用直线系中的定点解题

经过两直线 l1:A1x B1y C1=0和 l2 :A2 x B2 y C2 =0的交点 P的直线系 (动直线 )方程 l:A1x B1y C1 λ(A2 x B2 y C2 ) =0(λ∈ R,不含 l2 ,简记为 l1 λl2 =0 )的应用范围很广 .本文拟从定点 P的利用这一角度 ,略述管见 ,供参考 .解析几何中涉及到动直线 l:l1 λl2 =0与直线或圆锥曲线相交的一些问题 ,解答的关键往往是确定直线 l所经过的定点 .如能找到这个定点 (通常是隐含的 ) ,并能巧妙应用 ,问题就会迎刃而解 .1　求参数的取值范围例 1　已知两点 A(- 4 ,- 5)、B(2 ,1 ) ,直线 l:(a - 2 ) x - (a 3 ) y 5(a 1 ) =0 …     

突破思维定势 寻求更佳解法

我们在解答数学问题时,其思路、方法很容易受到问题的背景所拘囿,也很容易受到脑海中相似问题的求解经验所引领,这是正常的现象．但是,我们也应该注意突破这样的束缚,以培养灵活解题能力．一、突破问题背景拘囿例1已知点P到两点M(-1,0)、N(1,0)的距离之比为2~(1/2),点N到直线PM的距离为     

错解剖析

<正>某教辅资料上有这样一道例题及解法:例题已知直线(a-2)y=(3a-1)x-1.(1)证明:无论a为何实数,直线总过第一象限;(2)若直线不过第二象限,求a的取值范围.原解法(1)直线方程化为(3x-y)a-(x -2y+1)=0.     

点到直线的距离

空间解析几何的教学中 ,空间点、直线、平面之间的关系是学习的一个重点。点和直线的位置关系包括两种 :点在直线上 ,点在直线外。当点在直线外时 ,点到直线距离的计算随之出现。笔者在教学中发现 ,这一问题的解决可以涵盖空间解析几何教学中两点间距离、向量运算、直线方程、平面方程等诸多知识点。下面以一具体例题说明。例　求点 A( 2 ,4,1 )到直线 L:x+12 =y2 =z-2-3 的距离。解法一　先求过 A点与直线 L垂直的平面方程 .用点法式 ,得2 ( x -2 ) +2 ( y -4) -3 ( z -1 ) =0即 2 x +2 y +3 z -9=0 .　　将直线方程用参数方程表示为x =2…     

图象极限位置的运用

选择题的解答方法因题而异 ,方法极多 ,数形结合是常用不衰且很有效的方法 .其中极限位置的运用则使数形结合法更显简单明了 .下面是几例极限位置运用的例题 .例 1　直线 y =kx +b过点A( 2 ,4 )且与线段BC相交 ,B ,C坐标分别为 ( - 4,- 1 ) ,( 4 ,- 3) ,则k的取值范围是 (　　 )(A) - 72 ,56 .(B) -∞ ,- 72 ∪ 56 ,+∞ .(C) -∞ ,- 72 .(D) 56 ,+∞ .图 1　例 1图解　如图 1 ,直线与线段相交的极限位置是B ,C ,但还得考虑k不存在的情况 ,计算得kAB =56 ,kAC =- 72 .因此选 (B) .点评　本题是应用极限位置的典型例题 ,但极易把直线与…     

一道赛题的又一简证

<正>题目点A为y轴正半轴上一点,A、B两点关于x轴对称,过点A任作直线交抛物线y=2/3x²于P、Q两点.(1)求证:∠ABP=∠ABQ.(2)若点A的坐标为(0,1),且∠PBQ=60°,试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式(如图).文[1]利用轴对称知识及函数与方程思想进行解答,应该肯定解法很全新,笔者本着一切从学生所掌握的基本知识出发来解答,从三角形角平分线定理入手,解答比较通俗简单,供同学们参考.(1)证明设点A坐标为(0,a),P、Q坐标分别为(x_1,y_1)、(x_2,y_2),令直线PQ方程:y=kx+a,再联立y=2/3x2于P、Q两点.(1)求证:∠ABP=∠ABQ.(2)若点A的坐标为(0,1),且∠PBQ=60°,试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式(如图).文[1]利用轴对称知识及函数与方程思想进行解答,应该肯定解法很全新,笔者本着一切从学生所掌握的基本知识出发来解答,从三角形角平分线定理入手,解答比较通俗简单,供同学们参考.(1)证明设点A坐标为(0,a),P、Q坐标分别为(x_1,y_1)、(x_2,y_2),令直线PQ方程:y=kx+a,再联立y=2/3x²解得2/3x2解得2/3x²-kx-a=0,则x_1x_2=-3/2a(即a=-2/3x_1x_2),y_1=2/3x_12-kx-a=0,则x_1x_2=-3/2a(即a=-2/3x_1x_2),y_1=2/3x_1²、     

解析几何中的四类对称变换

[复习说明 ]由于平面解析几何中所研究的许多图形是对称图形 ,于是相关的对称变换问题经常在全国高考试卷与各地模拟试卷中出现 ,它是高考复习的一个热点专题 .本专题复习的重点是两点关于直线成轴对称问题 ;难点是两曲 (直 )线关于直线成轴对称问题 .[内容提要 ]1 .点 P(x,y)关于点 M(a,b)成中心对称的点是 P′(2 a - x,2 b - y) .2 .两点 P(x1,y1)、Q(x2 ,y2 )关于直线 Ax+By +C=0 (AB≠ 0 )成轴对称的充要条件是　 A .x1+x22 +B .y1+y22 +C =0 ,且 (- AB) .y1- y2x1- x2=- 1 .特例　点 P(x,y)依次关于直线 x =a,y =b,y =x,y =- x…     

谈向量方法在有关直线问题中的应用

平面向量引入中学数学 ,丰富了中学数学的内容 ,也为解决数学问题提供了一种全新的方法向量法 .以下笔者通过对联赛题及高考题中相关问题的分析 ,介绍向量法在直线方程及直线与圆锥曲线综合问题中的应用 .1　有关知识1.向量a(x1,y1) ,b(x2 ,y2 )共线的充要条件是　x1y2 -x2 y1=0 .2 .向量a(x1,y1) ,b(x2 ,y2 )垂直的充要条件是　x1x2 +y1y2 =0 .3.直线l经过点P0 (x0 ,y0 ) ,v(a ,b)为其方向向量 ,则直线的点向式方程为 x -x0a =y -y0b .4 .直线l经过点P0 (x0 ,y0 ) ,n(a ,b)为其法向量 ,则直线的点法式方程为a(x -x0 ) +b(y - y0 ) =0 .2　…     

一道距离最值问题的解法探讨

近日,笔者遇到一道问题,颇觉有趣,值得探究. 问题 已知直线y=a分别与曲线l:y=2(x+1),E:f(x) =x+lnx交于A、B,则|AB|的最小值为 1 解法初探 思路1:借助图形分析,画出两个曲线图形,如图1,联想到曲线上的动点到直线距离的最值问题,可以过点B作BC⊥l于点C.     

领悟教材编写意图,探究解决问题的本质方法——从教材一道例题谈起

1教材为什么始终不提简化运算的问题呢?例题(人教A版教材《选修2-1》第60页例6)过双曲线x~2/3-y~2/6=1的右焦点F2,倾斜角为30°的直线交双曲线于A,B两点,求|AB|.为说明问题,把教材对本例的解答摘录如下:     

抛物线的一个性质及应用

性质已知抛物线y=ax2(a≠0)内有一定点F(0,1/4a),直线l过点M(0,-1/4a)且与x轴平行.当动点P在该抛物线上运动时,点P到直线l的距离PP'等于点P到点F的距离.     

一类组合题解答的转化思路

<正>以几何图形为载体的组合题,直接求解不易奏效,这时我们要认真思考,进行转化,把它转化为与它等价的且容易解答的问题,从而使原问题得解.问题的转化应注意三点:(1)注意联想,运用有关知识,为转化奠定基础;(2)加强分析,确定方向,为转化开路;(3)注意掌握方法,为转化提供措施.现通过例题加以说明.例1正方体的8个顶点的连线中,异面直线共有多少对.分析一个三棱锥各组对棱所在直线异     

两种说法不等价

<正>在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(Ⅰ)求轨迹为C的方程;(Ⅱ)设斜率为k的直线过定点P(-2,1),求直线与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时,k的相应取值范围.命题组给出(Ⅰ)小题的解答如下:解设点M(x,y),依题意得     

形异质同,解难化归方见坦途

例题:过点P(2,0)的直线l交椭圆M:x2/3+y2=1于C、D两点,求|PC|/|PD|的取值范围. 　　思路一:寻找条件,全部转化为横坐标,再消参数求解.……     

一堂研究性学习课

本文就椭圆上一动点到对称轴上一定点的最短距离问题为例 ,谈谈自己上“研究性学习课”的思路和方法 .例题　椭圆的对称轴为坐标轴 ,短轴两端点与右焦点 F构成正三角形 ,且椭圆上的点至 F的最短距离为 2 - 3,求此椭圆方程 .思考途径　由已知所求椭圆是中心在原点的标准方程 ,且由两端点与焦点 F构成正三角形 ,可知 a =2 b( a为半长轴长 ,b为半短轴长 ) ,设所求的椭圆方程为 x24 b2 y2b2 =1 ,又结合图形离 F最近的点在何处 (学生会立即回答 ,是右顶点 ) ?为什么 (转化为到相应准线的距离 ,则由图示可以看出顶点到准线的距离最短 ) ?　∴…     

辨析问题本质 活化解题思维——一道椭圆问题的课堂探究

一、问题展示题目:如图1,已知椭圆M:(x2)/4+(y2)/3=1,点F1、C分别是椭圆M的左焦点和左顶点,过点F1的直线l(不与x轴重合)交椭圆M于A、B两点.(1)略.(2)是否存在直线l,使得点B在以线段AC为直径的圆上?若存在,请求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.二、课堂实录师:圆锥曲线问题是高考重点及难点之一,寻找恰当的解题思路是问题顺利求解的关键,高考考查的题型可谓常考常新,题型虽然千变万化,但总有其规律可循,请同学们思考一下解答圆锥曲线问题的通用方法是什么?     

数形结合巧解一题(二)

问题已知a、b、c∈R,a+b+c=1,a2+b2 +c2=1,求证:-1/3≤c≤1. 证明∵点P(a,b)是直线x+y=1-c 和圆x2+y2=1-c2上的点,即P是直线和圆的公共点,     

离心率为2的双曲线的性质

1.问题的提出在2007年高三复习中笔者选用了温州市高三适应性测试数学试卷,其中解答题17题是这样的:如图(图略),设A(-2,0),B(2,0),直线l:x=1,点C在直线l上,动点P在直线BC上,且满足AP·AC=0.(Ⅰ)若点C的纵坐标为1,求P的坐标;(Ⅱ)求点P的轨迹方程.没花多少时间笔者就顺利地求得结果:(Ⅰ)P的坐标为(-4,6);(Ⅱ)点P的轨迹方程为x42-1y22=1.在解题后的反思中笔者发现了一个“问题”:题中条件A(-2,0),B(2,0)恰是P的轨迹的左、右顶点,而直线l:x=1是P的轨迹的右准线,并且P的轨迹的离心率为2,这是巧合还是必然?于是笔者经过研究得到了离心率为…     

含两个参数的范围问题

圆锥曲线求参数范围问题 ,是近几年高考的热点 .其中尤以含有两个参数的问题较为困难 ,解这类问题的关键在于寻求两个参数的关系 .例 1　已知直线 l:y =kx (k≠ 0 )和顶点为 C的抛物线 C:(y +1) 2 =3(x - 1)有公共点 ,点 P(a,0 )关于直线 l的对称点为 Q,若CQ垂直于抛物线的对称轴 ,求 a的取值范围 .分析　这里有两个参数 k、a,要研究 a的取值范围 ,首先由直线 l与抛物线 C有公共点 ,利用判别式求得 k的范围 ,再运用对称的条件寻求出 k和 a的关系 ,通过不等式即可推出 a的范围 .解　把 y =kx代入 C得k2 x2 +(2 k - 3) x +4=0 .由 l与 C有…     

求直线方程时谨防漏解

直线方程有多种形式 ,初学者往往将注意力集中在这些公式的推导、记忆、相互转化和简单应用上 ,对求直线方程时出现的漏解常常防不胜防 ,以致考虑不周 ,解答不全 .如何查“漏”补“缺”呢 ?笔者认为要做到以下“一法五不忘” ,供大家参考 .1　勿忘“斜率不存在”若将直线方程设为点斜式或斜截式 ,则应针对斜率是否存在进行分类讨论 ,否则极易漏解 .例 1　求经过点 (3,4 ) ,并且与点 (1,1)的距离为 2的直线方程 .分析 :若将所求直线方程设为 ｙ - 4=ｋ(ｘ -3) ,再由点到直线的距离公式求出ｋ =512 ,得直线方程为 5ｘ - 12 ｙ + 33=0 ,则显然…