关于折线段最小值问题的探究

初中数学中有关折线段的最值问题较为常见,用到的几何原理尽管比较简单,但这类问题往往伴随转换的思想方法,学生很难熟练掌握.本文就此类问题进行分类探究,以帮助提高同类问题的解决能力.     

对一个折线距离问题的探讨

广东试题设A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）是平面直角坐标系xOy上的两点,先定义由点A到点B的一种折线距离ρ（A,B）为ρ（A,B）=|x₂—y₂-y₁|.对于平面xOy上给定的不同的两点A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）,（1）若点C（x,y）是平面上的点,试证明ρ（A,C）+ρ（C,B）≥ρ（A,B）;（2）在平面.xOy上是否存在点C（x,y）,同时满足①ρ（A,C）+ρ（C,B）=ρ（A,B）;②ρ（A,C）ρ（C,B）.若存在,请求出所有符合条件的点;若不存在,请予以证明.分析:（1）由ρ（A,C）=|x-x₁|+|y-y₁|,     

构造“距离模型”解无理函数最小值问题

<正>当我们看到(M2+N2)¹/2的无理式时总会联想到平面上两点的距离,于是对于求含有(M2+N2)1/2的无理式时总会联想到平面上两点的距离,于是对于求含有(M2+N2)¹/2的无理函数的最小值问题,不妨想想能否构造距离模型来解决,这样,既揭示了问题的本质,又使解题过程简洁而明快,何乐而不为?     

“折线距离”整体解决一类最值问题

<正>《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》案例23给出欧氏距离教学上的拓展——折线距离的教学案例,折线距离实质源于课本,又高于课本,将解析几何与绝对值性质等知识结合起来.在日常学习中,我们经常遇到如下所示的一类绝对值和的最值问题,通过折线距离的定义与性质可快速解决这类问题.     

求线段的最小值

<正>~~     

求面积最小值

<正>如图,长方形ABCD中,AB=5,AD=8.在AB,AD上各取一动点P、Q,且满足PQ=3.求:五边形BCDPQ面积的最小值。     

空间折线与其中点折线周长间的一个关系

我们知道,依次连接三角形各边中点所得三角形的周长是原三角形周长的一半．一般地,依次连接折线各边中点所得的折线称为中点折线．那么,任意一条封闭折线（不一定是平面的）,它的中点折线的周长与原折线的周长之间有什么关系呢？先给出如下引理引理１　△ＡＢＣ中,ＡＢ＋ＡＣ≤ＢＣ·ｃｓｃＡ２．其中当且仅当ＡＢ＝ＡＣ时取等号．证　在△ＡＢＣ中,ＢＣ２＝ＡＢ２＋ＡＣ２－２·ＡＢ·ＡＣ·ｃｏｓＡ＝（ＡＢ＋ＡＣ）２ｓｉｎ２Ａ２＋（ＡＢ－ＡＣ）２ｃｏｓ２Ａ２≥（ＡＢ＋ＡＣ）２ｓｉｎ２Ａ２,∴ＡＢ＋ＡＣ≤ＢＣ·ｃｓｃＡ２．…     

函数的最大值与最小值

随着高中数学学习的深入 ,我们常常会遇到各种各样的求最大值和最小值的问题 .解决函数的最值 (最大值与最小值 )问题涉及的知识面较广 ,解法也是多种多样的 .下面就是我对处理函数最值问题的几点心得体会 .1　配方法例 1　设x ,y是实数 ,求u =x2 +xy +y2 -x- 2 y +3的最小值 .解 :u =x2 +xy +y2 -x - 2 y +3=[x2 +(y - 1)x +(y - 1) 24 ]+y2 - 2 y +3- (y - 1) 24=(x +y - 12 ) 2 +34(y2 - 2y +1) +2=(x +y - 12 ) 2 +34(y - 1) 2 +2≥ 2 .当且仅当x =0 ,y =1时取等号 ,所以u的最小值为 2 .(同样 ,也可以 y为主元进行配方 ,读者不妨一试 )…     

函数的最大值与最小值

对于函数y=f(x1,x2,…,xn),若存在常数a,使y≥a恒成立,且等号确能取到,则称a为y的最小值;类似地可以定义y的最大值.数学竞赛中的最值问题往往需要综合数学各分支的知识灵活处理.下面通过一些例子来说明解最值问题的一些常用技巧.1利用函数的性质例1求二元函数f(x,y)=x2 4xy 2y2     

函数的最大值与最小值

对于函数y=f（x1，x2，…，xn），若存在常数a，使y≥a恒成立，且等号确能取到，则称a为y的最小值；类似地可以定义y的最大值。数学竞赛中的最值问题往往需要综合数学各分支的知识灵活处理。下面通过一些例子来说明解最值问题的一些常用技巧。     

五法求最小值

<正>例已知a,b,c均为实数,且a+b+c=0,abc=432,求正数c的最小值.分析由a+b+c=0,abc=432可知:a,b,c中必为两负一正,若c>0,则a<0,b<0.要求正数c的最值,就要根据已知条件推导出关于c的不等式,这是解题的关键和必经之路.解法1因为a+b+c=0,abc=432,所以a+c=-b,432/ac=b.因此a+c+432/ac=0,即ca²+c2+c²a+432=0.     

数学教学与现代信息技术的整合课例--动点间距离最小值的探索

课堂实录 :画面 :海洋、小岛、海岸线 .画外音 :这是一座美丽的小岛 ,岛上各种资源非常丰富 ,为了开发利用 ,在海岸线上需要建造码头 ,如果不考虑其它因素 ,为确保小岛与码头的距离最短 ,那么码头应选在何处 ?(画面 :从小岛指向码头缓慢划出一道航线 ) .(分组讨论 )生 1 :我们认为 ,这是平面上一点到给定曲线上一动点的距离的最小值问题 ,它一定存在 ,但还看不出点P的特征 (图 1 )生 2 :老师 ,我们能否先考虑海岸线是直线 ,若是直线 ,则当AP垂直直线a时 ,AP最短 (图 2 ) ;再考虑海岸线是圆弧 ,则当AP延长线过圆心O图 3时 ,AP最短 (图 3)…     

一次函数的最大值和最小值

一次函数ｙ =ａｘ ｂ是一个最简单的初等函数 ,假如ａ≠ 0 ,它在坐标平面上表示一条与ｘ轴不平行的直线 ,因此它在整个实轴上既无最大值 ,也无最小值 .但是 ,在任意有限区间 [α ,β]上 ,它总有最大值和最小值 .当ａ >0时 ,ｙ是严格单调递增的 ;当ａ <0时 ,ｙ是严格单调递减的 .因此 ,当ａ≠ 0时 ,ｙ的最大值和最小值总是在区间 [α ,β]的某一个端点处取到 .假如ａ =0 ,那么ｙ =常数ｂ ,ｙ在整个实轴上处处取到最大值和最小值 .我们以 ｆ(ｘ)表示ａｘ ｂ ,以 ｍａｘα≤ｘ≤βｆ(ｘ)和ｍｉｎα≤ｘ≤βｆ(ｘ)分别表示 ｆ(ｘ)在 [α ,β]…     

最大值与最小值相等

题:求函数,一(,一x) 不与,·。(。,,,的。值解法一令‘一二(l一x)·::。(。,1),.、‘。(。,专)‘ ;一‘,一, 淤。一‘万一六,’ 丫万一六“‘。,韵上为单调递增函“…,一:一等·解法二令‘一(卜Z)则,一‘ 令·…。(。,1),…‘。(。,专〕3l易证:,一‘十令在(0,1)上为单调递减函数·一 l7一‘十令在(0,专〕上为单调递减函数·“.,‘一丁本期“数学诡辩”揭底 纵观两解过程似乎无懈可击最小值,谁是谁非呢?,等既是般大值又是”法二正确,解法一中因石一六在‘〔(。,专〕时为负数,平方后单调性改变·最大值与最小值相等@朱根顺$山西新绛中学 …     

求最大最小值的一些方法

求最值,有一些常规方法,例如用二次函数、不等式、三角函数来解决问题.但遇上某些问题时,利用这些方法不甚方便,我们就应寻找另外一些方法了. 1.利用条件区域求最值 这种方法就是据题目中所给定的变量范围,在直角坐标系中画出条件区域,进而采用线性规划的方法求出所给表达式的最值.(含数形结合的思想) 例1 设x、y、z满足条件x y十z=1,0≤x≤1,0≤y≤2,3y z≥2,求f(x、y、z)=     

一个多元绝对值函数的最小值

对于函数F(x1，x2，…，xn)=|α1x1 α2x2 … αnxn A|，由绝对值的意义知F(x1，x2，…，xn)≥0，特别，当αi，xi，A∈Z(i=1，2，…，n)时，该函数有更精确的下界，本文将给出这个结论。