构图虽巧 数量亦妙

<正>本刊2014年9月上刊载有应水平老师撰写的《构造法在求向量数量积取值范围中的应用》一文(以下简称文[1]).文[1]通过构造三角形、四边形与圆,顺次对四个求向量数量积取值范围的问题,进行了精彩的构图求解.可以看出,这四个问题解题过程,充分彰显了向量的数形两重性,解法虽然直观,但过程未必简练,且要做到顺利构图,还需要有较强的数学综合能力.     

构造法在求向量数量积取值范围中的应用

<正>在求解向量数量积取值范围一类问题时,有时会遇到一些用常规方法解决很繁琐的问题,这时,我们可以考虑用构造法将问题转化,使问题中原来隐晦不清的关系和性质在构造中清晰地展现出来,从而简捷地解决问题.本文通过构造三角形、四边形和圆直观地揭示已知与未知的关系,从而达到迅速解题的目的.一、构造三角形例1(2012年安徽高考试题)若平面向     

高考专题复习系列讲座——平面向量

[考试内窖及考试要求]考试内容：向量，向量的加法与减法，实数与向量的积．平面向量的坐标表示，线段的定比分点，平面向量的数量积，平面两点间的距离，平移，正弦定理。余弦定理．斜三角形解法．     

平面向量数量积问题解法剖析

<正>在三角形、四边形等平面几何图形中,给定一定关系,求两个向量的数量积在近几年高考中经常出现,本文通过两个高考题,总结解决此类问题的常用方法.例1(2012年湖南文数15)在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,且AP     

用向量法证明平面几何问题

向量的线性运算和数量积运算都具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,用向量法解决平面几何问题,不仅是一种全新的解题思路,对一些比较复杂的线段比例问题用向量法求解还是一种有效的捷径.下面是用向量法证平面几何题的几种常见类型,供同学们学习过程中参考.     

一类向量问题的解法

平面向量的数量积是江苏省《考试说明》中的C级要求,在近几年高考中对此内容进行了多次考查,在各地的高考模拟试题中也多次出现．平面向量的基本定理、三角形法则、平行四边形法则是平面向量运算的核心内容,下面就这类题型做些梳理、归纳、延伸和拓展,希望对广大教师的教学和同学们的学习有所帮助,不当之处望同行斧正．     

构造法在求向量数量积取值范围中的应用

在求解向量数量积取值范围一类问题时,有时会遇到一些用常规方法解决很繁琐的问题,这时,我们可以考虑用构造法将问题转化,使问题中原来隐晦不清的关系和性质在构造中清晰地展现出来,从而简捷地解决问题.本文通过构造三角形、四边形和圆直观地揭示已知与未知的关系,从而达到迅速解题的目的.     

平面向量系列难点化解透析

平面向量在高考考试说明中有关线性运算、基本定理、数量积、向量应用四个方面均有掌握应用的要求,属于应用掌握级别的共有10处,因此在平面向量处设置难点也就成了高考命题的一个拉分点,屡屡成为填空或选择的压轴题,有的考生因此对平面向量问题产生了望洋兴叹的想法.笔者通过对平面向量的几类典型问题的分析,总结出常见难点的应对策略,希能起到抛砖引玉的作用.     

平面向量基本定理的面积表示及其应用

在三角形ABC所在平面内有一点O,由平面向量基本定理知,向量AO可以用三角形的边向量表示为AO=λ1AB λ2AC,其中λ1,λ2是唯一确定的.如何确定系数λ1,λ2是用好用活平面向量基本定理的关键.我们在教学中反思、研究、总结发现:在三角形中平面向量基本定理可以用面积表示.定理O为∠ABC所在区域内一点,SB,SC,S分别表示△AOC,△AOB,△ABC的面积,则AO=图1三角形SBSAB SSCAC.证当点O不在直线AB,AC上时,如图1,延长(或连接)AO交BC于D,过D点分别作AC和AB的平行线交AB和AC边所在的直线于E,F.因为AO=||AAOD||AD,又AD=AE …     

空间向量

重点：空间向量几何运算和坐标运算．空间向量基本定理．空间向量的数量积．直线的方向向量．平面的法向量．空间两点间的距离．用空间向量证明平行、垂直．用空间向量计算空间角、空间距离。     

解斜三角形

本单元运用平面向量的数量积推导出三角形的正弦定理和余弦定理，连同三角形、三角函数的其它知识作为工具．比较系统地研究了求解斜三角形这个课题．     

求二面角大小的直接计算法

利用向量求二面角,如何判断所求二面角是锐角或钝角?现行中学数学教材[1]或教辅资料给出的方法是通过观察图形来确定;常见的大学数学教材[2]、[3]亦未涉及此问题. 由于一个平面有共线且方向相反的两个法向量,所以两个平面所成二面角的平面角的大小与其法向量所成之角可能相等,也可能互补;而现行中学数学教材是用点积的办法来求法向量的,点积法的缺陷是不能控制法向量的方向,所以也就无法准确判断所求二面角究竟是钝角或锐角.     

三角形外心创设,创新题向量应用

三角形的外心作为平面几何中的一个基本知识点,极具几何性质与结构特征,在平面向量中具有非常重要的价值体现.结合实例,就三角形外心背景下设置一些相关的平面向量的数量积类型加以剖析,总结技巧规律,启示教学应用.     

托勒密定理、三弦定理和四角定理

众所周知,在三角形中,边、角之间存在着许多重要的关系．不难想到,在圆内接四边形中,边、角之间也应该存在着类似的重要关系．如托勒密定理,它表述的是圆内接四边形中边之间存在的重要关系的一种,那么在圆内接四边形中,是否在边、角之间或角之间也存在某种重要的关系呢？答案是肯定的,如文［１］三弦定理．我们探讨了它的来源和证明． 定理 如果Ｐ是一圆上的任意一点,ＰＡ、ＰＢ／Ｃ是该圆上的三条弦,那么： ＰＢｓｉｎ（ＡＰＢ＋ＢＰＣ） ＝ ＰＣｓｉｎ ＡＰＢ＋ＰＡｓｉｎ ＢＰＣ 文［２］指出,这种新的边角之间的积和关系,…     

Cayley定理及其证明

<正>Cayley定理简介对于欧氏平面上的三角形及其相关的全等问题,以及由三角形已知的边和角利用正弦定理和余弦定理求解三角形等问题,中学生一般都很熟悉.对于平面四边形,除了特殊的如梯形、平行四边形或者更特殊的菱形、长方形等以外,大家对它们的性质了解得还不多.比如Cayley定理,很多中学生都不了解.Cayley定理断言,四边形的四条边和两条对角线满足一个代数关系,即存在一个六元多项式F,使得对于任意四边形ABCD,有     

用向量法证明平面几何问题

向量的线性运算和数量积运算都具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,用向量法解决平面几何问题,不仅是一种全新的解题思路,对一些比较复杂的线段比例问题用向量法求解还是一种有效的捷径．     

空间向量 夹角与距离

重点：1）掌握空间向量的几何运算与数量运算；2）理解空间向量平行与共面定理；3）利用空间向量的数量积计算夹角与距离；4）掌握向量平行与垂直的充要条件；5）理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影；6）掌握面面垂直的判定定理和性质定理。     

对一道高考题的探究性学习

本题是以圆为载体、向量为背景的最值问题,不仅考查了向量的线性运算、共线定理和向量的数量积等知识,而且还考查了求函数最值的重点内容．本题融入了考试说明和新课改理念,体现了自主学习和主动探究的精神,体现了思维的灵活性和方法的多样性,而且将平面向量融数形于一体,是代数、平面几何、三角函数、解析几何等知识的交汇点．     

一类定值问题在圆锥曲线中的推广

文[1]将一些特殊平面图形或空间几何体的定值性质的一系列研究([2]?[4])结论推广到三角形、四边形、正多边形、四面体的“重心圆(或重心球)”,即命题1[1]以三角形(平面四边形、平面正多边形、四面体)的重心为圆(球)心的任意圆周(球面)上的点到三角形(平面四边形、平面正多边形、四面体)各顶点的距离的平方和为定值.     

空间向量的几种常见问题解析

空间向量的概念及其运算与平面向量类似,向量加、减法的平行四边形法则以及相关的运算规律仍然成立.空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广.通过研究方向向量与法向向量之间的关系,可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题.