新题征展(134)

A题组新编1.(1)设O为△ABC的外心,且3→OA+4→OB+5→OC=0则△ABC的内角C=___.     

从问题中“来”,到模型中“去”——关于隐圆模型的解题应用

<正>1 引例探究引例 (2021年江苏徐州市中考卷第18题)在△ABC中,若AB=6,∠ACB=45°,则△ABC的面积的最大值为___.分析:定长AB所对角∠ACB为定角,结合圆周角定理中“同弧或等弧所对的圆周角相等”,可构建圆来体现上述特性,即AB定值→弧AB定长→所对圆周角∠ACB定角,故点C位于过A,B,C三点的圆上.后续利用圆的性质分析最值.图1解:作△ABC的外接圆⊙O,过点C作AB的垂线,设垂足为M,     

分类讨论求解一例

<正>题目已知△ABC,∠B=36°,△ABC能分成两个等腰三角形,画出各种可能情况的示意图,并在示意图中标注两个等腰三角形各内角的度数.要将△ABC分成两个三角形,则分割线必从一个顶点出发,这个分割线可以是从B点出发,也可以是从A(或C)出发,因此需要分两种情况进行解决:(一)当分割线从点A出发时(如图1),由题意知△ABD和△ADC为等腰三角形.在     

巧构重心解竞赛题

2004年全国高中数学联赛选择题4为: 设O点在△ABC内部,且有OA十ZOB+ 3OC一O,则△ABC的面积与△AO〔:的面积之 比为(). ,‘、。,~、3,~、八,~、5 又八,乙气廿)万又七,d又U,了 预备知识若OA+OB十OC一。,则O为 △ABC的重心,且△AOB、△BOC、△AOC的 面积相等. 证明取BC中点D, AC中点E,则口刀十OC一 ZOD,从而O八一一ZOD,故 aA,OL)共线,它们都过O 点,从而O、A、D三点共线, 故O在BC边中线AD上. 同理O在AC边中线 △ABC的重心. 由OA~一ZOD,得 图1 BE上,故O为 S△乃/一25△联一普S△ACD 1。 一了。△ABC 同理 故 …     

两个三角形重心相同的充要条件

定理:在△ABC中,A1、B1、C1分别是直线BC、CQ、AB上的点,且有→AC1=→λC1B,→BA1=μ→A2C,→CB1=t→B1A,则△A1 B1 C1与△ABC有相同重心的充要条件是λ=μ=t,其中λ、μ、t均是不为-1的实数.……     

活用三角形外心向量性质解向量问题

对于三角形的外心,有如下优美的向量性质：性质如图1,O为△ABC的外接圆的圆心,则→AO·→AC,1/2→AC,→CO·→CB=1/2→CB2,→BO·→BA→=1/2→BA2证明过点O作OD⊥AC于点D,则D为线段AC的中点.于是→AO·→AC =｜→AO｜·｜→AC｜cos∠OAC= （｜→AO｜·cos∠OAC）·｜→AC｜     

满足x→OA+y→OB+z→OC=0的点O在何处

我们先看三道高考、竞赛题: 题1 (2007北京理科)已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边中点,且2→OA+→OB+→OC=0,那么( ) A.→AO=→OD B.→AO=2→OD C.→AO=3→OD D.2→AO=→OD 题2 (2010湖北理科)已知△ABC和点M满足→MA+→MB+→MC=0.若存在实数m使得→AB+→AC=m→AM成立,则m=( )     

四面体内心与旁心的一个有趣性质

文 [1 ]给出了三角形内心与旁心的一个充要条件 .文 [2 ]与文 [3]将其作了改进 ,文 [3]的结论简洁而明快 .即定理　设a ,b ,c为△ABC的三边 ,则点P为△ABC的内心的充要条件是aPA→ +bPB→ +cPC→ =0 .本文将此性质推广到四面体 .约定 :△表示三角形面积 ,△1 ,△2 ,△3,△4 依次表示四面体ABCD四个顶点A ,B ,C ,D所对的三角形面积 .定理 1　点P为四面体ABCD内心 (内切球球心 )的充要条件是△1 PA→ +△2 PB→ +△3PC→ +△4PD→ =0 .图 1　定理 1图证　如图 1 ,设I为四面体ABCD的内心 .延长AI交面BCD于E .设I,E到面ABC…     

关于一个向量命题的否定与肯定

命题1 已知P是△ABC所在平面内一点,满足PA^→·PB^→＋PB^→·PC^→＋PC^→·PA^→=0,那么点P为△ABC的垂心．     

一个数学问题的简证

<正>题目^[1]如图,已知△ABC中∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,p是△ABC内一点,若∠PAB=∠PBC=∠PCA.求证:PA[1]如图,已知△ABC中∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,p是△ABC内一点,若∠PAB=∠PBC=∠PCA.求证:PA²/b2/b²+PB2+PB²/c2/c²+PC2+PC²/a2/a²=1.证明如图所示.设射线AP交△PBC的外接圆☉O_1于点A',分别过点P、A'作直线AB的垂线,垂足为E,F,连接A'C,A'B.则∠PA'C=∠PBC=∠PCA=∠PAB.     

一道向量小题的多解

<正>题目已知锐角△ABC中,A=π/3,点O为△ABC外接圆的圆心,若OA=xOB+yOC,则2x-y的取值范围是.这是我们学校平时模拟测试的一道小题,但我们学生做的有点不尽人意,把范围求错的很多,下面我从解法上再剖析这道题!法1利用力的分解法.如图1,∵A=π/3,∴∠COB=2π/3,反向延长OA至OA′,设∠A′OB=θ,     

一个欧拉定理的推广及应用

定理1(欧拉定理) △ABC所在平面上的任意一点P在三边AB、BC、CA上的射影分别为C1,A1,B1,若△ABC及△A1B1C1的面积分别为△及△1,△ABC的外接圆半径为R,P点到△ABC外心O的距离为d,则△1=(△)/(4)|1-((d)/(R))2|.下面我们将给出它的推广,并展示其有益的应用.     

三角形的一个外心判定定理及其应用

一、判定定理如图1,若OA=OB=OC,则点O为△ABC的外心.简证以点O为圆心,以OA长为半径画圆,如图2所示,由于OA=OB=OC,因此⊙O必经过A、B、C,即⊙O为△ABC的外接圆,故点O为△ABC的外心.二、应用举例例1(《中学生数学》2007(6)·P8)如图3,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AC=AD=3,BC=2,求对角线BD的长.解由AB=AC=AD知点A为△DBC的外心,延长BA交△ABC的外接圆于E,连DE,由AB∥DC知DE=BC=2,又EB=2AB=2×3=6,     

一个数学问题的另证

<正>题目^([1])设⊙ω切△ABC的两边AB、AC于点E、F,同时与△ABC的外接圆⊙O内切于点D.记EF的中点为I,求证:I为△ABC的内心.(编者说明文中作者多处省略了证明过程,为了便于读者阅读,编者试着补出了这些证明过程,在括号中用楷体字标出,供参考.)证明如图所示,作射线DE、DF分别交⊙O于点T、S,过点D、S分别作⊙O的切线交于点M,连接DB、DC、TB、TS、CS.则(由     

1道联赛题的推广

2004年全国高中数学联赛第4题为:设O点 在△ABC内部且有OA+2·OB+3·OC=0,则 △ABC的面积与△AOC的面积之比为( ). (A)2 (B)3/2 (C)3 (D)5/3 标准答案技巧性强,本文推广并给出简单 通用的解法. 推广 设O点在△ABC内部且有m·OA +n·OB+r·OC=0,求S△ABC:S△AOC:S△COB: S△AOB.     

利用位似 解决问题

<正>1.试题如图1,☉P在第一象限,半径为3.动点A沿着☉P运动一周,在点A运动的同时,作点A关于原点O的对称点B,再以AB为边作等边三角形△ABC,点C在第二象限,点C随点A运动所形成的图形的面积为().     

多边形的"向量重心"及其求作方法

人教A版必修4在《向量》一章中介绍了三角形重心的性质:若G是△ABC的重心,则→GA+→GB+→GC=→0,反之亦然. 　　因此我们可以认为△ABC的重心是这样定义的:若△ABC所在平面内一点G满足→GA+→GB+→GC=→0,则称点G为△ABC的重心.……     

关于内切圆

<正>本文对有关三角形内切圆的一些结论进行了梳理,并对利用这些结论解决内切圆问题举几例给予说明.图1结论1如图1,△ABC的内切圆⊙O与CA、AB、BC分别相切于点D、E、F,⊙O的半径为r,△ABC的周长为l,那么S△ABC=12lr.     

经过三角形顶点的直线的一个性质与推论

<正>性质如图1,O是△ABC的外心,经过A点的直线交直线BC于点D (O,B,C不在直线AD上),P是直线AD上任意一点(A,P不重合),以PA为直径的圆分别与AB,AC的另一个交点为E,F,PM∥AO交EF于点M.则BD/CD=EM/FM.证明延长PM交以PA为直径的圆于点Q,连接QE,QF.过O点作OG⊥AB于G,     

向量回路法简解竞赛题

例1(第23届"希望杯"全国数学邀请赛培训题高一41题)△ABC中,已知AB=4,BC=5,AC=6,若点O是△ABC的外心,则→AO.→AC的值是.分析标准解答给出的解法是应用余弦定理、正弦定理和向量数量积的定义,繁琐冗长.事实上,若注意到题设条件AC=6及向量回路A→M→O,便有如下简解.简解取AC的中点M,则必有MO⊥AC,