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完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2除了可直接用于计算两数和的平方与两数差的平方外,若将它们适当变形,其用途更为广泛,下面举例说明这两个公式的几种变式及其简单应用. 相似文献
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<正>(2ab)/(a+b)≤(ab)1/2≤(a+b)/2≤((a2+b2)/2)1/2(a>0,b>0)是不等式中最著名的不等式,也是最基本最重要的不等式,其中(2ab)/(a+b)=2((1/a)+(1/b))-1称为调和平均值,(ab)1/2称为几何平均值,(a+b)/2称为算术平均数,((a2+b2)/2)1/2称为平方平均数,当且仅当a=b时式中等号成立,它的代数证法并不难,笔者发现,通过构造梯形,利用几何的方法亦可通俗易懂地证明这个不等式。 相似文献
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《中学生数学》2018,(22)
<正>同学们在学习整式的乘法后,大都计算过a+b的n次方(a+b≠0,n为自然数)的结果:(a+b)2=a2=a2+2ab+b2+2ab+b2.(a+b)2.(a+b)3=(a+b)3=(a+b)2(a+b)=a2(a+b)=a3+3a3+3a2b+3ab2b+3ab2+b2+b3.(a+b)3.(a+b)4=[(a+b)4=[(a+b)2]2]2=a2=a4+4a4+4a3b+6a3b+6a2b2b2+4ab2+4ab3+b3+b4.……并关注过计算结果中各项系数(补上(a+b)4.……并关注过计算结果中各项系数(补上(a+b)0=1,(a+b)0=1,(a+b)1=a+b)组成的一张表及其中的数字规律.(各版本的教科书中的阅读材料都有相关探究和介绍) 相似文献
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《中学生数学》2021,(8)
<正>众所周知,不等式a2+b2+b2≥2ab在求最值时经常用到,而这个重要不等式的两边如果都加上2ab,便得(a+b)2≥2ab在求最值时经常用到,而这个重要不等式的两边如果都加上2ab,便得(a+b)2≥4ab,当且仅当a=b时取等号.由于该不等式直接反映了两个数的和及其乘积之间的不等关系,所以它在很多竞赛题中求有关取值范围时有着广泛的应用.我们还知道,如果已知两数和与两数积,根据韦达定理的逆定理,常常可以构造一个一元二次方程,通过判别式大于等于零来解决相关问题.但笔者通过研究发现:利用(a+b)2≥4ab,当且仅当a=b时取等号.由于该不等式直接反映了两个数的和及其乘积之间的不等关系,所以它在很多竞赛题中求有关取值范围时有着广泛的应用.我们还知道,如果已知两数和与两数积,根据韦达定理的逆定理,常常可以构造一个一元二次方程,通过判别式大于等于零来解决相关问题.但笔者通过研究发现:利用(a+b)2≥4ab, 相似文献
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乘法公式有以下三个:(Ⅰ)平方差公式(a b)(a-b)=a2-b2;(Ⅱ)完全平方公式 (a±b)2=a2±2ab b2;(Ⅲ)立方和(差)公式 (a±b)(a2(?)ab b2)=a3±b3. 相似文献
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<正>习题已知a,b∈R+,求证:(a+b)/2≥a+b(abba)~(1/2).这是高中新课程选修教材《不等式选讲》中的习题2.2的第5题,该不等式左右两端结构差异较大,直接证明有一定难度.而(a+b)/2是两正数a、b的算术平均数,联想到均值不等式(a+b)/2≥ab~(1/2)并尝试着代入几组特殊数值,验证后发现(ab)~(1/2)≥a+b(abba)~(1/2)是成立的,于是将此习题所要求证的结论加强如下:加强1已知a,b∈R+,求证:(ab)(1/2)≥a+b(abba)(1/2)≥a+b(abba)(1/2).解析由于(ab)(1/2).解析由于(ab)(1/2)和a+b(abba)(1/2)和a+b(abba)(1/2)的结构相同, 相似文献
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《中学生数学》2018,(14)
<正>a3+b3+b3+c3+c3-3abc=(a+b+c)(a3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+b2+c2+c2-ab-bc-ca),这里不妨将其记为(*),这是一个对称、和谐又十分优美的恒等式.事实上,只要把它的右边展开,即得左边,下面,我们来看它在有关解题中的有趣应用.例1(五羊杯赛题)实数a,b满足a2-ab-bc-ca),这里不妨将其记为(*),这是一个对称、和谐又十分优美的恒等式.事实上,只要把它的右边展开,即得左边,下面,我们来看它在有关解题中的有趣应用.例1(五羊杯赛题)实数a,b满足a3+b3+b3+3ab=1,则a+b的值为______.解从条件式可得a3+3ab=1,则a+b的值为______.解从条件式可得a3+b3+b3+(-1)3+(-1)3-3ab 相似文献
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本文试用完全平方公式 (a±b)~2=a~2±2ab b~2来解三角形。一、解直角三角形如果我们把a、b看成一个直角三角形的两条直角边,那么,由勾股定理:a~2 b=c~2;直角三角形的面积公式:S=1/2ab,即ab=2S。将它们代入上面公式得 (a b)~2=c~2 4S (1) (a-b)~2=c~2-4S (2) 在(1)、(2)两式中,S表示直角三角形的两积,c表示斜边,a b、a-b分别是两条直角边的和与差。可以看出(1)、(2)两式分别给出了直角三角形的两条直角边的和,差与斜边、面积之间的关系。据此,只要已知c、S、a b和a-b这四个量中的任何两个,我们就可以用(1)、 相似文献
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《中学生数学》2017,(19)
<正>一、余弦定理余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在△ABC中,已知AB=c,BC=a,CA=b,则有a2=b2=b2+c2+c2-2bccos A,b2-2bccos A,b2=c2=c2+a2+a2-2cacosB,c2-2cacosB,c2=a2=a2+b2+b2-2abcosC.二、定理证明为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:在△ABC中,已知AB=c,AC=b,及∠A,求证:a2-2abcosC.二、定理证明为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:在△ABC中,已知AB=c,AC=b,及∠A,求证:a2=b2=b2+c2+c2-2bccosA. 相似文献
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《中学生数学》2018,(15)
<正>大家知道,余弦定理是:在△ABC中,a2=b2=b2+c2+c2-2bccos A,b2-2bccos A,b2=c2=c2+a2+a2-2cacosB,c2-2cacosB,c2=a2=a2+b2+b2-2abcosC,把以上三式配方变形,即得a2-2abcosC,把以上三式配方变形,即得a2=(b+c)2=(b+c)2-2bc(1+cos A).b2-2bc(1+cos A).b2=(c+a)2=(c+a)2-2ca(1+cosB).c2-2ca(1+cosB).c2=(a+b)2=(a+b)2-2ab(1+cosC).由观察知这三个式子有以下的列功能.(1)把已知三角形两边和与积及夹角,可迅速求第三边,为解题奠定基础;(2)已知等式中有两数和与两数积,因此它们可以与韦达定理建立联系; 相似文献
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《中学生数学》2017,(24)
<正>试题(2015年四川·内江卷)(1)填空:(a+b)(a-b)=_;(a-b)(a2+ab+b2+ab+b2)=_;(a-b)(a2)=_;(a-b)(a3+a3+a2b+ab2b+ab2+b2+b3)=_;(2)猜想:(a-b)(a3)=_;(2)猜想:(a-b)(a(n-1)+a(n-1)+a(n-2)b+ab(n-2)b+ab(n-2)+b(n-2)+b(n-1))=_(其中n为正整数,且n≥2)(3)利用(2)猜想的结论计算:2(n-1))=_(其中n为正整数,且n≥2)(3)利用(2)猜想的结论计算:29-29-28+28+27-…+27-…+23-23-22+2.原解答略.本文给出如下几点思考.一、设想——多思追问如果去掉试题所提供的由特殊到一般的 相似文献