…,的集合。根据上面的这种几何意义,对于等差数列,我们可以得到下面的一些关系。     

运用S_n=An~2+Bn解决问题

<正>等差数列{a_n}的首项为a_1,公差为d,其前n项和可以表示为:S_n=An²+Bn(A=d/2,B=a_1-d/2)(1).若已知数列的前n项和为S_n=An2+Bn(A=d/2,B=a_1-d/2)(1).若已知数列的前n项和为S_n=An²+Bn(A,B为常数),则可证得{a_n}为等差数列.本文谈谈如何运用公式(1)解决问题.1求S_n最值的问题例1已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n,S_(12)>0,S_(13)<0,求S_n取得最大值时n的值.解由题意可设S_n=An2+Bn(A,B为常数),则可证得{a_n}为等差数列.本文谈谈如何运用公式(1)解决问题.1求S_n最值的问题例1已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n,S_(12)>0,S_(13)<0,求S_n取得最大值时n的值.解由题意可设S_n=An²+Bn(n∈N*)且A<0,二次函数f(x)=Ax2+Bn(n∈N*)且A<0,二次函数f(x)=Ax²+Bx开口向下,f(0)=0,f(12)>0,f(13)<0,其对称轴x=x_0(x_0∈(6,6.5)),所以当n=6时,S_n取得最大值.     

一类无完整解数列题剖析

[题目]设数列{a_n}的前n项之和S_n,a_1=1且a_m~2+1=S_(n+1)+S_n(n∈N),求数列{a_n}的通项公式。(摘自新江《中学教研》1992年第七期《培养学生观察能力浅见》一文) 此题常见解法是: ∵a_(n+1)~2-a+_n~2=S_(n+1)-S_(n-1)=a_(n+1)+a_n (1) a_(n+1)~2-a_n~2=(a_(n+1)-a_n)(a_(n+1)+a_n) (2) 由(1)、(2)得:a_(n+1)-a_n=1 (3) 或a_(n+1)+a_n=0 (4) ∴数列{a_n}是公差为1的等差数列或公比为-1的等比数列。故a_n=a_1+(n-1)·1=n 或a_n=a_1(-1)~(n-1)=(-1)~(n-1) 此解法似无懈可击。现有一个不同于其解答的数列{b_m}:1、2、3、-3、-2、-1、1、-1、0、1、-1、…(其中当m≥10时,b_n=(-1)~n)也满足题设条件a_1=1和     

求数列前n项和的三种方法

<正>在我校一次质量检测试卷中,有一道数列题,原题如下:在等差数列{a_n}中,a_2=5,a_1+a_3+a_4=19.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{b_n}前n项和为S_n,且S_n+a_n-1/2ⁿ=λ(λ为常数),令c_n=b_(n+1()n∈Nn=λ(λ为常数),令c_n=b_(n+1()n∈N⁺).求数列{c_n}的前n项和T_n.     

利用直线斜率解某些等比数列问题

我们将等差数列通通项公式a_n=a_1+(n-1)d变形为a_n=dn+(a_1-d),知等差数列的项a_n是项数n的一次函数,亦即以(n,a_n)为坐标的点在直线y=kx+b(k=d,b=a_1-d)上.故某些等差数列问题,可用直线的斜率来解决,这些刊物上已有论述.我们很容易想到对于等比数列的某些问题,是否也可用直线的斜率来解决呢?     

构造常数数列求通项

<正>在数列{b_n}中,若b_n+1=b_n(n∈N﹡),则数列{b_n}为常数数列,其通项公式是b_n=b_1,在求某些递推数列的通项公式时,若能构造出一个新的常数数列,便能简便的求得通项公式.1.我们知道等差数列的通项公式为a_n=a_1+(n-1)d,我们可以用构造常数数列的方法求这个通项公式.     

“伪等差(比)数列”及其应用

<正>一、伪等差数列和伪等比数列的定义1.伪等差数列如果一个数列从第二项开始,每一项与后一项的差大于等于(小于等于)同一个常数,那么这个数列就叫做伪等差数列,这个常数叫做伪等差数列的伪公差d.a_(n+1)-a_n≥d,a_n≥a_1+(n-1)d(1)a_(n+1)-a_n≤d,a_n≤a_1+(n-1)d(2)     

我为高考设计题目

题342在数列{a_n}中,若对任意的n∈N^*,都有a_n≤M(实常数)成立,且对任意的aa,则称数列{a_n}具有性质P(M).(1)设等比数列{b_n}(n∈N^*)的前n项和为Tn,若b_3²+b_4=0,b²-2b_3=0;证明:数列{T_n}具有性质P(2);(2)数列{a_n}的前n项和S_n满足:nS_m+n-(m+n)S_n+3(m+n)mn=0(m,n∈N^*);若数列{S_n}具有性质P(884),求a_1的取值集合.     

一类线性循环数列的通项公式

定义:若数列{a_n}满足循环方程 a_n=C_1a_(n-1) C_2a_(n-2) ¨ C_ka_(n-k)其中n=k_1,k 2,…;C_k0,就称数列{a_n}是一个k阶线性循环数列。方程     

数列中一个不可小看的公式

一、一个公式若S_n表示数列{a_n)的前n项和,即S_n=a_1 a_2 … a_(n-1) a_n,则有S_(n-1)=a_1 a_2 … a_(n-1) (n≥2),于是当n≥2时,a_n=S_n-S_(n-1),而n=1时,a_1=S_1,因此,a_n=(?)．解有关数列题目时,我们常常使用这个公式来实现问题的转化,下面举几个例子加以说明．例1数列{a_n)的前n项和为S_n=3n~2 n 1,则此数列的通项a_n=     

一道高中数学预赛题的多向推广

众所周知,等差数列存在一些美妙的性质,列出如下. 性质1 等差数列{an｝的前n项之和An=an2+bn. 性质2 若等差数列{an｝与等差数列{bn｝前n项之和分别为An,Bn,则An/Bn=an+b/cn+d. 证明:设{an｝,{bn｝的公差分别为d1,d2,由An=na1+n(n-1)d1,Bn=nb1+n(n-1)d2,得An/Bn=d1/2n+(a1-d1/2)/d2/2n+(b1-d2/2)=an+b/cn+d,其中a=d1/2,b=a1-d1/2,c=d2/2,d=b1-d2/2.     

关于数列{2~n}

易知等比数列{2~n}前n项的和为S_n=a_(n+1)-2。对于这个关系式,我们有三点联想。 (一)简便求和。若a_5=32,则S_4=30。 (二)判定由关系式a_(n+1)=rS_n+S给出的数列是否为等比数列。事实上a_(n+1)=rS_n+S (1) a~n=rS_(n-1)+S (2) (1)-(2)得a_(n+1)-a_n=r(s_n-S_(n-1))=ra_n a_(n+1)/a_n=r+ 因此,r≠-1,a_1=S,{a_n}为等比数列。 (三)等比数列前n项和公式的新法推导。     

有关等差、等比数列证明问题归类解析

纵观近年来全中国各地的高考试卷,我们可以发现等差数列和等比数列的证明(判定)已成为数列问题的一个新亮点.等差数列、等比数列的证明(判定)一般按下面定义或变形式进行:{an}为等差数列an 1-an=d(常数)an an 2=2an 1(n∈N*)an=kn b(k,b为常数)Sn=An2 Bn(A,B为常数);{an}为等比     

通项·回归·解出

先看具体问题。例1 数列{a_n}满足a_1=a_2=1,且a_(n+2)=a_n+a_(n+1) 求证:(a_1/2)+(a_2/2~2)+(a_3/2~3)...+a_n/2~n<2 证明设S_n=a_1/2+a_2/2~2+...+a_n/2~n 由a_n+2=a_n+a_(n+1)得 a_n=a_(n+2)-a_(n+1)。 Sn=(a_3-a_2)/2+(a_4-a_3)/2~2+...+     

递归数列

一般地,数列{a_n}若满足递归关系 a_n= ∫(a_(n-1),a_(n-2),…,a_(n-k)),那么它由递归关系及k个初始值确定,我们称其为递归数列。与递归数列有关的问题是数学竞赛中的一个热点。确定某些递归数列的通项在有关递归数列问题的研究中又占有重要地位,以下是几种常用方法。 1.代换法。例1 在数列{a_n}中,a_1=1,a_(n 1)=5a_n 1,求a_(n 1) 解依题设a_n 1=5a_n 1 ①以n代换n十1,可得 a_n=5a_(n-1) 1 ②①-②得a_(n 1)-a_n=5(a_n-a_(n-1))(n≥2) ③对③进行迭代,得     

类比拓展 变中寻不变

<正>下面两道题"形似":题1 等差数列{a_n},{b_n}的前n项和分别为S_n、T_n,若对任意的n∈N*,总有S_n/T_n=2n/(3n+1),则a_(11)/b_(11)=_____.题2等差数列{a_n},{b_n}的前n项和分别为S_n、T_n,若对任意的n∈N*,总有S_n/T_n=2n/(3n+1),则a_(11)/b_(10)=_____.     

两类特殊数列求和的问题

<正>高考题和模拟题中常常遇到下面两各类型的数列求和问题:类型一若数列{a_n}是等差数列,求数列{|a_n|}的前n项和;类型二已知数列a_n={f(n),n为奇数,g(n),n为偶数,或者a_n=(-1)ⁿf(n),求数列{a_n}的前n项和;为表示方便,假设S_n=a_1+a_2+…+a_n.这两种类型的数列求和问题,常常会成为学生的"拦路虎",得分率非常不理想,现结合几道典型例题来总结这种类型的解题策略!     

综合题新编选登

题133设数列{a_n}满足a_(n 1) a_n= mk~n,m,k为常数且m≠0,k≠0,±1.(Ⅰ)求{a_n}的通项公式.(Ⅱ)求{a_n}为等比数列的充要条件.解(Ⅰ)a_(n 1)/(-1)~(n 1)=a_n/(-1)~n-m(-k)~n,于是     

常数列之妙用

众所周知,数列{a_n}是常数列的充要条件是a_(n+1)=a_n(n∈N),它的通项公式是a_n=a_1(n∈N)。本文通过几例来说明常数列在解决某些数列问题的妙用。