一道向量题的深入探讨

1.一道向量题题目在四边形ABCD中,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d且a·b=b·c=c·d=d·a.问四边形ABCD是什么四边形?(《中学生数学》2005年3月上第9页)这里要强调ABCD是平面上的四边形.因向量是新教材增添的新内容,故这道向量习题引起了多方的关注.     

1道向量题的精彩解法

题目 在四边形ABCD中,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d.且a·b=b·c=c·d=d·a.问四边形ABCD是什么四边形? 做过这道习题的同学或老师都知道这道题不大"好做",为说明这一点,笔者摘录参考文献[1]上对本题的解法和点评.     

浅谈用旋转法作辅助线证明几何题

<正>1.试题呈现(2018广州中考第25题)如图1,在四边形ABCD中,∠B=60°,∠D=30°,AB=BC(1)求∠A+∠C的度数;(2)连接BD,探究AD,BD,CD三者之间的数量关系,并说明理由;(3)若AB=1,点E在四边形ABCD内部运动,且满足AE~2=BE~2+CE~2,求点E运动路径的长度.     

下结论要理由充分

我们先来看看下面两道题的证明,有无"漏洞".题1求证:平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等.已知:■ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,OE⊥AD于E,OF⊥BC于F.图1求证:OE=OF.证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC.∵OE⊥AD,OF⊥BC,∴∠AEO=∠CFO.又∵∠AOE=∠COF(对顶角相等),∴△AOE≌△COF(AAS).∴OE=OF.图2题2已知:正方形ABCD中,O是对角线AC的中点.连接OB、OD.求证:OB=OD.证明1∵四边形ABCD是正方形,OA=OC,∴OB=OD(正方形的对角线互相平分).     

比例线段与面积

在学习相似三角形的过程中,经常会碰到这样一类的习题: 已知:如图1所示,四边形ABCD是平行四边形,DM=CM,DN=AN,试求BP:BM。这类习题通过添加平行线,利用相似三角形中的有关性质即可使问题迎刃而解。今过M点作BC的平行线交CN于E,由△BCP∽△MEP,可得 BP:PM=BC:ME又由已知可得EM=1/2AD=1/4BC, ∴ BP:PM=4:1从而得出BP:BM= 4:5 利用这类习题的解法和结论,可以解决不少有关     

等腰梯形底上一点的性质

<正>性质1如图1,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,E是BC上一点,若直线AE与☉ECD的另一个交点为F,则AB²=BE·EC+EF·AE.证明连结DF并延长交BC于点G,显然∠AEB=∠GDC,因为四边形ABCD是等腰梯形,所以∠ABE=∠GCD,于是△ABE∽△GCD,     

对一道课本习题的浅析

问题人教版数学八年级下册教科书第133页的第15题:如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,∠AEF=90°,EF交正方形外角的平分线CF于F.求证:AE=EF.图1图2证明在AB上任取一点M,使AM=EC,连结ME,如图2.因为∠MAE=∠FEC,∠AME=∠ECF,所以△AME≌△ECF故AE=EF.这是按教材提示做辅助线,很容易获得的结果.但是我们面对这一经典的习题不妨做些如下的探讨和研究:①将“问题”中的“E为BC的中点”,改为“E为线段BC上的任意一点”,其他条件不变.求证:AE=EF.(如图3)为使问题一般化,我做如此变换,下面探讨的方法仍然适合特殊情…     

一道试题解法的精彩演绎

一、原题呈现例1(1)如图1,若BC=6,AC=4,∠C=60°,求△ABC的面积;(2)如图2,若BC=a,AC=b,∠C=α,求△ABC的面积;(3)如图3,在四边形ABCD中,若AC=m,BD=n,对角线AC、BD交于O点,它们所成的锐角为β,求四边形ABCD的面积.说明:这是《中学数学》(下)2014年第8期文1给出的一道关于三角函数方面的复习题.评析:本题源自高中课本,主要目的是引导学生经历从特殊到一般的过程去探索并发现三角形的面积公     

一道折叠问题的多种解法

<正>原题呈现现有一张矩形纸片ABCD(如图1),其中AB=4cm,BC=6cm,点E是BC的中点,将纸片沿着直线AE折叠,点B落在四边形AECD内,记为点F,则线段FC=____.(答案是18/5cm)解法探究1.面积法结合勾股定理解法1连接BF交AE于点O,如图2,由折叠可知BF⊥AE,OB=OF;因为点E是BC的中点,可知BE=EC=3cm,利用勾股定     

四边形的一个性质

命题　如图 1,A1 、A2 、B1 、B2 、C1 、C2 、D1 、D2 是凸四边形 ABCD边上的点 ,且AA1 =BA2 =r AB,　 DC1 =CC2 =r CD,AD1 =DD2 =t AD,　 BB1 =CB2 =t BC,(0 相似文献   

一道竞赛题的多种解法

<正>例(2014年北京市中学生数学竞赛初二级试题)在四边形ABCD中,BC=8,CD=12AD=10,∠A=∠B=60°,AB=.图1解法1如图1,延长AD、BC相交于点E,则∠E=60°.设AB=x,则DE=x-10,CE=x-8.过点C作CF⊥AE于点F.在Rt△CFE中,∠E=60°,所以∠ECF=30°.于是FE=CE2=x-82.在Rt△CFE中,CF2=CE2-FE2,     

一道训练学生发散思维的试题

在一次学校月考中,笔者命制了一道试题如下如图,⊙M与x轴交于A、D两点,与y轴正半轴交于B点,C是⊙M上一点,且A(-2,0),B(0,4),AB=BC.(1)求圆心M的坐标;(2)求四边形ABCD的面积;(3)过C点作弦CF交BD于E点,当BC=BE时,求CF的长.图1图2笔者在阅卷和考后试卷评讲过程中,发现学生有许多新     

让点“动”起来,一题多变

<正>我们在处理课本习题时要根据题目的特征,让其中的元素"动"起来,让习题"活"起来,通过一题多变,深入挖掘其隐藏的价值,扩展我们的思路,起到举一反三的作用.题目一(人教版义务教育教科书八年级《数学》下第62页第15题)如图1,四边形ABCD是正方形,G是BC上的任意一点,DE⊥AG于点E,BF∥DE,且交AG于点F.求证:AF-BF=EF.分析要证AF-BF=EF,观察图形可知AF-AE=EF,所以只需证明AE=BF即     

等腰梯形的一个性质及推广

性质等腰梯形的一条对角线与一腰的平方差等于上下底的积.如图1,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,则BD2-AB2=AD·BC.证明∵梯形ABCD是等腰梯形,∴BD=AC.∵等腰梯形有一个外接圆,由托勒密定理得BD·AC=AB·CD+AD·BC,并注意到AB=CD,故BD2-AB2=AD·BC.推广1如图2,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,P是BC上任意一点,则PD2-PA2=AD(PC-PB).     

三角形旁切圆切点的一个性质

定理　设△ABC的旁切圆⊙Ia、⊙Ib、⊙Ic 分别切BC、CA、AB于点X、Y、Z .过YZ和BC的中点X1和D作一直线X1D ,及类似的直线Y1E和Z1F(如图 1) .则X1D、Y1E、Z1F三线共点且该点恰为△DEF的内心 .先给出下面的引理 .引理 1[1] 　分别过三角形三边中点的三条周界平分线交于一点 ,这一点称为第二等周中心 (证明略 ) .图 1　　　　　　图 2引理 2　若四边形的一组对边相等 ,则相等的这一组对边交角的平分线必平行于另一组对边中点的连线 .证明　如图 2 ,设四边形ABCD中 ,AD=BC ,E、F分别为AB、CD的中点 ,AD、BC的延长线交于点…     

梯形中位线定理的深化

初中数学课本中的许多重要概念、定理,需要同学们在知识积累中主动回味、反复发掘,才能较深入的领悟问题的本质.梯形中位线定理就是如此.四边形--梯形中位线定理的第一次接触在课本《四边形》一章中,梯形中位线定理的内容表述为:定理1如图1-1,在梯形ABCD中,AD∥BC,AM=MB,DN=NC,则MN∥BC,且MN=1/2(AD+BC).     

一道经典几何题的多种解法

<正>一题多解有利于调动学生的学习积极性,提高学生的学习兴趣,有利于培养学生的创新思维能力.下面,以八年级一道经典几何题为例.题目如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC上一点,∠AEF=90°,EF交正方形外角的平分线CF于F.求证:AE=EF.一、利用全等三角形的性质证明两线段相等解法1如图2,在AB上截取AG,使得AG=CE,易得BG=BE,     

一道中考题的命制过程与启示

一、试题呈现(南通卷第26题)在菱形ABCD中,∠B=60°,点E在边BC上,点F在边CD上.(1)如图1,若E是BC的中点,∠AEF=60°,求证BE=DF;(2)如图2,若∠EAF=60°,求证△AEF是等边三角形     

对角线互相垂直的四边形的特性

<正>本文首先给出对角线互相垂直的凸四边形的判定及性质,然后举例说明其应用.判定:对边平方和相等的四边形对角线互相垂直.已知:如图1,在四边形ABCD中,有AB2+CD2=AD2+BC2.求证:AC⊥BD.证明连接AC、     

一道面积问题的思考

<正>看课外书时,遇到这样一道题:如图1,当E在正方形ABCD的对角线上,作Rt△FEG,与BC,DC相交于M,N.正方形ABCD的边长为a,EC=2AE,求重叠部分的面积.第一眼看到这道题时,不知从何下手.想着想着,突然想起书上的"丰富多彩的正方形"中的一个问题:如图2,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形A_1B_1C_1O的