对一道平面几何问题的探究反思

2010年第5期《数学通报》刊登了白玉娟、郭璋老师给出的1846号问题"在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D1,D2在AC上,且AD1=CD2,AE1⊥BD1于E1,延长AE1交BC于F1,AE2⊥BD2于E2,延长AE2交BC于F2.求证:∠AD1B+∠AD2B=∠CD1F2+∠CD2F1"的证明1.我们通过对该问题认真探究反思,得到了该问题的一些有意义的结论:一是该问题的多种证法,二是该问题的变形命题,三是该问题的原型命题,四是问题的推广引申.     

内等角线性质定理的简证

<正>(内)等角线性质定理[1]在△ABC中,若AD1,AD2为∠BAC的等角线(点D1,D2在BC边上,且∠BAD1=∠CAD2),则有AB2/AC2=BD1·BD2/CD1·CD2.文献[1]利用平行线及相似三角形给出的证明.本文从求证结论入手,给出如下两种简洁流畅的证明.证明1如图1所示.     

触类旁通相似三角形

在解决相似三角形的相关问题中,要特别注意一些重要的考查点,下面来谈谈这方面的问题. 1 相似三角形的判定 例1 如图1,在矩形ABCD中,AB:BC=5:6,点E在BC上,点F在CD上,且EC＝1/6BC, FC点F在CD上,且EC=1/6BC,FC＝3/5CD,求证:△AFD～△FEC. 分析△AFD与△FEC都为直角三角形,其中∠D＝∠C=90°,要证明△AFD～△FEC,可以证明夹两个角的边对应成比例,可通过已知的边长关系来证明对应边成比例.     

对角线互相垂直的四边形的特性

<正>本文首先给出对角线互相垂直的凸四边形的判定及性质,然后举例说明其应用.判定:对边平方和相等的四边形对角线互相垂直.已知:如图1,在四边形ABCD中,有AB2+CD2=AD2+BC2.求证:AC⊥BD.证明连接AC、     

一道平面几何题在圆锥曲线中的探究

1一道平面几何题的演变在梯形ABCD中,AB∥CD,E为BC上一点,且AB=BE,CE=CD.求证:以AD为直径的圆过点E.此题证明简单,兹不赘述.通过此题我们发现,由条件AB=BE,CE=CD可联想到抛物线的定义,这就提示我们可以将结论转化为抛物线的性质.     

判定直线与圆相切的办法

<正>一、已知条件中直线与圆有公共点,且存在连接公共点的半径,则可直接根据"经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线"来证明.图1例1如图1,已知AB是⊙O的直径,AC是⊙O的弦,点D为AB延长线上一点,连接CD,且∠OCA=25°,∠D=40°.判断直线CD与⊙O的位置关系,并证明你的结论.解直线CD与⊙O相切.理由如下:∵OA=OC,∠OCA=25°,∴∠A=∠OCA=25°.又∵∠DOC是△AOC的外角,∴∠DOC=∠A+∠OCA=25°+25°=50°.在△DCO中,∵∠D=40°,∠DOC=50°,     

例谈线段相等的证明技巧

<正>线段相等的证明灵活多变,在初中几何证明中频频登场．以下举例浅谈解这类问题的多种技巧,供同学们参考．1通过证明三角形全等来证明对应边相等例1如图1,AB∥CD,AB=CD,CE=BF,求证:DF=AE．分析欲证线段DF=AE,只需证明△CFD≌△BEA.证明因为AB∥CD,所以∠B=∠C．又因为CE=BF,所以CE-EF=BF-EF,即CF=BE.     

几何证明选讲之“圆”的题根研究——从“圆周角定理”说起

几何证明选讲在人教版新课标教材中以选修内容出现,其主要内容之一是圆及其相关性质定理的应用,如"相交弦定理""线割线定理""割线定理""弦切角定理"等,高考对此部分内容的考查多以选择或填空及附加题的形式出现,试题难度不大,考查的知识点较为固定,本文以"圆周角定理"为根,就相关定理的推广应用,展开探究.题根:(圆周角定理)在同一圆上,同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍.证明:略.说明:由圆周角定理可直接得出结论:同弧所对的圆周角相等,这是圆最基本的性质之一,在此基础上我们可以直接或间接得出圆的其他相关性质定理.     

构造组合数模型巧证组合恒等式

证明组合恒等式,一般是利用组合数的性质、数学归纳法、二项式定理等,通过一些适当的计算或化简来完成.但是,很多组合恒等式,也可直接利用组合数的意义来证明.即构造一个组合问题的模型,把等式两边看成同一组合问题的两种计算方法,由结论的唯一性,即可证明组合恒等式.例1证明:C     

例谈“异面直线垂直类”题目的解答

<正>立体几何是每年高考的必考大题.为规避学生陷入只会利用空间向量的相关知识,直接建系,暴力计算的误区.把异面直线垂直类题目放在第一问,"阻碍"学生建系,是近年来命题的一种趋势.这类问题常见的解决思路如下:已知异面直线AB和CD,若要证明AB⊥CD,则只需在直线AB上找到一点E,     

一道含45°角的斜三角形几何题的“步步探寻”

<正>题目如图1,在斜△ABC中,若∠BAC=45°,CD⊥AB于D,AE⊥BC于E,交CD于H,求证:DH=DB.通过证明△ADH≌ΔCDB可得结论.这是一道含45°的常见的几何题,重在考查同学们对全等三角形的判定与性质的运用.当我们对该题进一步挖掘时,发现一些新的结论:     

一个优美性质的简证

文[1]介绍的圆锥曲线的性质确实很优美,但其证明较繁.本人提供一种较为简单的证明.图1先介绍一个引理:(因为后面应用该定理,这里所标字母与原题中一致)如图1,B、C分别为△ADN中AN、DN上的点,设AB,CD交于点M,连结NM并延长交AD于E,则N BBD N CAC=NMME.证明∵N BBD=S△N BMS△DBM=     

组合恒等式证明的几种途径

组合恒等式的证明是一种常见题型 .虽然它在近几年高考试题中出现较少 ,但在教材及参考书中却屡见不鲜 .由于它综合了二项式、组合数性质、代数恒等变形等内容 ,其技巧性强 ,解题方法独特 ,因此学生解决这类问题往往感到困难 .本文试图通过一些实例谈一谈组合恒等式证明的几种途径 .1　构造模型直接运用题设条件难以证题时 ,不妨把所考虑的问题置于某种特定背景 ,构造模型往往可得到简捷、巧妙的证明 .例 1　求证 :Ｃ0 ｍＣｒｎ Ｃ1ｍＣｒ - 1ｎ …… ＣｒｍＣ0 ｎ=Ｃｒｍ ｎ.分析　根据左式各项特征 ,构造组合模型 :甲、乙两只袋 ,甲袋…     

存在性问题的解法

<正>存在性命题在其结论中大多有"有一个"、"存在一个"等这样的量词,一般都可表示成这样的形式:已知A1,求证存在事物A2,使A2具有性质A3.求解存在性问题的方法通常有两类,一类是反证法;另一类是构造性,即构造出具有性质A3的事物A2以完成证明.比较而言,构造性证明一般都有较高的技巧要求,强化这方面的训练对优化数学思维、提高学科素养、提高解题能力都颇有益处.例1设a,b,c,d都是正数,求证:有一个     

线段和、差、倍、分的几种证明方式

线段的和、差、倍、分在几何证明中比较灵活 ,在解决问题中常用到的方法有 :截长法、补短法、加倍法、折半法等等 .1 .所谓截长法是指在较长的线段上截取一段等于其它两条线段中的一段 ,然后再证明截后所余线段等于两线段中的另一段 .所谓补短法即延长两线段中较短的一条 ,使其等于较短线段中的另一条 ,然后证明延长后所得的线段等于较长的线段 .以上两种方法常常用来解决两条线段的和、差等于另一条线段的问题 .例 1　如图 ,已知△ABC中 ,∠A =2∠B ,CD平分∠ACB .求证 :BC =AC +AD .证明 :(截长法 )在CB上截取CE =CA .∵CD平分…     

坐标变换在几何证明中的应用

用坐标法证明几何图形的性质,思路单纯,几乎无须添设辅助线,即使问题较为复杂,若坐标系选择恰当,运用此法亦常奏效.而坐标变换是解析几何的重要内容.作为这一方法的补充,本文举例说明平面直角坐标系的坐标变换公式在几何证明中的应用. 例1 六边形ABCDEF内接于⊙O,它的三边AB、CD和EF都等于圆的半径,M、N和P分别为边BC、DE和FA的中点.求证:△MNP为等边三角形.     

不等式的性质与证明

1.本单元重、难点分析1)不等式的基本性质是推导不等式其它性质的基础,也是证明不等式的依据,贯穿于不等式的证明、求解和实际应用中,因此它是本单元的学习重点.运用不等式的基本性质解决不等式问题时,应注意性质成立的条件.2)不等式证明的主要依据有:i)a-b>0 a>b;a-b=0 a=b;a-     

数学问题解答

2011年7月号问题解答(解答由问题提供人给出)2011 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,点D在AB上(不含端点),点E在CA的延长线上,使得CE+ 2BD=√3CB,连结CD、BE.证明:CD=1/2BE.     

构造全等三角形解题举例

<正>本文介绍用构造全等三角形的"方法"解决与图形有关的计算、求值、判断推理等问题.一、构造全等三角形"证明等边等角".例1如图1,在△ABC中,∠B=2∠C,BC=2AB,AD为中线.求证:△ABD是等边三角形.分析与思考如图1,作∠ABC的平分线BE,连接DE.因为∠B=2∠C,于是∠EBD=∠C.由"等角对等边"得知BE=CE.但AD为中线,所以BD=CD.所以在△BDE与△CDE中,BE=CE,BD=CD,ED=ED,所以△BDE≌△CDE.这样∠BDE=∠CDE=90°.在△BAE与△BDE     

《数学通报》2011号问题的三角证法

《数学通报》2011年第8期刊登的2011号问题如下:图1如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,点D在AB上(不含端点),点E在CA的延长线上,使得CE+2BD=槡3CB,连结CD、BE.证明:CD=12BE.文[1]提供的参考答案利用了一个较陌生的