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笔者发现柯西不等式在中学数学的圆锥曲线中也有它的用武之地 ,下面先给出由它得出的两个定理及推论 ,然后再作一应用 .定理 1 设 x2a2 + y2b2 =1,则a2 +b2 ≥ (x +y) 2当且仅当 xa2 =yb2 时上式等号成立 .证 由柯西不等式 ,得 a2 +b2 =(a2 +b2 ) xa2 + yb2≥ (x + y) 2 ,当且仅当 xa2 =yb2 时上式等号成立 .推论 若x2 + y2 =r2 ,则 2r2 ≥ (x + y) 2 ,当且仅当x =y =22 r时取等号 .定理 2 设 x2a2 - y2b2 =1,则a2 -b2 ≤ (x - y) 2 ,当且仅当 xa2 =yb2 上式等号成立 .证 由于柯西不等式可推广为(a21-a22 ) (b21-b22 )≤ (a1b1-a2 b2 … 相似文献
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下面便是著名的柯西 (Cauchy)不等式 :设a1,a2 ,… ,an,b1,b2 ,… ,bn 均为实数 ,则(a1b1+a2 b2 +… +anbn) 2 ≤ (a21+a22 +… +a2 n) (b21+b22 +… +b2 n) ,等号当且仅当ai=λbi(λ为常数 ,i =1,2 ,… ,n)时成立 .这个命题的证法较多 ,在一般的竞赛教程中都可以查找到 ,这里从略 .应用柯西不等式解题的关键在于构造两组实数 ,并根据柯西不等式的特点进行探索 .在解决分式型问题时 ,通常还应用到柯西不等式如下的两个推论 .推论 1 设ai 与bi(i=1,2 ,… ,n)同号 ,则∑ni=1aibi≥∑ni=1… 相似文献
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利用柯西不等式证明某些不等式或探求某些多元函数的最值(值域)时,确实简捷明了,是在一道题的多种解法中的较优者.因此,若能创造条件灵活运用柯西不等式,将会给我们带来许多方便.但是,创造运用柯西不等式的条件十分灵活,且技巧性强,很多时候都不能直接运用柯西不等式来解决某些数学问题.从哪里入手,如何创造条件,怎么创造,不少同学找不到突破口,感到无所适从,甚至创造不出合理的条件.下面就此问题作一些归纳、 相似文献
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柯西不等式是高中不等式内容的一个重要知识点,是高中不等式内容的升华,其具有非常鲜明的结构特点,形式优美,通过柯西不等式的学习,可以提升学生的探究与创新能力,激发学生的数学学习兴趣,提高学生的数学整体素质.柯西不等式在不等式的证明、最值的求解、参数范围的求解等方面有重要的运用.柯西不等式:若ai、bi∈R+(i=1、2…、n),则: 相似文献
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柯西不等式是选修4-5《不等式选讲》模块考查的热点内容,近几年,浙江省高考对柯西不等式进行了深入考查.在学习和备考过程中,同学们普遍感到,柯西不等式形式优美、结构巧妙,是研究有关最值问题的一个强有力的工具,但最感困难的是怎样变换来沟通待解决问题与柯西不等式之间的联系, 相似文献
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运用柯西不等式证明不等式是没有固定的模式可循的,常常要通过分析,组合、凑配,放缩等技巧性变形。如下是柯西不等式变形分布图(下一页)。 下面谈一谈不等式(Ⅰ~Ⅴ)式在近年来国内外数学竞赛问题中的广泛应用,并给出部分竞赛题 相似文献
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柯西不等式的推广及其应用 总被引:5,自引:0,他引:5
柯西不等式的推广及其应用徐幼明(湖北省浠水师范436200)柯西不等式是人们熟知的重要不等式.柯西不等式有如下的推广:当且仅当a11:a12:…:a1m=a21:a22:…:a2n=…=am1:am2:…:amn时等号成立.笔者认为,若将此定理作进一... 相似文献
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对实数ai、bi(i=1,2,…,n),有下面的不等式: 这就是著名的柯西不等式.证明略. 若令(i=1,2,…,n), yi>0.代入得到以下推论: 相似文献
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对实数ai,bi(i=1,2,…,n),有下面的不等式:(∑ni=1aibi)2≤(∑ni=1ai2)(∑ni=1bi2),这就是著名的柯西不等式.若令ai=xiyi,bi=yi(i=1,2,…,n),yi>0,代入得到以下推论:x12y1 xy222 … xynn2≥(xy11 xy22 …… xynn)2.这个推论在处理分式之和问题时很有用,下面举例说明.例1设a>0,b>0,求证:ab ba≥a b.证明∵a>0,b>0,由柯西不等式的推论得,ab ba≥(aa bb)2=a b.例2(1998年江苏省数学夏令营)设a>0,b>0,c>0,求证:a2b c cb 2a ac 2b≥21(a b c).证明∵a>0,b>0,c>0,由柯西不等式的推论得:a2b c cb 2a ac 2b≥2((aa bb c)c)2=21(a b c).例3(第2… 相似文献
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<正>高中数学学习中,不等式变形巧妙神奇,尤其是柯西不等式的应用.我梳理了一下有关柯西不等式的证明及应用,方便同学们使用.柯西不等式:(a1b1+a2b2+…+an bn)2≤(a21+a22+…+a2n)(b21+b22+…+b2n)(ai bi∈R,i=1,2…n).等号当且仅当a1=a2=…=an=0或bi=tai时成立(t为常数,i=1,2…n).柯西不等式的证明方法很多,下面的方法比较深刻且具通性.为简便,设ai不全为0.证法一(构造二次函数)f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+…+(an x+bn)2=(a21+a22+…+a2n)x2+2(a1b1+a2b2+…+an bn)x+(b21+b22+…+b2n). 相似文献
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平均值不等式和柯西不等式 总被引:1,自引:0,他引:1
平均值不等式和柯西不等式是两个极为重要的基本不等式,由于它们变化多,实用性强,可以充分展示受试者的机敏和能力,因此深受竞赛命题者的青睐,有关的问题在数学竞赛中频频出现,经久不衰。一、平均值不等式这里先介绍平均值不等式。设a_1、a_2、…、a_n为n个正数,记 A=a_1 a_2 … a_n/n,G=(a_1a_2…a_n)~(1/n) 则 A≥C(1) 其中当且仅当a_1=a_2=…=a_n时等号成立。这个不等式通常称之为算术平均-几何平均值不等式,简称平均值不等式。平均值不等式证明方法很多,以下给出两种富有启发又很简捷的证明。 相似文献
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