解抛物线内接直角三角形的中考题

<正>二次函数是初中数学的重要内容,它的图像是抛物线.近年来,以二次函数y=ax~2+bx+c(a≠0)与x轴交于两点A(x_1,0),B(x_2,0).P为抛物线上除A,B外的一点,且△APB为直角三角形(∠APB=90°)为基础的数学综合题在中考中频繁出现.这类题型规律性很强,只要我们善于发现,总会挖掘出一些共性,     

几种解法 多种思考

<正>下面是一道题的几种解法,供同学们学习时参考.题目如图1,抛物线y=ax³/2-x-2的2图像与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,已知B点坐标为(4,0).(1)求抛物线的解析式;(2)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求△MBC的面积的最大值,并求出此时M点的坐标.解法一构造函数法     

一道高中数学联赛试题的一般性结论

2008年全国高中数学联赛第一试第15题[1]是: 　　题目如图1,P是抛物线y2=2x上的动点,点B、C在y轴上,圆(x-1)2+y2=1内切于△PBC,求△PBC面积的最小值. 　　本文首先给出一个更为一般的结论,并对试题作出推广.……     

始料未及的定值

题目 等腰直角ZkAOB内接于抛物线y2=2px（p〉0）,0为抛物线的顶点,则△AOB的面积是（ ）     

抛物线与等积三角形

<正>在抛物线中经常出现与三角形面积联系在一起的问题,其中面积相等较多.下面笔者借助二次函数y=-x2+2x+3中的两个等积三角形例题来阐述基本思路.例1如图1,已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴的交点为A、B,与y轴的交点为C,顶点是D.在y轴右侧的抛物线上是否存在     

2005年高考江西卷压轴题的另证及推广

理(22)题:如图1,设抛物线C:y=x2的焦点为F,动点P在直线l:x-y-2=0上运动,过P作抛物线C的两条切线PA,PB,且与抛物线C分别相切于A,B两点.(Ⅰ)求△APB的重心G的轨迹方程;(Ⅱ)证明∠PFA=∠PFB.对(Ⅱ)标准答案提供了两种证法,在此再给出另外两种证法;图1抛物线分析1如图1,因为∠PFA=1     

圆锥曲线的一个有趣性质

最近笔者对椭圆和双曲线作了些研究 ,得到了一个十分有趣性质 .定理 1　设P是椭圆b2 x2 +a2 y2 =a2 b2 (a>b>0 )上的一点 ,E、F是左 ,右焦点 ,A ,B是左 ,右顶点 ,∠EPF =2α ,∠APB =β,e是离心率 ,则e=- 2cotαcotβ α∈ 0 ,π2 ,β∈ π2 ,π ,(其中yP ≠ 0 ) .图 1证明　对于△PEF ,由题设及椭圆焦点三角形的面积公式知S△PEF =b2 ·tanα .另一方面 ,S△PEF =12 ｜EF｜·｜yP｜ ,从而b2 tanα=c｜yP｜ ,故 ｜yP｜=b2ctanα①对于△APB ,不妨设点P(x ,y)在x轴上方 ,如图 1 ,由两条直线所成的角的公式得tanβ=kPB -kPA1 +…     

"两二次曲线相切"(←→)"△=0"?

1楔子 例1对a的不同取值讨论圆x2+y2-2ax+a2-1=0与抛物线y2=1/2x的交点个数. 解把y2=1/2x代人圆的方程,可得△x=17/4-2a,由△x=0得a=17/8,此时圆与抛物线相内切,由圆的运动位置易得:     

对一道全国高中数学联赛试题的推广

1问题的提出2011年全国高中数联赛复赛第11题是这样一道题:"作斜率为13的直线l与椭圆x2/36+y2/4=1交于A,B两点,且点P(32^1/2,2^1/2)在直线l的上方.（1）证明:△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上;（2）若∠APB=60°,求△PAB的面积.笔者在对该问题进行探讨时,发现该题中的第（1）小题的结论可以推广到一般情形,即有如下一般     

从一道竞赛题看抛物线的一个优美性质

2010年全国高中数学联赛第10题:已知抛物线y2=6x上两个动点A(x1,y1)和B(x2,y2),其中x1≠x2,且x1+x2=4,线段AB的垂直平分线与x轴交于点C,求△ABC面积的最大值.     

勾股定理及其应用(下)

<正>例6 P为等边△ABC内一点,已知PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB的度数,简述你的理由.证明如图13,将△ABP绕点B顺时针旋转60°,到△BCQ的位置.则△ABP≌△BCQ,∠APB=∠BQC,QC=3.连接PQ.则△PBQ是正三角形,∠BQP=60°,PQ=4.在△PQC中,QC=3,PQ=4,PC=5,所以∠PQC=90°.因此∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°.     

一道模拟试题的思考与变式

<正>1问题提出案例在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx~2-4 mx+n(m>0)与x轴交于A、B两点(点A在原点左侧),与y轴交于点C,且OB=2OA,连接AC、BC.(1)若△ABC是直角三角形,求n的值.(2)将线段AC绕点A旋转60°得到线段AC′,若点C′在抛物线的对称轴上,请求出此时抛物线的函数表达式.     

直线方程x=my+a的重要功能

解析几何中关于直线过x轴上定点(a,0)的问题,一般同学都用常规的点斜式法设直线方程为y=k(x-a).这种设法会使运算较为繁琐,有时还会陷入僵局.例1　已知过定点P(2,0)的直线l交抛物线y2=4x于A、B两点,求△AOB(O为坐标原点)面积的最小值.图1解　设直线y=k(x-2)与抛物线方程y2=4x联立,　　y=k(x-2)y2=4x(1)(2)消去y得k2x2-4(k2 1)x 4k2=0.(3)因为　S△AOB=12|OC|.|AB|,而　|AB|=|x1-x2|k2 1=42k2 1k2k2 1,　　|OC|=|2k|k2 1,(这里运算量很大,中间过程已省略)所以　S△AOB=12.42k2 1k2k2 1.|2k|k2 1=42k2 1|k|=42 1k2→42.我们发现达不…     

等积变形与面积证题(三)

<正>一般说来,若Δ=Δ_1+Δ_2+…+Δ_n称为一个面积方程.如例1中,就是从面积方程S(△ABC)=S(△APB)+S(△BPC)+S(△CPA)入手的.1.若S(△ABC)=S(△A_1B_1C_1),这样1/2AB·h_c=1/2A_1B_1h_(c1).当AB=A_1B_1,则有h_c=h_(c1);当h_c=h_(c1),则有AB=A_1B_1.利用上述关系可以证明线段的相等.     

一道高考试题的平面几何背景研究与命题推广

2009年湖北卷文科第20题: 　　过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线相交于M,N两点,自M、N向准线l作垂线,垂足分别为M1、N1. 　　(1)求证:FM1⊥FN1; 　　(2)记△FMM1、△FM1N1、△FNN1的面积分别为S1、S2、S3,试判断S22=4S1S3是否成立?并证明你的结论.……     

“无用之用”与“高效生成”

问题的提出 案例1 我在讲解圆锥曲线抛物线的提高课上,向学生展示过这样一道题目:抛物线y2=4x上有两点A,B分别在第一和第四象限,F是抛物线的焦点,且|AF|=2,|BF|=5,在抛物线A0B部分上求一点P,使△ABP的面积最大,并求出最大值.     

一道解析几何试题的多视角探析

<正>已知椭圆C:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的离心率为32=1(a>b>0)的离心率为3^(1/2)/2,一个顶点在抛物线:x(1/2)/2,一个顶点在抛物线:x²=4y的准线上.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设O为坐标原点,M,N为椭圆上的两个不同的动点,直线OM,ON的斜率分别为k1和k2,当k1k2=-1/4时,探讨△MON的面积是否为定值,若为定值,求出该定值.若不为定值,说明理由.     

二次函数中最值问题的求解

<正>与最大值和最小值有关的问题,或极大和极小的问题一直是中考的热点问题,下面就北京近几年的中考和模拟考试中以二次函数图像为背景的几个试题作一阐释.例1如图1,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,AB=2,与y轴交于点C,对称轴为直线x=2.(1)求抛物线的表达式.(2)设P为对称轴上一动点,求△APC周长的最小值.     

椭圆中心三角形面积最大值问题探究——以一道2021年联考题为例

<正>1题目呈现及解法分析题目(广东省2021届高三四校联考,21)已知离心率为12的椭圆■与抛物线C_2:y²=2px(p>0)有相同的焦点F,且抛物线经过点P(1,2),O是坐标原点.(1)求椭圆和抛物线的标准方程;(2)已知直线l:x=ty+m与抛物线交于A、B两点,与椭圆交于C、D两点,若△ABP的内切圆圆心始终在直线PF上,求△OCD面积的最大值.     

一道中考错题的剖析

<正>南昌市2015年中考第6题:已知抛物线y=ax²+bx+c(a>0)过(-2,0)、(2,3)两点,那么抛物线的对称轴().(A)只能是x=-1(B)可能是y轴(C)在y轴右侧且在直线x=2的左侧(D)在y轴左侧且在直线x=-2的右侧文[1][2]都给出如下解答,选项(D)正确.抛物线y=ax2+bx+c(a>0)过(-2,0)、(2,3)两点,那么抛物线的对称轴().(A)只能是x=-1(B)可能是y轴(C)在y轴右侧且在直线x=2的左侧(D)在y轴左侧且在直线x=-2的右侧文[1][2]都给出如下解答,选项(D)正确.抛物线y=ax²+bx+c(a>0)开口向上,