一道中考题的解答探究

<正>1.题目呈现(2015年江苏泰州第25题)如图1,正方形ABCD的边长为8cm,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点,且AE=BF=CG=DH.(1)求证:四边形EFGH是正方形;(2)判断直线EG是否经过一个定点,并说明理由;(3)求四边形EFGH面积的最小值.2.解法探究本题的第(1)问是正方形性质和判定相结合的一道题目.证明的思路可以先证明四边形     

一道中考题的再探究

<正>1.题目如图,正方形ABCD的边长为8cm,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点,且AE=BF=CG=DH.(1)求证:四边形EFGH是正方形;(2)判断直线EG是否经过一个定点,并说明理由;(3)求四边形EFGH的面积的最小值.这是2015年江苏省泰州市中考数学试卷中的第25题,韦海关老师在文[1]里给出深入的探究和详尽的解答,并在文章最后一段说:"此题的命制,来源于课本,又高于课本,给广     

用割补法解面积问题

<正>数学是一扇要用智慧开启的门,重要的在于不断探索,从中找出规律和方法,下面就是运用割补法解面积问题的几个例子.一、如图1,四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD,若四边形ABCD的面积为24cm2则AC长为多少?解把△ADC绕点A顺时针旋转90°,得△ABC′,如图2所示:∵AB=AD,∴△ADC≌△ABC′.∵∠ABC′+∠ABC=∠ADC+     

一道赛题的简解

题　△ ABC的面积是 1 cm2 ,如图 1 ,AD= DE =EC,BG=GF =FC,求阴影四边形的面积 .这是刚刚结束的第十三届“希望杯”决赛的一道试题 .今给出比标答更简洁的两种解法 .解法 1　如图 1 ,依题设易知 S△ BCE =S△ ACF =13,连 EF,则 S△ EFC =13S△ BCE =19.设 S△ PEF =t,则 S△ AFES△ AFB=S△ PFES△ PFB(共底三角形面积比等于高之比 )即　 29∶ 23=t:( 29- t) ,解得 t=11 8( cm2 ) .连 EG,设 S△ BGN =y,则 S△ AGES△ AGB=S△ NGES△ NGB,即　 ( 23- 29)∶ 13=( 19- y)∶ y,解得 y =12 1 ( cm) .∴　 S阴 =…     

圆内接四边形的两个性质

文[1]给出了圆内接四边形的一个性质:设ABCD为圆内接四边形,连对角线AC和BD,设△ABC的内心为E,△BCD的内心为F,△CDA的内心为H,则四边形EFGH是一个矩形.本文给出它的另外两个性质:     

三角形垂心的一个性质的三个推论

文 [1]给出了三角形垂心的一个性质 :定理　如图 1,若△ ABC的垂心为 H ,且D、E、F分别为 H在 BC、CA、AB边所在直线上的射影 ,H1 、H2 、H3 分别为△ AEF、△ BDF、△ CDE的垂心 ,则△ DEF≌△ H1 H2 H3 .若以上题设不变 ,则有以下推论 .推论 1　△ H1 EF≌△ DH2 H3 ;△ H2 DF≌△ EH1 H3 ;△ H3 DE≌△ FH1 H2 .证明　如图 1,由定理知 ,EF =H2 H3 ,连结 FH2 、H2 D、DH、H F、H1 E、EH、EH3 、H3 D,由三角形垂心的定义 ,可知四边形FH2 DH、四边形 FH1 EH均为平行四边形 ,∴ H2 D =H1 E.同理 FH1 =DH3…     

数学问题解答

下面的问题,提供读者解答,但答案不必寄来,本期答案将在下期发表。欢迎读者提供适合中学数学水平的问题及其解答,来稿请寄北京师范大学数学通报编辑部问题解答栏。 1982年11月号问题解答(解答由问题提供人给出) 201.设凸四边形的两条边与两条对角线长度皆相等,试求它的最大内角解:若凸四边形的一组对边与两条对角线长度相等,如图中:AD=BC=AC=BD,容易证得:△DAB≌△CAB(或△ACD≌△BCD),此时点D、C(或点A、B)将重合,因之凸四边形不复存在。若凸四边形的一组邻边与两条对角线长度相等,     

表面展开图是四边形的四面体

一般情况下,四面体表面展开图是不规则的多边形,文[1]研究了表面展开图为三角形的情形.本文探索表面展开图为四边形的情形,并给出其充要条件及由四边形折成四面体的方法.定理1　四面体表面展开图为四边形的充要条件是任意两个顶点上的三面角之和均为180°.证明　若四面体S—ABC的表面展开图是四边形A1B1C1D1,如图1,因C1、C、D1;C1、B、B1共线,　∠C1CB ∠BCA1 ∠A1CD1=180°,　∠C1BC ∠CBA1 ∠A1BB1=180°.又△SAB≌△B1A1B,△SBC≌△C1BC,△SAC≌△D1A1C,所以以B、C为顶点的三面角之和均为180°.反之,若四面体S—AB…     

三角形中位线定理应用例谈(下)

<正>(三)综合例题例7如图15,点O是凸四边形ABCD内一点.∠AOB=∠COD=120°,AO=OB且CO=OD.K是AB中点,L是BC中点,M为CD中点.求证:△KLM是正三角形.证明如图15,连接BD、AC,设BD,AC交于P.易知△BOD≌△AOC(边、角、边),所以BD=AC.∠PBO=∠PAO.     

四边形中的趣味竞赛题(下)

<正>例9在任意给定的凸四边形ABCD中,边AB,BC,CD,DA的中点分别为E,F,G和H.求证:四边形ABCD的面积≤EG×HF≤1/2(AB+CD)×1/2(AD+BC).证明如图11所示,HE∥DB∥GF,又EF∥HG,所以EFGH为平行四边形.S_(ABCD)=S_(EFGH)+S_(△AEH)+S_(△DGH)+S_(△CGF)+S_(△BEF),而S_(△AEH)+S_(△CGF)=1/4(S_(△ABD0)+S_(△CBD))=1/4S_(ABCD).同理可证S_(△DGH)+S_(△BEF)=1/4S_(ABCD),所以S_(ABCD)=S_(EFGH)+1/2S_(ABCD),     

“折、剪、拼、量“的中考数学试题

2005年全国各地中考数学试题中,涌现出了许多题型活泼、设计新颖、富有创意的动手操作型试题,本文对这类试题分类评析,供参考.一、折叠问题1.1求线段的长例1:(05深圳)如图,ABCD中,点E在边AD上,以BE为折痕,将△ABE向上翻折,点A正好落在CD上的点F,若△FDE的周长为8,△FCB的周长为22,则FC的长为.解:因为△ABE向上翻折成为△FBE,所以△ABE≌△FBE,所以EF=AE,BF=AB,∵DE EF DF=8,∴AD DF=8,∵BF BC CF=22,∴AB BC CF=22,∴AD DF AB BC CF=8 22即AB BC=15∴CF=7.1.2探求角度问题例2:(05扬州)如图:将一张矩形纸片…     

在“MM教育方式”指导下运用计算机辅助教学一得

首先让我们看一个问题：如图1，在四边形ABCD中，分别从四个顶点A、B、C、D向对角线作垂线AE、BF、CG、HH，垂足分别为E、F、G、H．求证：四边形ABCD一四边形EFGH．我们把这个问题相应的图形输入计算机，让D点运动，当D点进入△ABC之内时，凸四边形一ABCD变为四四边形ABCD，我们看到四边形EFGH也变为四四边形（图2）；当D点运动到与A关于BC的异侧时，凸四边形变为有自交点的四边闭析线（蝴蝶形），四边形EFGH也变化为蝴蝶形（图3）．试问：它们是否能保持分别同原图形相似呢？按初中几何课本所说：“形状相同的图形是…     

以“会标”为背景的中考题欣赏

20 0 2年 8月在北京召开的国际数学家大会的会标(以下简称会标 )是取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》 ,它在 2 0 0 3年中考中受到各地命题者的青睐 ,各地的中考试题中出现了多个以会标为背景的中考题 ,现介绍如下 ,供同学们参考 .一、利用丰富的边、角相等关系证明三角形全等例 1　 ( 2 0 0 3年安徽省中考数学试题 )如图是 2 0 0 2年 8月在北京召开的第 2 4届国际数学家大会会标中的图案 ,其中四边形ABCD和EFGH都是正方形 .求证 :△ABF≌△DAE .证明 :∵四边形ABCD ,EF GH都是正方形 ,∴∠BAF =90°-∠DAE=∠ADE .在Rt…     

一个试题的多种解决方法

<正>试题如图1,有一块形状为直角梯形ABCD的铁皮边角料,AB=20,AD=8,BC=24,要按图中所示的方法截取一块矩形EFGH铁皮.(1)设FG=x,用含x的代数式表示EF,并求矩形EFGH面积的最大值;(2)当矩形EFGH的面积最大时,该矩形EFGH以每秒1个单位的速度沿射线BC匀速运动(当点H与点C重合时停止运动),设运动时间为t秒,矩形EFGH与直角梯形ABCD重叠部分的面积为S,求S与t的函数     

等腰三角形的综合研究(下)

<正>例6(俄罗斯区域数学竞赛题)如图17,△ABC中,O是角B的平分线BE上一点,AO、CO分别交BC、AB于点D和F.证明:如果△BOF与△BOD的面积相等,那么AB=BC.证明由于O是角B的平分线BE上一点,所以O到BF的和BD的距离相等,设都等于h.由已知△BOF与△BOD的面积相等,即1/2BF×h=1/2BD×h.所以,得BF=BD.     

一个涉及Fermat点的不等式

命题　设△ ABC的三边和面积为 a,b,c及△ .F是△ ABC内的 Fermat点 ,延长 AF、BF、CF分别交对边于 A′,B′,C′.记 AA′=fa,BB′=fb,CC′=fc.则　　 f2a f2b f 2c ≥ 33△ . ( 1 )等号当且仅当△ ABC为正三角形时成立 .证明　设 AF =x,BF =y,CF =z,则AA′=AF A′F =x 2 yzy zcos 6 0°=xy yz zxy z ,BB′=xy yz zxz x ,CC′=xy yz zxx y .又由面积公式易知xy yz zx =43△ .所以由上述式子易知 ( 1 )式 (以下用 ∑ 表示三元循环和 ,如∑x =x y z)等价于∑xy .∑ 1( y z) 2 ≥ 94 　…     

纸条打个结结成了一个正五边形

问题将一张等宽的纸条按如图1的方式打一个结,就可以得到一个正五边形(如图1所示).这奇怪吗?为什么呢?让我们用平面几何知识来证明这个问题.首先给一个引理:一个三角形中,如果两边上的高相等,那么这两条边也相等.此引理可由两个三角形全等得证.问题的证明在△EAB中,边EA、AB上的高BH、EG均为纸条的宽度(图2),即BH=EG,∴EA=AB.同理,在△ABC、△BCD中,有AB=BC,BC=CD,∴EA=AB=BC=CD.∵纸条的两条边是平行的,故四边形EABC、ABCD均为等腰梯形,∴∠EAB=∠ABC=∠BCD,∴△EAB≌△ABC≌△BCD,∴BE=AC=BD.①图3在△ABD…     

巧补形解赛题

首先让我们来看一个结论:如图1,正方形AB-CD中,点E、F分别在边BC和CD上,且AE⊥BF,则有△ABE≌△BCF,从而有AE=BF.证明比较简单,从略.以这一结论为基础可轻松地解决一类以等腰直角三角形为背景的赛题.例1(1999年     

一类图形的基本结论及其应用

<正>1.基本图形结论如图1,∠AOB+∠DCE=180°,∠AOC=∠BOC,则DC=CE.证明过C作CM⊥OA,CN⊥OB,垂足分别为M,N.因为∠AOC=∠BOC,所以CM=CN.因为∠AOB+∠DCE=180°,由四边形内角和知∠ODC+∠CEO=180°,所以∠MDC=∠CEN,所以△MCD≌△NCE,DC=CE.也可以在OA上取点P,使CP=CO,通过△PCD≌△OCE即可.其实问题可以看作在上述条件下∠DCE绕顶点C旋转,其结论依然成立;     

圆内接四边形的一个美妙性质

设ABCD为圆内接四边形,连对角线AC和BD,设△ABC的内心为E,△BCD的内心为F,△CDA的内心为G,△DAB的内心为H,则四边形EFGH是一个矩形.如图1.图1图2证明如下:如图2,首先证明B,E,F,C四点共圆.连结BE、FC、BF、EC,则∠BEC=180°-(∠EBC+∠ECB)=180°-(21∠ABC+21∠ACB)=180°-21(∠ABC+∠ACB)=180°-21(180°-∠BAC)=90°+12∠BAC,同理可证∠BFC=90°+21∠CDB,图3因为A,B,C,D四点共圆,所以∠BAC=∠CDB,从而∠BEC=∠BFC,即B,E,F,C四点共圆.其次证明∠HEF=90°.如图3,因为B,E,F,C共圆,所以∠FEC=∠FBC,同理可证,A,H,E,B四点共圆,从而也有∠HEA=∠HBA,则∠HEF=∠AEC-(∠FEC+∠HEA)=∠AEC-(∠FBC+∠HBA)=[180°-(∠EAC+ECA)]-(∠FBC+∠HBA)=180°-(21∠BAC+21∠BCA)-(21∠DBC+21∠DBA)=180°-12(∠BAC+∠BCA+∠DBC+∠DBA)=180°-12(∠BAC+...