中点弦公式和应用

一、问题的提出所谓中点弦问题,即已知一点和一圆锥曲线,求以这点为中点的圆锥曲线的弦的方程．此问题按习惯解法是：设点斜式方程代入圆锥曲线,由韦达定理求中点,从而求出斜率得直线方程．此法运算量大,特别带参数时运算更繁,下面给出较简单的方法及证明．二、引理...     

如何判定线段的中点

<正>同学们在平时的学习中,大都做题不少,但由于缺乏总结或不善于总结,所以对于很多问题的解决形不成方法,抓不住本质,进而自己的思维能力也没有随着提高.下面以如何判定线段的中点为例,谈谈总结的重要.判定线段的中点可以用线段中点的定义,但更多的时候是用相关的定理和性质.我们总     

线段中点问题的探究

<正>线段是组成几何图形的重要元素,在七年级上数学的学习中,线段中点模型的探究为线段计算提供了非常明确的探究方向．下面我们立足课本,从定义出发,由具体计算到一般结论,探究线段中点问题的计算和线段间的数量关系．1线段中点的定义人教版教材P127,如图1,点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB,点M叫做线段AB的中点．     

线段中点是个宝

在平面几何中我们学过这样一个性质:如果一条直线经过一条线段的中点,那么这条线段的两个端点到这条直线的距离相等(如图1 所示)．现在我们把这条性质拓展延伸到立体几何中,则有:如果一个平面经过一条线段的中     

线段中点的一个判定方法

一、命题角平分线的垂线与角的两边相交,则垂足是以两交点为端点的线段的中点.二、命题的证明已知:如图1,OP是∠MON的平分线,AB⊥OP分别交OM、ON于点A、B,垂足为点C.求证:点C是AB     

利用对称性处理线段中点问题

众所周知,在初中阶段处理线段中点问题时用得最多的方法是考虑中位线,但在解题实践中我们也发现,许多与线段中点有关的问题(特别是一些竞赛试题),用中位线定理去处理往往是不尽人意或根本做不出。相反若以线段中点为对称中心去构造中心对称型全等三角形,却常能使问题得到简捷的解     

中点弦方程变换公式

过二次曲线内一点P作弦AB,点A、B为弦的两位端点,若P为AB的中点,则称线段AB为此二次曲线内关于点P的中点弦．经笔者思考,得到了一个有关中点弦所在直线方程的一个性质(不妨称为中点弦方程变换公式)．     

用张角公式证明线段相等

本文以部分数学竞赛题为例,介绍张角公式在证明线段相等中的作用。     

一个新发现的点——牛顿线段的中点

在△ABC中,O,G,H分别是它的外心、重心、垂心,O,G,H三点共线,此线是著名科学家牛顿首先发现的,故被命名为牛顿线,其中线段OH称为牛顿线段,对于牛顿线段有OG∶GH=1∶2;如果分别以三边AB,BC,CA为对称轴,作外心O的对称点,如图,记这些对称点分别为D′,D″,D,连结CD′,AD″,BD,我们得到如下定理定理在△ABC中,分别以三边AB,BC,CA为对称轴,作外心O的对称点,记这些对称点分别为D′,D″,D,连结CD′,AD″,BD,三条直线CD′,AD″,BD共点,设此点O′,称点O′为△ABC的边对称外心;此点是牛顿线的中点,且有OG∶GO′∶O′H=2∶1…     

有向线段定比分点坐标公式的应用

设有向线段Ｐ１Ｐ２的端点为Ｐ１（ｘ１,ｙ１）、Ｐ２（ｘ２,ｙ２）,点Ｐ（ｘ,ｙ）分Ｐ１Ｐ２所成的比λ＝Ｐ１ＰＰＰ２（λ≠－１,否则有Ｐ１Ｐ＋ＰＰ２＝Ｐ１Ｐ２＝０,这与Ｐ１Ｐ２≠０相矛盾）．分点Ｐ在直线Ｐ１Ｐ２上的位置与λ的取值范围如图１所示．Ｐ１　　Ｐ　Ｐ２λ＝０　λ＝１λ不存在－１＜λ＜０←０＜λ＜１→｜｜←λ＞１→←λ＜－１（Ｐ→－∞时λ→－１）←λ＞０　　（Ｐ→＋∞时λ→－１）图１显然,λ＝１时,Ｐ为线段Ｐ１Ｐ２的中点;λ＝－１时是Ｐ→±∞的极限值．即“内分为正,外分为负;左重（Ｐ与Ｐ１重…     

异面直线间定长连线段中点轨迹问题

一、准备知识1．两条异面直线到其公垂线段的中垂面距离相等,且等于公垂线段长的一半．2．两条异面直线上任意两点连线段的中点在其公垂线段的中垂面上．(证明提示:两条异面直线上任意两点连线段与其公垂线段的中垂面的交点为连线段的中点．)     

有向线段数量公式另证

有向线段数量公式是解析几何的理论基础 ,让学生掌握这个公式的证明是这部分教学的基本要求 ,然而 ,现行课本中介绍的那种分六种不同情况逐一推证的做法 ,高二学生较难理解和接受 ,实践证明 ,绝大多数的同学学完中学平面解析几何以后仍然只能停留在知其然而不能真正知其所以然的地步 ,因此 ,寻求这个公式的简便证法便成为中学解析几何教学研究的话题 .下面介绍的推导有向线段数量公式的方法颇切合中学学生的实际 ,可作为老师们教学时参考 ,设ｘ1 ,ｘ2 ∈Ｒ ,ｘ1 ≠ｘ2 ,ｄ>0 ,考察 ｜ｘ2 -ｘ1 ｜=ｄ中ｄ的几何意义 :由于｜ｘ2 -ｘ1 ｜=ｄ …     

线段定比分点公式的巧用

解析几何中,一条直线与某一线段相交,圆锥曲线与某一线段相交或相离等的位置关系问题,通常用讨论交点的存在范围,列不等式组求结果方法,一般过程都很复杂,解起来也麻烦。今介绍用定比分点求解方法,较之前者,简捷得多,下面举几个例子加     

利用中点证明有关线段的一半或一倍问题

<正>在几何证明中,经常会遇到线段的一半或一倍的相关问题,这类问题往往与线段的中点相关,此时可以借助以下图形来解决此类问题.在以上三个图中,D均为BC中点.在图1-a中,利用倍长中线构造出线段的一倍,往往是延长AD至E使DE=AD连接BE,或过B作BE//AC交AD的延长线于点E,易证得△ADC■△EDB,也就是说,△ADC与△EDB关于点D成中心对称图形,即构造了以D为中点的线段AE,从而构造出了2AD=AE.     

巧用线段的定比分点公式解题

线段的定比分点是指 :Ｐ1Ｐ2 是直线ｌ上的有向线段 ,点Ｐ是直线ｌ上除Ｐ1,Ｐ2 外的任意一点 ,点Ｐ把有向线段Ｐ1Ｐ2 分成两条有向线段Ｐ1Ｐ和ＰＰ2 ,且两线段的比为 Ｐ1ＰＰＰ2=λ ;若Ｐ1,Ｐ2 ,Ｐ的坐标分别为(ｘ1,ｙ1) ,(ｘ2 ,ｙ2 ) ,(ｘ ,ｙ) ,则λ =ｘ -ｘ1ｘ2 -ｘ或λ =ｙ - ｙ1ｙ2 - ｙ,从而有分点的坐标公式ｘ =ｘ1 λｘ21 λｙ =ｙ1 λｙ21 λ(λ≠ - 1) .其中当λ >0时 ,Ｐ为内分点 ,特别当λ =1时 ,Ｐ为中点 ;当λ <0时 ,Ｐ为外分点 .巧用线段的定比和分点公式解一些代数题 ,简捷方便 ,快速准确 .请看下面例子 .例 1　如果式子中…     

三角形中一个优美的线段比公式

笔者在研究中发现了三角形中的一个优美的线段比公式. 定理如图1、2、3,设D、E分别是△ABC中线段AC、BC的定比分点,BD与AE交于O点,连CO交AB或其延长线于F,则 (CO)/(OF)=(CD)/(DA) (CE)/(EB).     

中点公式余项“中间点”的渐进性定理及其应用

给出中点公式余项“中间点”的渐进性定理及其应用.研究表明,本文定理对于探讨有关求积公式的稳定性及其改进,具有十分重要的作用.     

与给定线段相交的定长线段的运动测度公式及其应用

本文研究了凸多边形的运动测度的表达式,利用线段将已知其包含测度的凸多边形分划成其它的凸多边形,通过计算出与给定线段相交的定长线段的运动测度公式,从而得到某些凸多边形的运动测度的具体表达式,并把它应用到几何概率问题中,获得一个新的几何概率结果.     

线段对三角形的射影定理及应用

吴远宏老师的这篇文章,研究一条线段对三角形三边的射影与三边的关系,有创见.