妙设主元另辟蹊径

数学解题过程主要就是化繁为简、化难为易的转化过程,在众多的转化方法中,主元法是一种重要的方法．主元法就是在数学问题所涉及的常量、参量、变量等多个量中,选择一个量作为主要变元,并以此为解题的主线,从而实现数学问题的转化,使问题得以解决的思想方法．在与函数、方程、不等式相关的问题中应用广泛,往往能起到另辟蹊径,突破思维障碍的妙用．使用主元法解题的关键是主元的确立,本文意图对这一问题加以探讨．     

运用主元思想,探究解题途径

根据具体条件和解题需要,从不同的角度出发,在众多变元中选用一个变元为主元,并以此为线索把握解决问题的方法叫做主元法.许多数学问题,都含有常量、参量和变量(统称为元素),这些元素中,必有某个元素在问题中处于突出的、主导的地位,我们在解题时把这个元素看作主元。那么,如何灵活地选择主元从而用主元法解题?实施主元法解题的技巧有哪些?本文就此作一些探讨.1抓住特征,确立主元在众多变元中,选择其中一个变元为主元,视其它变元为参量,突出主要矛盾,淡化次要矛盾,促成问题转化.例1已知x,y,z∈R且x y z=π,x2 y2 z2=π22.求证:0≤x,y,z≤32…     

例谈构造法解题

构造法是数学解题中的数学转化方法之一,其实质就是依据某些数学问题的条件或结论所具有的典型特征,用已知条件中的元素为"元件",用已知的数学关系为"支架",在思维中构造出一种相关的数学对象、一种新的数学形式;或者利用具体问题的特殊性,为待解决的问题设计一个合理的框架,从而使问题转化并得到解决的方法.正由于构造法的这些特点,使构造法成为解题的主要方法之一,并且在中学数学中有着广泛的应用.本文通过几个例子来谈谈构造法解题.……     

平行转移法在立几解题中的应用

转化是解决问题的一种重要思想,所谓转化就是把某个待解决的问题或未解决的问题通过某种途径归结为某些已解决的或者容易解决的问题的方法.平移转化法是立体几何的一种重要思想方法技巧,在解题中有着广泛的应用,下面举例说明:     

我们是如何陷入分类讨论的?

分类讨论是一种重要的数学思想和解题策略,在中学数学学习中有重要的位置.当然,由于分类讨论,也难免使得问题的解决过程变得繁杂冗长.因此,我们又希望避免解题过程中的分类讨论.事实上,解决某些数学问题,之所以要分类讨论,常常是囿于我们所选择的解题视角,而不是问题本身的缘故.     

用主元素法解题

<正>在一个代数问题中,有时会出现两个或两个以上的变量,这时就需要进行适当的变形.变形时可以确定其中的一个变元为主变元,然后围绕这个主变元来寻求问题的解决.这种解题方法通常称为主元素法.一、确认主元     

换元法常用的几种类型

处理某些复杂问题时,往往由于其形式上的繁琐,挡住了我们的视线、影响我们迅速准确地找到解题思路,使解题陷入困境.而事实上任何一道数学题都有其内在结构.因此,能否抓住问题的本质,弄清其内在结构是解决问题的关键所在.换元思想正是在这样的前提下提出的.通过换元可以剥去题目的伪装还问题的本来面目,使问题的本质一目了然(换元的过程相当于给“花脸”演员“卸妆”).它可起到“化繁为简”“化生为熟”的作用.如果换元时“选元”得当,往往会使问题“云开雾散、柳暗花明”,并有一种豁然开朗之感.本文就各种类型的换元及“选元”方法作一小结,以便使大家对换元思想有个总体认识.     

代换的魅力

<正>在解题中,代换是一种常用的数学方法.通过代换,常常可以使问题的形式得以转换,从而透过表象更易看清问题的本质;通过代换,也能够让量与量之间得以沟通,使代换充当一种牵线搭桥的作用,从而使问题的解决峰回路转.本文将借助代换来解决几个数学问题,以赏析代换在解题中的内在魅力.一、牵线搭桥对于某些涉及有相互关联的多变量(式)的数学问题,借助代换,往往可以使这多个多变量(式)沟通起来,这时,代换就彰显了一种穿针引线的魅力.     

变换角度 巧妙解题

<正>在解数学问题的过程中,多数人受思维定势的影响,习惯用一种模式化的思维方法去观察问题、解决问题,有时会使一些问题难以解决,这时如果我们能变换一下思路,则能另辟蹊径,往往能解决运用正向思考所不能解决的问题.本文对变换角度解题作了一点初浅的归纳,以期抛砖引玉.1.反客为主通常我们解题时,总是把注意力集中在那些主要变元上,这当然是正确的,当思维受阻     

谈利用不等式来解决等式问题

数学中某些等式问题若注意到题目本身的特点,应用不等式来处理,常能使问题的解答过程较为简捷。探索这种解题方法,对于培养学生的灵活运用知识,探讨解题思路的能力是有益的,应使学生掌握并能灵活运用。现从两方面介绍这一解题方法。一、利用△=b~2-4ac≥0 判别式△=b~2-4ac在数学解题中有着广泛应用,常用来解决求数值的范围、求函数的极值、证明不等式等等问题。还可以用来解决一些等式问题。举例说明。     

数学解题中常见的策略性错误

我们知道，解题策略的正确制定是解题顺利进行的先决条件．一个好的策略，不仅可能使解题过程明快、利落，思维合理而经济，具有事半功倍的作用，而且还可能决定问题的最终解决．数学解题中策略性错误有两种：一种是策略明显地增加了解题的长度和难度，在规定的时间内问题得不到解决；另一种是策略产生了错误导向，使问题不能得到解决．下面就学生在解题中常见的策略性错误进行分析．     

例谈换元法在一类问题中的应用

<正>著名数学家G·波利亚曾说过,解题的成功要靠正确的转化.这里的转化其实就是一种重要的数学思想——化归思想.换元法是化归思想中常用的方法之一.恰当的换元往往能使问题化繁为简,变生为熟,从而有利于问题的解决.下面是笔者最近编拟的一道题:题目在直角坐标系xOy中,已知曲线C     

构造一元二次方程解题

方程思想是一种重要的数学思想.在解某些数学问题时,若将它们转化为一元二次方程,问题就会迎刃而解.现举例说明.一、利用根的定义构造方程如果已知等式具有相同的结构,这时就可把变元看成是关于某个字母的一元二次方程根,从而使原问题获得解决.     

我们是如何陷入分类讨论的？

分类讨论是一种重要的数学思想和解题策略,在中学数学学习中有重要的位置．当然,由于分类讨论,也难免使得问题的解决过程变得繁杂冗长．因此,我们又希望避免解题过程中的分类讨论．事实上,解决某些数学问题,之所以要分类讨论,常常是囿于我们所选择的解题视角,而不是问题本身的缘故．     

多参数问题的减元策略

减元——减少参数的数目是处理关于多个参数的数学问题的常用方法.虽从具体解题过程中看,用到的不过是尽人皆知的常识——化多为少、化繁为简、变难为易……,但不能因此而受到忽视.关于怎样才能有效地发挥减元的功能这一课题值得我们进一步加以研究.先谈解题经验中我们体会较深的九条策略.     

学会简化分类讨论

<正>同学们知道,分类讨论是常见的解题策略,也是重要的数学思想.当然,由于分类讨论,难免使问题的解决过程变得复杂与冗长.因此,面对一个似乎需要分类讨论的问题时,树立简化分类讨论意识就显得很有必要.如何简化分类讨论,简言之就是:避免不必要的分类,简化绕不过的讨论.下面,通过实例加以说明,以资同学们参考.一、避免不必要的分类教学中发现,同学们在解题中的某些分类     

部分稳定的李雅普诺夫函数与大系统的部分稳定性

随着科学技术的日新月异,近十年来,出现了规模庞大、结构复杂的大系统.例如,大型通讯、交通、电力、生态、化工、计算机、经济管理、人口控制等系统.其理论研究尚处于初创阶段.目前所见研究工作多是涉及大系统所有的状态变量.然而,实际上很多稳定性问题并不要求(或不可能要求)用同样方式处理所有变量.事实上,在某些问题中,我们感兴趣的只是某些状态变量的性状,或者实际上状态变量中只有某些可以使用,人们甚至不能得到其余状态变量的信息(这是由于不可去除的扰动造成的).因此,研究大系统对部分变元的稳定性是十分重要的.问题之一是:若每个孤立子系统对部分变元稳定(或不稳),当关联项满足什么条件,可以保证大系统对各子系统所涉及的部分变元都稳定(或     

一题多变与多题一解在高中数学教学中的运用

一题多变是指对原来问题的条件或结论的知识载体进行引申,把相关知识进行迁移、运用,变出的问题结构与原题基本相同的一种变题方法,强调学生在解题过程中要注意归纳解题方法和理论,这是一个归纳的过程;多题一解是指多个题可用同一种解题方法和理论去解决,培养学生在学习过程中要重视"通题通法",淡化"特殊技巧",这是一个演绎的过程.     

化归

所谓“化归” ,是指把要解决的问题 ,通过某种转化过程 ,归结到一类已经解决或者能比较容易解决的问题中去 ,最终获得原问题解答的一种解题策略 .化归从某种意义上来说是“化简” .前苏联数学家雅诺夫斯卡娅在回答什么是解题时说 :“解题就是意味着把所要解的问题转化为已经解过的问题” .就是指化归 .化归就是把复杂问题化为简单问题 ;把陌生的问题化为熟悉的问题 ;将一个问题转化为另一个问题 ;将一种形式转化为另一种形式等等 .下面我们通过具体的例子来说明这种解题策略的运用 .例 1　设Ｐ是三角形ＡＢＣ内部的一个点 ,Ｄ ,Ｅ ,Ｆ分别是…     

用不等导等解题

在解题过程中把有关的数量关系式进行合理地加工和整理,使之同时具有“A>B”和“A相似文献